中南大学高等工程数学(2014)试题及参考答案

-1-中南大学专业硕士“高等 工程 路基工程安全技术交底工程项目施工成本控制工程量增项单年度零星工程技术标正投影法基本原理 数学Ⅰ”考试试卷（开卷）考试日期：2014年月日时间100分钟注：解答全部写在答题纸上一、填空题(本题24分，每小题3分)（1）如果1111324161,253113344AxbA，矩阵1A，A，利用Gauss-Seidel迭代法求解此方程组是否收敛； 答案 八年级地理上册填图题岩土工程勘察试题省略号的作用及举例应急救援安全知识车间5s试题及答案 ：92，5312，收敛解析：1||||A为列范数，等于各列绝对值之和的最大值，||A||为行范数，等于各行绝对值之和的最大值，A为严格对角占优矩阵，根据课本P143定理5.4.12知，Jacobi和G-S均收敛。（2）利用迭代法求解非线性方程()20xfxxe的根，取初值00.5x。给出一个根的存在区间，在该区间上收敛的迭代函数为；答案：[-1，0]，1()2xgxe解析：01)0(,021)1(fef，故在[-1，0]上存在至少一个根，取xexg21)(，根据课本P93定理4.2.3可知迭代函数收敛的条件：（1）在[-1,0]上一阶导数存在；（2）]0,1[x，均有[-1,0]|g(x)|；（3）121|)('|maxxg，故xexg21)(在[-1,0]上收敛。（3）设事件A发生的概率为p，在n次重复试验中事件A发生次数为m，当n充分大时，)1(nmmnpm近似服从的分布为；答案:)1,0(N解析：课本P187定理7.2.4（4）设]1,1[,,,4321xxxx，若数值积分公式)()()()()(4433112211xfAxfAxfAxfAdxxf的代数精度大于1，则4321AAAA；答案：2解析：令1)(xf，可得43211121AAAAdx。（5）已知)(xfy通过点3,2,1,0),,(iyxii，则其Lagrange插值基函数)(2xl；答案：0132202123()()()()()()()xxxxxxlxxxxxxx解析：课本P20拉格朗日插值基函数的定义（式2.3.2）。-2-（6）对一元线性回归模型2~(,)YabxN，b的最小二乘估计为bˆ，且ˆ~b，2的无偏估计为；答案：xxxyLL，),(2xxLbN，)(21xyxyLbLn解析：课本P207式8.2.7，课本P209式8.2.11，课本P208式8.2.10；其中212xnxLniixx，yxnyxLiniixy1，212ynyLniiyy。（7）算法221212),(xxxxfy，设1x和2x的绝对误差分别为)(1x和)(2x，则)(y；答案：*2**12121()2()xxxxx解析：**2*1122[()][()]yxxxx*2**2****2212121211122112[()2()]2()()()()()xxxxxxxxxxxxxx*2**2**1212121[()2()]xxxxxxx，参见课本P12误差传播及P13乘法运算中误差的传播。（8）计算函数)(xf在区间],[ba起点a附近的近似值时，应用Newton向前插值公式而不用向后插值公式的原因是。答案：误差传播方式不同，近似解在a附近时采用向前插值公式误差较小。解析：Newton向前插值公式：002000!)1()1(!2)1()(ynntttyttytythxNnn其中：00hxxt；Newton向后插值公式：nnnnnnynntttyttytythxN!)1()1(!2)1()(02其中：0hxxtn二、（本题12分）已知)(xfy的函数值如下x-1.5012)(xf2-119在区间]2,5.1[上求满足自然边界条件的三次样条插值函数)(xS在第一个小区间的表达式，并计算)1(f的近似值。解：5.01,4.015.0,6.01,1,5.1221132222111321；；hhhhhhhhh；81219],[,201)1(1],[,2)5.1(021],[322110xxfxxfxxf；18],[],[66.9],[],[621323221021211）（，）（xxfxxfhhgxxfxxfhhg；在自然边界条件下，0''0y，0''00yM，且有2''0112121-22gygMM，即186.925.04.0221MM，解得：21.8,16.321MM-3-故102111112100130113101)6()6(6)(6)()(hxxhMyhxxhMyhxxMhxxMxS)5.1(46.133.15.135.03xxx）（64375.0)1()1(1Sf三、（本题12分）某工厂利用原材料甲、乙、丙生产产品A、B、C，有关资料见下表：产品材料消耗原材料ABC可供原材料（Kg）甲乙丙211200123500221600每件产品利润（万元）413（1）怎样安排生产，使利润最大，建立数学模型．（2）利用单纯形法求解所建立的模型（要求计算过程和结果）。解：（1）设A为1x，B为2x，C为3x，由题可得0,0,060022500322002)34(max321321321321321xxxxxxxxxxxxxxxZ，引进松弛变量0,,654xxx化为62,1,060022500322002)34(max632153214321321，，ixxxxxxxxxxxxxxxxZi（2）列出初始单纯形表并进行迭代得：基变量bCbX1x2x3x4x5x6x4130004x02002111001005x05001230105006x0600221001300j0Z-4-1-30001x41001212121002005x04000232521-101606x0400010-101j400Z01-12001x42015105351-03x3160053151-5206x0400010-101j560Z058059520560,)160,0,20(61.0**ZxjTj，-4-四、（本题16分）设方程组为12341123702103267621133411xxxx（1）利用雅可比（Jacobi）迭代格式进行迭代计算求近似解，取初始值0(0.00,0.00,0.00,0.00)TX,保留2位小数，迭代2次；（2）利用矩阵LU直接分解方法求准确解。解：（1）将方程组转化为等价方程组：)3311(41)66221(71)3(2132732144213324321xxxxxxxxxxxxxx迭代公式：初始向量Tx)00.0,00.0,00.0,00.0()0(，75.2)3311(4100.3)66221(7150.1)3(2100.7327)0(3)0(2)0(1)1(4)0(4)0(2)0(1)1(3)0(3)1(2)0(4)0(3)0(2)1(1xxxxxxxxxxxxxx38.2)3311(4164.2)66221(710)3(2175.8327)1(3)1(2)1(1)2(4)1(4)1(2)1(1)2(3)1(3)2(2)1(4)1(3)1(2)2(1xxxxxxxxxxxxxx（雅克比迭代不收敛）（2）系数矩阵4331676201203211A=10101232111011122101=LU11213710111221014321yyyyLy，解得Ty)1,1,37(，，113710101232114321xxxxUx，解得Tx)1,1,1,1(.五、（本题14分）某大学从来自A，B两市的新生中分别随机抽取5名与6名新生，测其身高（单位：cm）后算得1.9,3.11,0.1729.1752221SSyx，。假设两市新生身高分别服从正态分布，221122~(,)~(,)XNYN。（1）两市新生身高的标准差有无差异（置信水平为0.95）（2）试求2221的置信度为0.95的置信区间。（注：课本P201练习题第二题改编）解：（1）假设两市新生身高的标准差无差异，即21，选取统计量2221SSF，拒绝域为)}1,1({)}1,1({212nmFFnmFFW，查表得212(1,1)7.39,(1,1)0.107FmnFmn，-5-计算的24.1F不在拒绝域内，故置信水平为0.95时，两市新生身高标准差无差异。（2）由于21，未知，选取)1,1(~22222121nmFSS，可得2221的置信区间为）（)1,1(,)1,1(21222122221nmFSSnmFSS由（1）可得2221置信水平为0.95的置信区间为：(0.168,11.605).六、（本题10分）为计算一形状为曲边梯形零件的表面积，在将其分布区间逐次分半测量曲边的高度，并用复合梯形公式计算其面积的近似值如下表：n1248nT2.93.13.1313.139请根据表中数据计算该零件表面积精度足够高的近似值。解：辛普森序列nnnTTS31342，柯斯特序列nnnSSC15115162，龙贝格序列nnnCCR63163642得出龙贝格算法数值表如下：kkT212kS22kC32kR02.913.13.16723.1313.1413.13933.1393.1423.1423.142故该零件表面积的近似值为3.142。七、（本题12分）考察四种不同的催化剂对某一化工产品的转化率的影响，在不同的四种催化剂下分别做试验得如下数据催化剂产品转化率和平方和12340.880.850.790.860.850.830.870.920.850.830.900.840.780.810.810.860.900.875.064.372.433.444.27203.82471.97012.9626解：该试验为单因子4水平实验，设单因子为因素A，假设：43210:H，即四种催化剂对产品转化率没有显著影响，拒绝域为)}14,3({FFW，由表中数据计算可得0083.0,0161.0,0244.0SSESSTSSASSESST一元方差 分析 定性数据统计分析pdf销售业绩分析模板建筑结构震害分析销售进度分析表京东商城竞争战略分析 表如下：方差来源平方和自由度样本方差F值组间（因素A）0.008330.00282.333组内（误差）0.0161140.0012总和0.0244当05.0时，查表得0.05(3,14)3.34F，)14,3(FF，所以接受0H，即这四种催化剂对转化率没有显著影响。