【2020年高考数学一轮复习核心素养大揭秘】专题9.2 排列与组合（原卷版）

第九篇计数原理、概率与随机变量及其分布列专题9.02排列与组合【考纲要求】1.理解排列、组合的概念．2.能利用计数原理推导排列数公式、组合数公式．3.能用排列与组合解决简单的实际问题【命题趋势】两个计数原理与排列、组合的综合问题是高考的热点，以考查基本概念、基本方法(如“含”“不含”问题、相邻问题、相间问题)为主，主要考查分类讨论思想、转化与化归思想、补集思想和逻辑思维能力【核心素养】本讲内容体现对数学抽象，数学建模和数据分析素养的考查.【素养清单• 基础知识 税务基础知识象棋入门,基础知识常见鼠类基础知识常用电子元器件基础知识电梯基础知识培训资料 】1.排列、组合的定义 排列的定义 从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素 按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列 组合的定义 合成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合2.排列数、组合数的定义、公式、性质 排列数 组合数 定义 从n个不同元素中取出m(m≤n，m，n∈N*)个元素的所有不同排列的个数 从n个不同元素中取出m(m≤n，m，n∈N*)个元素的所有不同组合的个数 公式 Aeq\o\al(m,n)＝n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)＝eq\f(n！,（n－m）！) Ceq\o\al(m,n)＝eq\f(A\o\al(m,n),A\o\al(m,m))＝eq\f(n（n－1）（n－2）…（n-m+1）,m！) 性质 Aeq\o\al(n,n)＝n！，0！＝1 Ceq\o\al(0,n)＝1，Ceq\o\al(m,n)＝Ceq\o\al(n－m,n)，Ceq\o\al(m,n)＋Ceq\o\al(m－1,n)＝Ceq\o\al(m,n＋1)【素养清单•常用结论】正确理解组合数的性质(1)Ceq\o\al(m,n)＝Ceq\o\al(n－m,n)：从n个不同元素中取出m个元素的方法数等于取出剩余n－m个元素的方法数.(2)Ceq\o\al(m,n)＋Ceq\o\al(m－1,n)＝Ceq\o\al(m,n＋1)：从n＋1个不同元素中取出m个元素可分以下两种情况：①不含特殊元素A有Ceq\o\al(m,n)种方法；②含特殊元素A有Ceq\o\al(m－1,n)种方法.【真题体验】1．用数字1,2,3,4,5组成的无重复数字的四位偶数的个数为(　　)A．8B．24C．48D．1202．A，B，C，D，E五人并排站成一排，如果B必须在A的右侧(A，B可以不相邻)，那么不同的排法共有(　　)A．24种B．60种C．90种D．120种3．方程3Aeq\o\al(3,x)＝2Aeq\o\al(2,x＋1)＋6Aeq\o\al(2,x)的解为__________．4．已知eq\f(1,C\o\al(m,5))－eq\f(1,C\o\al(m,6))＝eq\f(7,10C\o\al(m,7))，则Ceq\o\al(m,8)＝__________.【考法拓展•题型解码】考法一　　排列问题答题 模板 个人简介word模板免费下载关于员工迟到处罚通告模板康奈尔office模板下载康奈尔 笔记本 模板 下载软件方案模板免费下载 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　(1)对于有限制条件的排列问题，分析问题时有位置分析法、元素分析法，在实际进行排列时一般采用特殊元素优先原则，即先安排有限制条件的元素或有限制条件的位置，对于分类过多的问题可以采用间接法．(2)对相邻问题采用捆绑法、不相邻问题采用插空法、定序问题采用倍缩法是解决有限制条件的排列问题的常用方法．【例1】(1)3名男生，4名女生，选其中5人排成一排，则有______种不同的排法．(2)将某大学4名大四学生安排到某城市的甲、乙、丙、丁四所中学进行教学实习，要求每所学校都分一名学生，且学生A不分到甲校，则不同的实习安排 方案 气瓶 现场处置方案 .pdf气瓶 现场处置方案 .doc见习基地管理方案.doc关于群访事件的化解方案建筑工地扬尘治理专项方案下载 共有__________种．考法二　　组合问题归纳 总结 初级经济法重点总结下载党员个人总结TXt高中句型全总结.doc高中句型全总结.doc理论力学知识点总结pdf 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　(1)“含有”或“不含有”某些元素的组合题型．“含”，则先将这些元素取出，再由另外元素补足；“不含”，则先将这些元素剔除，再从剩下的元素中去选取．(2)“至少”或“最多”含有几个元素的题型，考虑逆向思维，用间接法处理．【例2】(1)(2019·河南开封调研)某地实行高考改革，考生除参加语文、数学、英语统一考试外，还需从物理、化学、生物、政治、历史、地理六科中选考三科．学生甲要想报考某高校的法学专业，就必须要从物理、政治、历史三科中至少选考一科，则学生甲的选考方法种数为(　　)A．6B．12C．18D．19(2)要从12人中选出5人去参加一项活动，A，B，C三人必须入选，则有__________种不同选法．考法三　　排列组合的综合问题答题模板　　　　　　　　　　　　　　　　　　　利用先选后排法解决问题的三个步骤【例3】从0,1,2,3,4,5这六个数字中任取两个奇数和两个偶数，组成没有重复数字的四位数的个数为(　　)A．300B．216C．180D．162考法四　　分组分配问题解题技巧　　　　　　　　　　　　　　　　　　　分组分配问题的处理策略(1)不同元素的分配问题，往往是先分组再分配，在分组时，通常有三种类型：①不均匀分组；②均匀分组；③部分均匀分组．注意各种分组类型中，不同分组方法的差异．(2)对于相同元素的“分配”问题，常用的方法是采用“隔板法”．【例4】(1)(2017·全国卷Ⅱ)安排3名志愿者完成4项工作，每人至少完成1项，每项工作由1人完成，则不同的安排方式共有(　　)A．12种B．18种C．24种D．36种(2)(2017·浙江卷)从6男2女共8名学生中选出队长1人，副队长1人，普通队员2人组成4人服务队，要求服务队中至少有1名女生，共有__________种不同的选法(用数字作答)．【易错警示】易错点　平均分组可能重复计算【典例】某交通岗共有3人，从周一到周日的7天中，每天安排一人值班，每人至少值2天，其不同的排法共有(　　)种．A．5040B．1260C．210D．630【错解】：B　把从周一到周日7天分为3组，第一组选2天，第二组选2天，剩下的3天给第三组，这三组再分给三人，共有：Ceq\o\al(2,7)Ceq\o\al(2,5)Ceq\o\al(3,3)Aeq\o\al(3,3)＝1260.(平均分组问题中的重复计数)【错因分析】：本题是一个平均分组问题；错解中的挑选方法可能为第一组挑选的是周一、周二，第二组挑选的是周三、周四；也可能是第一组挑选的是周三、周四，第二组挑选的是周一、周二，所以在全排列的过程中就重复计算了．【正解】：选Deq\f(C\o\al(2,7)C\o\al(2,5)C\o\al(3,3),A\o\al(2,2))·Aeq\o\al(3,3)＝630种．误区防范　　　　　　　　　　　　　　　　　　　平均分组中很容易重复计算，一定要细心．【跟踪训练】将5名志愿者分配到3个不同的奥运场馆参加接待工作，每个场馆至少分配一名志愿者的方案种数为(　　)A．540种B．300种C．180种D．150种【递进题组】1．(2019·福州八中模拟)甲、乙等5人在9月3号参加了纪念抗日战争胜利70周年阅兵庆典后，在天安门广场排成一排拍照留念，甲和乙必须相邻且都不站在两端的排法有(　　)A．12种B．24种C．48种D．120种2．(1)某学校派出5名优秀教师去边远地区的三所中学进行教学交流，每所中学至少派一名教师，则不同的分配方法有(　　)A．80种B．90种C．120种D．150种(2)国家教育部为了发展贫困地区教育，在全国重点师范大学免费培养教育专业师范生，毕业后要分到相应的地区任教，现有6个免费培养的教育专业师范毕业生要平均分到3所学校去任教，有__________种不同的分派方法．3．“渐升数”是指每个数字比它左边的数字大的正整数(如1458)，若把四位“渐升数”按从小到大的顺序排列，则第30个数为__________．4．由0,1,2,3,4,5这六个数字组成的无重复数字的自然数，求：(1)有多少个含有2,3，但它们不相邻的五位数？(2)有多少个数字1,2,3必须由大到小顺序排列的六位数？【考卷送检】一、选择题1．在实验室进行的一项物理实验中，要先后实施6个程序，其中程序A只能出现在第一步或最后一步，程序B和C在实施时必须相邻，则实验顺序的编排方法共有(　　)A．34种B．48种C．96种D．124种2．甲、乙等5位同学分别保送到北京大学、上海交通大学、中山大学这3所大学就读，则每所大学至少保送1人的不同保送方法种数为(　　)A．150B．180C．240D．5403．在5×5的棋盘中，放入3颗黑子和2颗白子，它们均不在同一行且不在同一列，则不同的排列方法种数为(　　)A．150B．200C．600D．12004．市汽车牌照号码可以上网自编，但规定从左到右第二个号码只能从字母B，C，D中选择，其他四个号码可以从0～9这十个数字中选择(数字可以重复)，某车主第一个号码(从左到右)只想在数字3,5,6,8,9中选择，其他号码只想在1,3,6,9中选择，则他的车牌号码可选的所有可能情况有(　　)A．180种B．360种C．720种D．960种5．“住房”“医疗”“教育”“养老”“就业”成为现今社会关注的五个焦点．小赵想利用国庆节假期调查一下社会对这些热点的关注度．若小赵准备按照顺序分别调查其中的4个热点，则“住房”作为其中的一个调查热点，但不作为第一个调查热点的种数为(　　)A．13B．24C．18D．726．(2019·石家庄质检)中小学校车安全问题引起社会的关注，为了彻底消除校车安全隐患，某市购进了50台完全相同的校车，准备发放给10所学校，每所学校至少2台，则不同的发放方案的种数有(　　)A．Ceq\o\al(9,41)B．Ceq\o\al(9,38)C．Ceq\o\al(9,40)D．Ceq\o\al(9,39)二、填空题7．4个不同的小球放入编号为1,2,3,4的4个盒中，则恰有1个空盒的放法共有________种(用数字作答)．8．数字1,2,3,4,5,6按如图形式随机排列，设第一行的数为N1，其中N2，N3分别 表 关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf 示第二、三行中的最大数，则满足N1<N2<N3的所有排列的个数是________．9．(2019·孝感质检)某学校新来了五名学生，学校准备把他们分配到甲、乙、丙三个班级，每个班级至少分配一人，则其中学生A不分配到甲班的分配方案种数是________．三、解答题10．(1)解方程eq\f(A\o\al(7,x)－A\o\al(5,x),A\o\al(5,x))＝89.(2)解不等式eq\f(1,C\o\al(3,n))－eq\f(1,C\o\al(4,n))<eq\f(2,C\o\al(5,n)).11．7名师生站成一排照相留念．其中老师1人，男生4人，女生2人，在下列情况中，各有不同站法多少种？(1)2名女生必须相邻；(2)4名男生互不相邻；(3)若4名男生身高都不相等，且男生按从高到低的一种顺序站；(4)老师不站中间，女生不站两端．12．(2019·宜昌月考)按下列要求分配6本不同的书，各有多少种不同的分配方式？(1)分成三份，1份1本，1份2本，1份3本；(2)甲、乙、丙三人中，一人得1本，一人得2本，一人得3本；(3)平均分成三份，每份2本；(4)平均分配给甲、乙、丙三人，每人2本；(5)分成三份，1份4本，另外两份每份1本；(6)甲、乙、丙三人中，一人得4本，另外两人每人得1本；(7)甲得1本，乙得1本，丙得4本．13．用0,1,2,3,4,5,6构成无重复数字的七位数，其中：(1)能被25整除的数有多少个？(2)设x，y，z分别表示个位、十位、百位上的数字，满足x<y<z的数有多少个？(3)偶数必须相邻的数有多少个？4