计算流体力学CFD课件

计算流体力学CFD(1)引言流体力学的三种研究方法流体力学的控制方程组基本物理学原理流动模型流动模型1）有限控制体模型对于有连续性的流体，有下面两种模型：2）无穷小流体微团我们不是同时观察整个流场，而是将物理学基本原理用在这些流动模型上，从而得到流体流动方程。流动模型无穷小流体微团模型空间位置固定的无穷小流体微团，流体流过微团沿流线运动的无穷小流体微团，其速度等于流线上每一点的当地速度物质导数（运动流体微团的时间变化率）流动控制方程经常用物质导数来 表 关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf 达。物质导数（运动流体微团的时间变化率）沿流线运动的无穷小流体微团，其速度等于流线上每一点的当地速度采用流体微团模型来理解物质导数的概念：物质导数（运动流体微团的时间变化率）流体微团在流场中的运动－物质导数的示意图物质导数（运动流体微团的时间变化率）流体微团在流场中的运动－物质导数的示意图考虑非定常流动：物质导数（运动流体微团的时间变化率）流体微团在流场中的运动－物质导数的示意图考虑非定常流动：物质导数（运动流体微团的时间变化率）流体微团在流场中的运动－物质导数的示意图物质导数（运动流体微团的时间变化率）流体微团在流场中的运动－物质导数的示意图这里D/Dt代表流体微团通过1点时，流体微团密度变化的瞬时时间变化率。我们把D/Dt定义为密度的物质导数。物质导数（运动流体微团的时间变化率）流体微团在流场中的运动－物质导数的示意图物质导数D/Dt与偏导数/t不同，/t是在固定点1时观察密度变化的时间变化率，该变化由流场瞬间的起伏所引起。物质导数（运动流体微团的时间变化率）物质导数（运动流体微团的时间变化率）向量算子物质导数（运动流体微团的时间变化率）D/Dt是物质导数，它在物理上是跟踪一个运动的流体微团的时间变化率；流体微团在流场中的运动－物质导数的示意图物质导数（运动流体微团的时间变化率）/t叫做当地导数，它在物理上是固定点处的时间变化率；流体微团在流场中的运动－物质导数的示意图物质导数（运动流体微团的时间变化率）叫做迁移导数，它在物理上表示由于流体微团从流场中的一点运动到另一点，流场的空间不均匀性而引起的时间变化率。流体微团在流场中的运动－物质导数的示意图物质导数（运动流体微团的时间变化率）人进入山洞，洞内温度比洞外温度低，正经过洞口向里进时，同时被雪球击中。洞内温度比洞外温度低所引起的温降迁移导数物质导数当地导数迁移导数被雪球击中所引起的温降当地导数总的温降物质导数物质导数（运动流体微团的时间变化率）物质导数全微分：对时间的全导数：速度散度及其物理意义速度散度这一表达式也经常出现在流体动力学方程中。随流体运动的有限控制体，同一批流体质点始终位于同一控制体内速度散度及其物理意义考虑如图所示随流体运动的控制体。这个控制体在运动中，总是由相同的流体粒子组成，因此它的质量是固定的，不随时间变化。随流体运动的有限控制体，同一批流体质点始终位于同一控制体内速度散度及其物理意义但是，当它运动到流体不同的区域，由于密度不同，它的体积和控制面会随着时间改变。随流体运动的有限控制体，同一批流体质点始终位于同一控制体内速度散度及其物理意义也就是说，随着流场特性的变化，这个质量固定的、运动着的控制体，体积不断地增大或减小，形状也在不断地改变着。速度散度及其物理意义速度散度的物理意义：是每单位体积运动着的流体微团，体积相对变化的时间变化率。连续性方程空间位置固定的有限控制体模型空间位置固定的有限控制体模型空间位置固定的有限控制体模型连续性方程质量守恒定律通过控制面S流出控制体的净质量流量＝控制体内质量减少的时间变化率空间位置固定的有限控制体模型空间位置固定的有限控制体模型通过控制面S流出控制体的净质量流量＝控制体内质量减少的时间变化率或空间位置固定的有限控制体模型空间位置固定的有限控制体模型连续性方程：随流体运动的有限控制体模型随流体运动的有限控制体模型随流体运动的有限控制体模型连续性方程质量守恒定律有限控制体的总质量为：随流体运动的有限控制体模型随流体运动的有限控制体模型连续性方程：空间位置固定的无穷小微团模型空间位置固定的无穷小微团模型空间位置固定的无穷小微团模型连续性方程质量守恒定律流出微团的质量流量＝微团内质量的减少空间位置固定的无穷小微团模型空间位置固定的无穷小微团模型X方向的净流出量为：流出微团的质量流量＝微团内质量的减少空间位置固定的无穷小微团模型空间位置固定的无穷小微团模型Y方向的净流出量为：流出微团的质量流量＝微团内质量的减少空间位置固定的无穷小微团模型空间位置固定的无穷小微团模型Z方向的净流出量为：流出微团的质量流量＝微团内质量的减少空间位置固定的无穷小微团模型空间位置固定的无穷小微团模型微团内质量增加的时间变化率为：流出微团的质量流量＝微团内质量的减少空间位置固定的无穷小微团模型空间位置固定的无穷小微团模型流出微团的质量流量＝微团内质量的减少或空间位置固定的无穷小微团模型空间位置固定的无穷小微团模型或连续性方程：随流体运动的无穷小微团模型随流体运动的无穷小微团模型随流体运动的无穷小微团模型流体微团的质量：连续性方程质量守恒定律随流体运动的无穷小微团模型随流体运动的无穷小微团模型连续性方程质量守恒定律随流体运动的无穷小微团模型随流体运动的无穷小微团模型连续性方程质量守恒定律随流体运动的无穷小微团模型随流体运动的无穷小微团模型连续性方程：方程不同形式之间的转换空间位置固定的有限控制体模型随流体运动的有限控制体模型空间位置固定的无穷小微团模型随流体运动的无穷小微团模型方程不同形式之间的转换空间位置固定的有限控制体模型空间位置固定的无穷小微团模型方程不同形式之间的转换空间位置固定的无穷小微团模型随流体运动的无穷小微团模型积分形式与微分形式的重要注释空间位置固定的有限控制体模型随流体运动的有限控制体模型空间位置固定的无穷小微团模型随流体运动的无穷小微团模型积分形式与微分形式的重要注释积分形式的方程允许出现间断，微分形式的方程要求流动参数是连续的。因此，积分形式的方程比微分形式的方程更基础、更重要。在流动包含真实的间断（如激波）时，这一点尤其重要。动量方程动量方程动量方程牛顿第二定律动量方程力的两个来源：1）体积力：直接作用在流体微团整个体积微元上的力，而且作用是超距离的，比如重力，电场力，磁场力。随流体运动的无穷小微团模型动量方程力的两个来源：2）表面力：直接作用在流体微团的表面。随流体运动的无穷小微团模型动量方程表面力的两个来源：1）压力2）粘性力动量方程粘性力的两个来源：1）正应力2）切应力动量方程切应力：与流体剪切变形的时间变化率有关，如下图中的xy动量方程正应力：与流体微团体积的时间变化率有关，如下图中的xx动量方程作用在单位质量流体微团上的体积力记做，其X方向的分量为随流体运动的无穷小微团模型动量方程作用在流体微团上的体积力的X方向分量＝随流体运动的无穷小微团模型动量方程作用在流体微团上的X方向的压力＝动量方程作用在流体微团上的X方向的正应力＝动量方程作用在流体微团上的X方向的切应力＝动量方程作用在流体微团上的X方向总的表面力＝随流体运动的无穷小微团模型动量方程作用在流体微团上的X方向总的力：随流体运动的无穷小微团模型动量方程作用在流体微团上的X方向总的力：动量方程运动流体微团的质量：随流体运动的无穷小微团模型动量方程运动流体微团的X方向的加速度：随流体运动的无穷小微团模型动量方程由牛顿第二定理得粘性流X方向的动量方程：随流体运动的无穷小微团模型动量方程类似地，可得Y方向和Z方向的动量方程：动量方程三个方向的动量方程：以上为非守恒形式的纳维－斯托克斯方程(Navier-Stokes方程)，简称非守恒形式的N－S方程。动量方程非守恒形式的的N－S方程可以转化为如下守恒形式的N－S方程动量方程牛顿流体：流体的切应力与应变的时间变化率(也就是速度梯度)成正比。在空气动力学的所有实际问题中，流体都可以看成牛顿流体。动量方程对牛顿流体，有动量方程完整的N－S方程守恒形式：能量方程能量方程随流体运动的无穷小微团的能量通量能量方程能量守恒定律能量方程随流体运动的无穷小微团的能量通量流体微团内能量的变化率流入微团内的净热流量＝＋体积力和表面力对微团做功的功率能量方程随流体运动的无穷小微团的能量通量作用于速度为V的流体微团上的体积力，做功的功率为：能量方程随流体运动的无穷小微团的能量通量对比下图作用在面adhe和面bcgf上的压力，则压力在X方向上做功的功率为：能量方程随流体运动的无穷小微团的能量通量类似地，在面abcd和面efgh上，切应力在X方向上做功的功率为：能量方程随流体运动的无穷小微团的能量通量所有表面力（包括压力、正应力、切应力）在X方向上做功的功率为：能量方程所有力（包括体积力、表面力）做功的功率总和（包括X方向、Y方向、Z方向）为：能量方程随流体运动的无穷小微团的能量通量流体微团内能量的变化率流入微团内的净热流量＝＋体积力和表面力对微团做功的功率能量方程随流体运动的无穷小微团的能量通量流入微团的净热流量来源两个方面：1）体积加热，如吸收或释放的热辐射。能量方程随流体运动的无穷小微团的能量通量流入微团的净热流量来源两个方面：2）由温度梯度导致的跨过表面的热输运，即热传导。能量方程随流体运动的无穷小微团的能量通量定义为单位质量的体积加热率；运动流体微团的质量为，因此，微团的体积加热为能量方程随流体运动的无穷小微团的能量通量考虑面adhe和面bcgf，热传导在X方向对流体微团的加热为：能量方程随流体运动的无穷小微团的能量通量热传导在X、Y、Z三个方向对流体微团的加热为：能量方程随流体运动的无穷小微团的能量通量因此，流入微团内的净热流量为：能量方程根据傅立叶热传导定律，热传导产生的热流与当地的温度梯度成正比，设k为热导率，则能量方程随流体运动的无穷小微团的能量通量因此，流入微团内的净热流量可写为：能量方程随流体运动的无穷小微团的能量通量流体微团内能量的变化率流入微团内的净热流量＝＋体积力和表面力对微团做功的功率能量方程随流体运动的无穷小微团的能量通量跟随流体运动的微团的能量有两个来源：1）由分子随机运动而产生的内能，定义单位质量内能为e能量方程随流体运动的无穷小微团的能量通量跟随流体运动的微团的能量有两个来源：2）流体微团平动时具有的动能，单位质量的动能为能量方程随流体运动的无穷小微团的能量通量运动流体微团的质量为，因此，流体微团内能量的变化率为能量方程随流体运动的无穷小微团的能量通量流体微团内能量的变化率流入微团内的净热流量＝＋体积力和表面力对微团做功的功率根据能量守恒定律，有能量方程流体微团内能量的变化率流入微团内的净热流量＝＋体积力和表面力对微团做功的功率于是能量方程（非守恒形式）为：能量方程只用内能e表示的能量方程（非守恒形式）为：只用内能e表示的能量方程中不包含体积力项。能量方程只用内能e表示的能量方程（非守恒形式）可写为：根据，，能量方程对牛顿流体，有能量方程只用内能e表示的能量方程（非守恒形式）可写为：能量方程只用内能e表示的能量方程（守恒形式）为：能量方程用总能表示的能量方程（守恒形式）为：流体力学控制方程的 总结 初级经济法重点总结下载党员个人总结TXt高中句型全总结.doc高中句型全总结.doc理论力学知识点总结pdf 与注释粘性流动的纳维－斯托克斯(Navier-Stokes)方程粘性流动的纳维－斯托克斯(Navier-Stokes)方程非定常三维可压缩粘性流动的控制方程总结如下：1.连续性方程非守恒形式：守恒形式：粘性流动的纳维－斯托克斯(Navier-Stokes)方程非定常三维可压缩粘性流动的控制方程总结如下：2.动量方程非守恒形式：X方向：Y方向：Z方向：粘性流动的纳维－斯托克斯(Navier-Stokes)方程非定常三维可压缩粘性流动的控制方程总结如下：2.动量方程守恒形式：X方向：Y方向：Z方向：粘性流动的纳维－斯托克斯(Navier-Stokes)方程非定常三维可压缩粘性流动的控制方程总结如下：3.能量方程非守恒形式：粘性流动的纳维－斯托克斯(Navier-Stokes)方程非定常三维可压缩粘性流动的控制方程总结如下：3.能量方程守恒形式：无粘流欧拉(Euler)方程非定常三维可压缩无粘流动的控制方程总结如下：1.连续性方程非守恒形式：守恒形式：无粘流欧拉(Euler)方程非定常三维可压缩无粘流动的控制方程总结如下：2.动量方程非守恒形式：X方向：Y方向：Z方向：无粘流欧拉(Euler)方程非定常三维可压缩无粘流动的控制方程总结如下：2.动量方程守恒形式：X方向：Y方向：Z方向：无粘流欧拉(Euler)方程非定常三维可压缩无粘流动的控制方程总结如下：3.能量方程非守恒形式：无粘流欧拉(Euler)方程守恒形式：关于控制方程的注释关于控制方程的注释连续性方程、动量方程、能量方程共有5个，但有六个未知的流场变量：关于控制方程的注释在空气动力学中，通常假设气体是完全气体（分子间作用力可忽略），状态方程是：状态方程提供了第6个方程，但引进了第七个未知量：温度T关于控制方程的注释用以封闭整个方程组的第七个方程必须是状态参量之间的热力学关系。比如：对常比热容完全气体，这个关系可以是：其中的是定容比热。这个方程有时候也被称为量热状态方程。物理边界条件物理边界条件无论流动是波音747飞机周围的流动、亚声速风洞内的流动，还是流过一个风车流动，控制方程都是相同的。然而，尽管流动的控制方程是相同的，可这些情形中流动却是完全不同的。为什么会这样的呢？差异是哪里产生的呢？物理边界条件答案是边界条件。不同的边界条件，有时还包括初始条件，使得同一个控制方程得到不同的特解。物理边界条件对于粘性流动，物面上的物理边界条件有物面速度无滑移边界条件和物面温度边界条件。物面速度无滑移边界条件指：紧挨物面的气流与物面之间的相对速度为零。即：在物面（对于粘性流动）物理边界条件大部分粘性流动的物面温度边界条件要么给定一个常数作为壁面温度，即在物面要么假设壁面为绝热壁，即在物面物理边界条件对于无粘流动，物面上唯一的物理边界条件是法向速度为零边界条件。也就是说物面上的流动与物面相切。在物面（对于无粘流动）物理边界条件无论是粘性流还是无粘流，根据问题的不同，流场中不是物面的地方有多种不同类型的边界条件。比如对于流过固定形状管道的流动，应该在管道的入口和出口有适合的入流和出流边界条件。比如对于已知来流中的飞行物，则给定自由来流条件作为物体四周无穷远处的边界条件。适合CFD使用的控制方程适合CFD使用的控制方程守恒变量：非守恒变量：适合CFD使用的控制方程非守恒变量可以由守恒变量求出：适合CFD使用的控制方程守恒形式的控制方程：流动控制方程中的因变量是守恒变量。非守恒形式的控制方程：流动控制方程中的因变量是非守恒变量。适合CFD使用的控制方程守恒形式的控制方程相比非守恒形式控制方程的第一个优点：守恒形式的控制方程为算法 设计 领导形象设计圆作业设计ao工艺污水处理厂设计附属工程施工组织设计清扫机器人结构设计 和编程计算提供了方便。守恒形式的连续性方程、动量方程和能量方程可以用同一个通用方程来表达，这有助于计算程序的简化和程序结构的组织。适合CFD使用的控制方程守恒形式的控制方程组都可以表达成如下形式：U,F,G,H,J都是列向量。适合CFD使用的控制方程守恒形式的控制方程组都可以表达成如下形式：对于无粘或粘性流动：适合CFD使用的控制方程守恒形式的控制方程组都可以表达成如下形式：对于无粘流动：适合CFD使用的控制方程守恒形式的控制方程组都可以表达成如下形式：对于粘性流动：适合CFD使用的控制方程守恒形式的控制方程组都可以表达成如下形式：对于粘性流动：适合CFD使用的控制方程守恒形式的控制方程组都可以表达成如下形式：对于粘性流动：适合CFD使用的控制方程守恒形式的控制方程组都可以表达成如下形式：列向量U被称为解向量。列向量F,G,H被称为通量向量（或通量项）。列向量J代表源项（当体积力和体积热流可忽略时等于零）适合CFD使用的控制方程在某些问题中，非定常的瞬时流场是我们最感兴趣的。这类问题为非定常问题。对其他一些问题，需要得到定常解，这类问题为定常问题。适合CFD使用的控制方程求解定常问题，最好的方式是求解非定常方程，用长时间的渐进解趋于定常状态。这种方法称为求解定常流动的时间相关算法。适合CFD使用的控制方程上面方程的求解采用了时间推进的方式，也就是说，相关的流动变量是按时间步，一步步推进求解的。适合CFD使用的控制方程时间推进的方式解向量U的分量通常就是每一时间步直接被求解的未知 函数 excel方差函数excelsd函数已知函数     2 f x m x mx m      2 1 4 2拉格朗日函数pdf函数公式下载 ，右边的空间导数项被看成是已知的。通过某种方式求出右边的空间导数项，比如可以用上一个时间步的结果计算出方程右边的这些项。适合CFD使用的控制方程在包含激波的流场中，流场的原始变量p,,u,T等在跨过激波时，会发生急剧的不连续变化。采用激波捕捉法计算含激波的流场时，是让激波作为流场计算的直接结果，自然而然地出现在计算区域里，而不必对激波本身进行特殊的处理。适合CFD使用的控制方程守恒形式的控制方程相比非守恒形式控制方程的第二个优点：采用激波捕捉法计算含激波的流场时，应该采用守恒形式的控制方程，以使计算结果光滑、稳定。如果采用非守恒形式，流场计算结果在激波上下游出现空间振荡（抖动），激波的位置也可能不对，甚至计算不稳定。适合CFD使用的控制方程守恒形式的控制方程使用通量变量作为未知函数，而通量变量在跨过激波时的变化要么为零，要么很小。适合CFD使用的控制方程与把原始变量作为未知函数的非守恒形式相比，使用守恒形式提高了激波捕捉法数值解的质量。计算流体力学CFD(2)离散化的基本方法引言引言理论上，根据偏微分方程的解能得到流场中任意点上流场变量的值。离散网格点引言实际上，我们采用代数差分的方式将偏微分方程组转化为代数方程组。离散网格点引言通过求解代数方程组获得流场中离散网格节点上的变量值。离散网格点引言从而，使得原来的偏微分方程组被“离散化”了。离散网格点引言有限差分基础有限差分基础离散网格点泰勒级数展开：有限差分基础泰勒级数展开：差分表达式截断误差有限差分基础一阶向前差分：上述差分表达式用到了(i,j)点及其右边(i+1,j)点的信息，没有左边(i-1,j)点的信息，且精度为一阶有限差分基础离散网格点泰勒级数展开：有限差分基础泰勒级数展开：有限差分基础一阶向后差分：上述差分表达式用到了(i,j)点及其左边(i-1,j)点的信息，没有右边(i+1,j)点的信息，且精度为一阶有限差分基础两式相减得：有限差分基础得：有限差分基础二阶中心差分：上述差分表达式用到了左边(i-1,j)点及右边(i+1,j)点的信息，(i,j)点位于它们中间，且精度为二阶有限差分基础Y方向的差分表达式：有限差分基础两式相加得：有限差分基础得：二阶中心差分（关于二阶导数）有限差分基础对Y方向的二阶导数有：二阶中心差分（关于Y方向二阶导数）有限差分基础下面求二阶混合偏导数上式对y求导得：有限差分基础下面求二阶混合偏导数上式对y求导得：有限差分基础下面求二阶混合偏导数两式相减得：6有限差分基础下面求二阶混合偏导数6有限差分基础二阶混合偏导数的二阶精度中心差分有限差分基础有限差分基础有限差分基础有限差分基础有限差分基础有限差分基础有限差分基础有限差分基础有限差分基础有限差分基础二阶偏导数，四阶精度中心差分高阶精度的差分需要更多的网格点，所以计算中的每一个时间步或空间步都需要更多的计算机时间。有限差分基础在边界上怎样构造差分近似？边界网格点有限差分基础向前差分，只有一阶精度。边界网格点有限差分基础在边界上如何得到二阶精度的有限差分呢？边界网格点有限差分基础不同于前面的泰勒级数分析，下面采用多项式来分析。边界网格点有限差分基础设边界网格点在网格点1，在网格点2，在网格点3，有限差分基础边界网格点得有限差分基础边界网格点对y求导得：在边界点1，有限差分基础边界网格点得：有限差分基础边界网格点根据知为三阶精度有限差分基础边界网格点故为两阶精度为三阶精度有限差分基础边界网格点为单侧差分差分方程差分方程对一个给定的偏微分方程，如果将其中所有的偏导数都用有限差分来代替，所得到的代数方程叫做差分方程，它是偏微分方程的代数表示。差分方程考虑非定常一维热传导方程：差分方程差分方程差分方程差分方程偏微分方程：差分方程：截断误差：差分方程差分方程是一个代数方程，如果在右图所示区域内所有网格点上都列出差分方程，就得到一个联立的代数方程组。差分方程当网格点的数量趋于无穷多，也就是时，差分方程能否还原为原来的微分方程呢？差分方程截断误差：截断误差趋于零，从而差分方程确实趋近于原微分方程。差分方程从而差分方程确实趋近于原微分方程，如果，截断误差趋于零，此时我们说偏微分方程的这个有限差分表示是相容的。差分方程原微分方程与相应的差分方程之间的区别截断误差：差分方程原微分方程的解析解与差分方程的解之间的区别离散误差：显式方法与隐式方法显式方法显式方法显式方法上述方程是抛物型方程，可以推进求解，推进变量是时间t显式方法边界条件已知显式方法边界条件已知显式方法显式方法中每一个差分方程只包含一个未知数，从而这个未知数可以用直接计算的方法显式地求解。显式方法是最简单的方法。隐式方法隐式方法克兰克－尼科尔森格式隐式方法对于排列在同一时间层所有网格点上的未知量，必须将它们联立起来同时求解，才能求出这些未知量，这种方法就定义为隐式方法。隐式方法由于需要求解联立的代数方程组，隐式方法通常涉及大型矩阵的运算。隐式方法比显式方法需要更多、更复杂的计算。隐式方法隐式方法A，B，Ki均为已知量隐式方法A，B，Ki均为已知量隐式方法在网格点2：A，B，Ki均为已知量T1为边界条件，已知量隐式方法在网格点3：A，B，Ki均为已知量在网格点4：在网格点5：隐式方法A，B，Ki均为已知量在网格点6：T7为边界条件，已知量隐式方法于是有关于T2，T3，T4，T5，T6这五个未知数的五个方程A，B，Ki均为已知量隐式方法写成矩阵形式：隐式方法系数矩阵是一个三对角矩阵，仅在三条对角线上有非零元素。求解线性代数方程组的 标准 excel标准偏差excel标准偏差函数exl标准差函数国标检验抽样标准表免费下载红头文件格式标准下载 方法是高斯消去法。应用于三对角方程组，通常采用托马斯算法（国内称为追赶法）求解。显式方法与隐式方法的比较显式方法与隐式方法的比较对于显式方法，一旦x取定，那么t的取值必须受到稳定性条件的限制，其取值必须小于等于某个值。否则，计算不稳定。因此，t必须取得很小，才能保持计算稳定，要算到某个给定的时间值，程序要运行很长时间。显式方法与隐式方法的比较隐式方法没有稳定性限制，可以取比显式方法大得多的t，仍能保持计算稳定。要计算某个给定的时间值，隐式方法所用的时间步数比显式方法少很多。显式方法与隐式方法的比较对某些应用来说，虽然隐式方法一个时间步的计算会比显式方法花的时间长，但由于时间步数少，总的运行时间可能比显式方法少。显式方法与隐式方法的比较另外，当t取得较大时，截断误差就大，隐式方法在跟踪严格的瞬态变化（未知函数随时间的变化）时，可能不如显式方法精确。不过，对于以定常态为最终目标的时间相关算法，时间上够不够精确并不重要。显式方法与隐式方法的比较当流场中某些局部区域的网格点分布很密，采用显式方法，小的时间步长会导致计算时间特别长。例如，高雷诺数粘性流，物面附近的流场会产生急剧的变化，因此，物面附近需要更密的空间网格。在这种情况下，若采用隐式方法，即使对于很密的空间网格，也能采用较大的时间步长，就会减少程序运行时间。误差与稳定性分析误差与稳定性分析在从一个推进步进行到下一步时，如果某个特定的数值误差被放大了，那么计算就变成不稳定。如果误差不增长，甚至在从一个推进步进行到下一步时，误差还在衰减，那么计算通常就是稳定的。误差与稳定性分析A=偏微分方程的精确解（解析解）D=差分方程的精确解离散误差=A-D误差与稳定性分析D=差分方程的精确解舍入误差==N-DN=在某个有限精度的计算机上实际计算出来的解（数值解）N=D+误差与稳定性分析数值解N=精确解D+误差数值解N满足差分方程，于是有误差与稳定性分析数值解N=精确解D+误差精确解D也必然满足差分方程，于是有误差与稳定性分析数值解N=精确解D+误差两式相减得，误差也满足差分方程：误差与稳定性分析当求解过程从第n步推进到第n+1步时，如果i衰减，至少是不增大，那么求解就是稳定的；反之，如果i增大，求解就是不稳定的。也就是说，求解要是稳定的，应该有：误差与稳定性分析根据vonNeumann（冯诺伊曼）稳定性分析方法，设误差随空间和时间符合如下Fourier级数分布：则误差与稳定性分析稳定性要求故放大因子误差与稳定性分析下面采用vonNeumann（冯诺伊曼）稳定性分析方法分析如下差分方程的稳定性：由于误差也满足差分方程，故有误差与稳定性分析由于误差也满足差分方程，故有而则误差与稳定性分析解得放大因子误差与稳定性分析要使放大因子必须满足误差与稳定性分析上式就是差分方程的稳定性条件。对于给定的x，t的值必须足够小，才能满足上述稳定性条件，以保证计算过程中误差不会放大。误差与稳定性分析稳定性条件的具体形式取决于差分方程的形式。的差分方程是无条件不稳定的。比如，一阶波动方程：误差与稳定性分析但如果用则（Lax方法）误差与稳定性分析令误差则放大因子式中误差与稳定性分析则放大因子稳定性要求则误差与稳定性分析稳定性要求式中的C称为柯朗(Courant)数。误差与稳定性分析稳定性要求上式称为柯朗－弗里德里奇－列维(Courant-Friedrichs-Lewy)条件，一般写成CFL条件。误差与稳定性分析下面来看CFL条件的物理意义。CFL条件：也是二阶波动方程：的稳定性条件。误差与稳定性分析下面来看CFL条件的物理意义。二阶波动方程：的特征线为CFL条件的物理意义：要保证稳定性，数值解的依赖区域必须全部包含解析解的依赖区域。误差与稳定性分析CFL条件的物理意义：要保证稳定性，数值解的依赖区域必须全部包含解析解的依赖区域。误差与稳定性分析计算流体力学CFD(3)网格生成与坐标变换引言引言在CFD里，确定适当的网格是一件非常重要的事情。网格会影响数值计算的成功与失败。引言标准的有限差分方法需要均匀网格。如果在流场内生成了非均匀网格，也需要将它变换成均匀分布的矩形网格。引言采用均匀网格计算翼型绕流有如下问题：1）有些网格点落入翼型内部，而不是在流场里，如何给定这些点上的流动参量？引言采用均匀网格计算翼型绕流有如下问题：2）只有少量的网格点落在翼型表面上，这也不好。因为翼型表面是极其重要的边界，翼型表面上的边界条件确定了整个流动。引言1）翼型内部没有网格点2）网格点落在翼型表面上引言网格既不是矩形的，也不是均匀分布的。通常的差分很难应用，必须转换。引言控制方程从物理平面(x,y)转换到计算平面(,)物理平面计算平面贴体网格方程的一般变换方程的一般变换考虑二维非定常流场，从物理平面(x,y,t)计算平面(,,)物理平面计算平面方程的一般变换从物理平面(x,y,t)计算平面(,,)下标表示求偏导数过程中保持不变的量方程的一般变换从物理平面(x,y,t)计算平面(,,)下标表示求偏导数过程中保持不变的量方程的一般变换从物理平面(x,y,t)计算平面(,,)方程的一般变换方程的一般变换方程的一般变换方程的一般变换从物理平面(x,y,t)计算平面(,,)方程的一般变换方程的一般变换方程的一般变换度量和雅可比行列式度量和雅可比行列式从物理平面(x,y,t)计算平面(,,)涉及网格几何性质的项，如/x,/y,/x,/y称为度量。度量和雅可比行列式从物理平面(x,y,t)计算平面(,,)如果上述变换式用解析形式给出，则度量也能得到解析值。度量和雅可比行列式从物理平面(x,y,t)计算平面(,,)大部分情况下，上述关系式是用数值形式给出的，则度量用有限差分计算。度量和雅可比行列式从物理平面(x,y,t)计算平面(,,)逆变换下面推导用逆变换来表示导数从计算平面(,,)物理平面(x,y,t)度量和雅可比行列式令u的全微分为：则：度量和雅可比行列式由得：度量和雅可比行列式分母上的行列式称为雅可比行列式，记作度量和雅可比行列式由得：度量和雅可比行列式度量和雅可比行列式写成更一般的形式：度量和雅可比行列式用逆变换来表示导数（含J）：度量和雅可比行列式用直接变换来表示导数(不含J)：下面根据逆度量和直接度量之间的关系式来推导怎么用逆变换来表示导数。度量和雅可比行列式考虑二维的直接变换：有：度量和雅可比行列式即：度量和雅可比行列式再考虑二维的逆变换：有：度量和雅可比行列式即：度量和雅可比行列式由：得：度量和雅可比行列式由：和得：度量和雅可比行列式即：度量和雅可比行列式因为行列式转置后，其值不变，则：故：度量和雅可比行列式于是就得到了直接度量和逆度量之间的关系式：直接度量逆度量度量和雅可比行列式用直接变换来表示导数(不含J)：代入得到用逆变换表示的导数：再论适合CFD使用的控制方程再论适合CFD使用的控制方程在物理平面，流动方程的强守恒形式在计算平面，还能写成如下的形式吗？再论适合CFD使用的控制方程在物理平面，流动方程的强守恒形式答案是能。在计算平面，可以写成以下形式：拉伸（压缩）网格拉伸（压缩）网格流过平板的粘性流直接变换（解析变换）逆变换（解析变换）拉伸（压缩）网格直接变换（解析变换）逆变换（解析变换）拉伸（压缩）网格物理平面上的连续性方程计算平面上的连续性方程：拉伸（压缩）网格得：直接变换（解析变换）拉伸（压缩）网格计算平面上的连续性方程：拉伸（压缩）网格物理平面上的连续性方程计算平面上的连续性方程：拉伸（压缩）网格逆变换（解析变换）下面根据逆变换关系式来推导计算平面上的连续性方程。拉伸（压缩）网格物理平面上的连续性方程用逆变换来表示导数（含J）：拉伸（压缩）网格逆变换（解析变换）计算平面上的连续性方程：贴体坐标系：椭圆型网格生成贴体坐标系：椭圆型网格生成a)物理平面b)计算平面扩张管道内流物理平面中贴体曲线坐标系计算平面内均匀矩形网格贴体坐标系：椭圆型网格生成a)物理平面O型网格qp和sr是同一条曲线割缝贴体坐标系：椭圆型网格生成b)计算平面贴体坐标系：椭圆型网格生成b)计算平面a)物理平面四周边界条件给定，采用椭圆型方程来生成网格，称为椭圆型网格生成最简单的椭圆型方程是Laplace方程：贴体坐标系：椭圆型网格生成Laplace方程：贴体坐标系：椭圆型网格生成计算平面（标出了边界条件，并画了一个内点）贴体坐标系：椭圆型网格生成b)计算平面a)物理平面变换没有解析式，而是一组数值控制方程中所要求的度量可以用有限差分计算，并且常常采用中心差分贴体坐标系：椭圆型网格生成b)计算平面a)物理平面这里生成网格采用的是椭圆型方程，和流动的性质无关流动的控制方程无论是椭圆型、双曲型还是抛物型的，都可以采用这种椭圆型的方程来生成网格。贴体坐标系：椭圆型网格生成采用椭圆型方程生成的绕翼型C型网格在亚声速流中，扰动会传播得非常远，因此网格的外边界放在了离翼型非常远的地方。贴体坐标系：椭圆型网格生成翼型附近网格分布的细节自适应网格自适应网格边界层内没有网格点边界层内至少有一些网格点应该将大量的、密集的网格点分布在流场变量存在大的梯度的那部分流动区域内，从而改进CFD计算的数值精度。自适应网格边界层内没有网格点边界层内至少有一些网格点因为密网格能够减小截断误差，而且要想捕捉流动的物理特性，梯度大的地方就需要更多的网格点。自适应网格边界层内没有网格点边界层内至少有一些网格点没有捕捉到边界层更真实地表现了边界层自适应网格它利用求解的流场特征确定网格点在物理平面中的位置。自适应网格是能够自动向流场中大梯度区域聚集的网格。自适应网格自适应网格是一种随时间变化的网格。网格的调整与流场变量同步。自适应网格自适应网格的优点：1）当网格数量固定时，可以提高计算精度。2）给定精度时，可以用较少的网格点来达到这一精度。自适应网格a)物理平面B和C是比例因子，b和c是梯度放大因子g是流场原始变量，如p,或T自适应网格b)计算平面B和C是比例因子，b和c是梯度放大因子g是流场原始变量，如p,或T自适应网格a)物理平面自适应网格a)物理平面自适应网格a)物理平面为物理平面固定点(x,y)处的时间变化率，其值不为零。自适应网格a)物理平面为物理平面固定点(x,y)处的时间变化率，其值不为零。自适应网格自适应网格自适应网格b)计算平面流动控制方程在计算平面求解。相应导数项采用下列式子计算：网格生成的进展覆盖F-20飞机外形的椭圆型自适应网格用椭圆型网格生成，结合自适应网格，生成的三维贴体网格求解三维欧拉方程的计算结果F-20上表面压力系数的等值线分布网格生成的进展求解三维欧拉方程的计算结果F-20机翼展向不同位置处压力系数沿机翼截面上下表面的变化网格生成的进展求解三维欧拉方程的计算结果CFD计算给出的F-20上的机翼涡网格生成的进展网格由多个网格块组成，每一个网格块都互相独立，网格块之间由交界面分开。覆盖F-16飞机的分块网格网格生成的进展有限体积网格生成的进展有限体积网格生成的进展结构网格：物理平面上的网格尽管是非均匀的，但它们都有一定的“规律性”，物理平面上的网格线与计算平面中,等于常数的线对应，而且同族坐标线互不相交。有限体积网格生成的进展结构网格：等于常数的线互不相交，等于常数的线互不相交。有限体积网格生成的进展结构网格：这些网格存在着某种“结构”，这样的网格称为结构网格。有限体积网格生成的进展非结构网格：有限体积法不需要结构网格，它可以应用于任意形状的网格单元，可以用于非结构网格。环绕多元翼型的非结构网格有限体积网格生成的进展非结构网格：非结构网格没有任何的规律性，没有对应于，等于常数的坐标线。压缩拐角上的非结构网格有限体积网格生成的进展有限体积网格单元远离物体的网格单元是矩形的，与物体相邻的那些单元则可以按物体的形状修改，使每个单元有一条边沿着物体表面。物面附近的笛卡儿网格有限体积网格生成的进展有限体积网格单元远离物体的网格单元是矩形的，与物体相邻的那些单元则可以按物体的形状修改，使每个单元有一条边沿着物体表面。计算多元翼型亚声速绕流的笛卡儿网格