北师大九年级数学特殊的平行四边形证明题

1．如图，已知E，F，G，H分别是四边形ABCD四边形的中点；（1）当满足条件四边形EFGH是矩形；（2）当满足条件四边形EFGH是菱形；（3）当满足条件四边形EFGH是正方形． 2已知，如图，四边形ABCD是菱形，∠B是锐角，AF⊥BC于点F，CH⊥AD于点H，在AB边上取点E，使得AE=AH，在CD边上取点G，使得CG=CF，连接EF、FG、GH、HE． （1）求证：四边形EFGH是矩形； （2）当∠B为多少度时，四边形EFGH是正方形？并证明． 3如图，根据图形解答下列问 题 快递公司问题件快递公司问题件货款处理关于圆的周长面积重点题型关于解方程组的题及答案关于南海问题 （1）如图，以△ABC三边向外分别作等边△ACD、△ABE、△BCF，证明四边形ADFE是平行四边形． （2）△ABC满足什么条件时，四边形ADFE是矩形？ （3）△ABC满足什么条件时，四边形ADFE是菱形？ （4）△ABC满足什么条件时，四边形ADFE是正方形？ 4）如图（1），Rt△ABC中，∠ACB=90°，中线BE、CD相交于点O，点F、G分别是OB、OC的中点． （1）求证：四边形DFGE是平行四边形； （2）如果把Rt△ABC变为任意△ABC，如图（2），通过你的观察，第（1）问的结论是否仍然成立（不用证明）； （3）在图（2）中，试想：如果拖动点A，通过你的观察和探究，在什么条件下四边形DFGE是矩形，并给出证明； （4）在第（3）问中，试想：如果拖动点A，是否存在四边形DFGE是正方形或菱形？如果存在，画出相应的图形（不用证明）． 5如图1，正方形ABCD的对角线相交于点M，正方形MNPQ与正方形ABCD全等，MN、MQ分别交正方菜ABCD的边于E、F两　点． （1）试判断ME与MF之间的数量关系，并给出证明． （2）若将题中的“正方形MNPQ与正方形ABCD”改为“矩形MNPQ与矩形ABCD”，且BC=2AB，其他条件不变，当矩形MNPQ与矩形ABCD的位置如图2所示时，请判断ME与MF之间的数量关系，并给出证明． 6如图1，在正方形ABCD中，点E、F分别为边BC、CD的中点，AF、DE相交于点G，则可得结论：①AF=DE，②AF⊥DE（不须证明）． （1）如图②，若点E、F不是正方形ABCD的边BC、CD的中点，但满足CE=DF，则上面的结论①、②是否仍然成立；（请直接回答“成立”或“不成立”） （2）如图③，若点E、F分别在正方形ABCD的边CB的延长线和DC的延长线上，且CE=DF，此时上面的结论①、②是否仍然成立？若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由． （3）如图④，在（2）的基础上，连接AE和EF，若点M、N、P、Q分别为AE、EF、FD、AD的中点，请先判断四边形MNPQ是“矩形、菱形、正方形”中的哪一种，并写出证明过程． 7如图，E是矩形ABCD边BC的中点，P是AD边上一动点，PF⊥AE，PH⊥DE，垂足分别为F，H． （1）当矩形ABCD的长与宽满足什么条件时，四边形PHEF是矩形？请予以证明； （2）在（1）中，动点P运动到什么位置时，矩形PHEF变为正方形？为什么？ 8）如图，在正方形纸片ABCD中，对角线AC，BD交于点O，折叠正方形纸片ABCD，使AD落在BD上，点A恰好与BD上的点F重合．展开后，折痕DE分别交AB，AC于点G，E，连接GF． （1）求∠AGD的度数； （2）证明四边形AEFG是菱形； 9已知：如图，在矩形ABCD中，M，N分别是边AD，BC的中点，E，F分别是线段BM，CM的中点． （1）求证：△ABM≌△DCM； （2）判断四边形MENF是什么特殊四边形，并证明你的结论； （3）当AD：AB=  ：  时，四边形MENF是正方形（只写结论，不需证明）． 10如图①，在正方形ABCD中，P是对角线AC上的一点，点E在BC的延长线上，且PE=PB，PE交CD于点F，连接DE． （1）请判断△PDE的形状，并给予证明； （2）把正方形ABCD改为菱形，其它条件不变（如图②），若∠ABC=56°，求∠DPE的度数． 11．在综合实践活动课中，王老师出了这样一道题： 如图1，在矩形ABCD中，M是BC的中点，过点M作ME∥AC交BD于点E，作MF∥BD交AC于点F．求证：四边形OEMF是菱形． 做完题后，同学们按照老师的要求进行变式或拓展，提出新的问题让其它同学解答． （1）小明同学说：“我把条件中的‘矩形ABCD’改为‘菱形ABCD’，如图2所示，发现四边形OEMF是矩形．”请给予证明； （2）小芳同学说：“我把条件中的‘点M是BC的中点’改为‘点M是BC延长线上的一个动点’，发现点F落在AC的延长线上，如图3所示，此时OB、ME、MF三条线段之间存在某种数量关系．”请你写出这个结论，并说明理由． 12在菱形ABCD和正三角形BGF中，∠ABC=60°，P是DF的中点，连接PG、PC． （1）如图1，当点G在BC边上时，易证：PG= PC．（不必证明） （2）如图2，当点F在AB的延长线上时，线段PC、PG有怎样的数量关系，写出你的猜想，并给与证明； （3）如图3，当点F在CB的延长线上时，线段PC、PG又有怎样的数量关系，写出你的猜想（不必证明）． 13（1）如图，正方形ABCD中，点E，F分别在边BC，CD上，∠EAF=45°，延长CD到点G，使DG=BE，连结EF，AG．求证：EF=FG． （2）如图，等腰直角三角形ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点M，N在边BC上，且∠MAN=45°，若BM=1，CN=3，求MN的长． 14已知：如图，△ABC中，∠BAC的平分线交BC于点D，E是AB上一点，且AE=AC，EF∥BC交AD于点F，求证：四边形CDEF是菱形。 14解：∵AD是∠BAC的平分线，∴∠CAD=∠DAE， 在△ABD和△ADE中， AE＝AB ∠CAD＝∠DAE AD＝AD  ，∴△ABD≌△ADE，∴BD=DE， 同理△BAF≌△EAF，∴BF=EF， 在△BFD和△EDF中， BD＝DE DF＝DF BF＝EF  ，∴△BFD≌△EDF，∴∠BFD=∠DFE， 又∵EF∥BC，∴∠DFE=∠FDC，∴∠BFD=∠BDF，∴BF=BD，∴BF=BD=EF=DE，∴四边形BDEF是菱形． 13（1）证明：在正方形ABCD中，∴∠ABE=∠ADG，AD=AB，在△ABE和△ADG中， ∴△ABE≌△ADG（SAS），∴∠BAE=∠DAG，AE=AG，∴∠EAG=90°， 在△FAE和△GAF中， ，∴△FAE≌△GAF（SAS），∴EF=FG （2）解：如图2，过点C作CE⊥BC，垂足为点C，截取CE，使CE=BM．连接AE、EN． ∵AB=AC，∠BAC=90°，∴∠B=∠C=45°．∵CE⊥BC，∴∠ACE=∠B=45°．在△ABM和△ACE中， ∴△ABM≌△ACE（SAS）．∴AM=AE，∠BAM=∠CAE． ∵∠BAC=90°，∠MAN=45°，∴∠BAM+∠CAN=45°． 于是，由∠BAM=∠CAE，得∠MAN=∠EAN=45°．在△MAN和△EAN中， ∴△MAN≌△EAN（SAS）．∴MN=EN． 在Rt△ENC中，由勾股定理，得EN2=EC2+NC2．∴MN2=BM2+NC2．∵BM=1，CN=3，∴MN2=12+32， ∴MN= 12解答： （1）提示：如图1：延长GP交DC于点E，利用△PED≌△PGF，得出PE=PG，DE=FG， ∴CE=CG，∴CP是EG的中垂线，在RT△CPG中，∠PCG=60°，∴PG= PC． （2）如图2，延长GP交DA于点E，连接EC，GC， ∵∠ABC=60°，△BGF正三角形∴GF∥BC∥AD，∴∠EDP=∠GFP， 在△DPE和△FPG中 ∴△DPE≌△FPG（ASA）∴PE=PG，DE=FG=BG， ∵∠CDE=CBG=60°，CD=CB，在△CDE和△CBG中， ∴△CDE≌△CBG（SAS）∴CE=CG，∠DCE=∠BCG， ∴∠ECG=∠DCB=120°， ∵PE=PG，∴CP⊥PG，∠PCG=∠ECG=60°∴PG= PC．     11）证明：∵ME∥AC，MF∥BD，∴四边形OEMF是平行四边形． 又∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，即∠EOF=90°，∴四边形OEMF是矩形． （2）结论：OB=ME-MF．理由如下：∵ME∥AC，MF∥BD，∴四边形OEMF 是平行四边形，∴OE=MF， 又∵四边形ABCD是矩形，∴OB=1 2 BD，OC=1 2 AD，且AC=BD，∴OB=OC，∴∠OBC=∠OCB， 由ME∥AC可知，∠OCB=∠EMB，∴BE=ME，∴OB=BE-OE=ME-MF． 10（1）∴△PDE为等腰直角三角形 证明：在正方形ABCD中，BC=DC，∠BCP=∠DCP=45°， 在△BCP和△DCP中，BC＝DC ∠BCP＝∠DCP PC＝PC  ∴△BCP≌△DCP（SAS）；∴∠CBP=∠CDP，PD=PB ∵PE=PB，∴∠CBP=∠CEP，PD=PE∵∠CFE=∠PFD（对顶角相等）∴180°-∠PFD-∠CDP=180°-∠CFE-∠CEP 即∠DPE=∠DCE=90°∴△PDE为等腰直角三角形． （2）解：∵AB∥CD∴∠DCE=∠ABC，∠DPE=∠DCE∴∠DPE=∠ABC∵∠ABC=56°∴∠DPE=56°． 9（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，∴AB=CD，∠A=∠D=90°， 又∵M是AD的中点，∴AM=DM．在△ABM和△DCM中， AB＝CD ∠A＝∠D AM＝DM  ， ∴△ABM≌△DCM（SAS）． （2）解：四边形MENF是菱形．证明如下：∵E，F，N分别是BM，CM，CB的中点，∴NE∥MF，NE=MF．∴四边形MENF是平行四边形．由（1），得BM=CM，∴ME=MF．∴四边形MENF是菱形． （3）解：2：1．　 当AD：AB=2：1时，四边形MENF是正方形．理由： ∵M为AD中点，∴AD=2AM．∵AD：AB=2：1，∴AM=AB．∵∠A=90，∴∠ABM=∠AMB=45°．