第九章重积分重积分是定积分的推广和发展.其同定积分一样也是某种确定和式的极限,其基本思想是四步曲:分割、取近似、求和、取极限.定积分的被积函数是一元函数,其积分区域是一个确定区间.而二重、三重积分的被积函数是二元、三元函数,其积分域是一个平面有界闭区域和空间有界闭区域.重积分有其广泛的应用.序言问题的提出二重积分的概念二重积分的性质小结思考题作业doubleintegral第一节二重积分的概念与性质一、问题的提出定积分中会求平行截面面积为已知的一般立体的体积如何求先从曲顶柱体的体积开始.而曲顶柱体的体积的计算问题,一般立体的体积可分成一些比较简单的回想立体的体积、旋转体的体积.曲顶柱体的体积.二重积分的一个模型.可作为曲顶柱体体积=特点1．曲顶柱体的体积困难曲顶柱体以xOy面上的闭区域D为底,D的边界曲线为准线而母线平行于z轴的柱面,侧面以顶是曲面且在D上连续).曲顶顶是曲的柱体体积=特点分析曲边梯形面积是如何求以直代曲、如何创造条件使解决问题的思路、步骤与回忆思想是分割、平顶平曲这对矛盾互相转化与以不变代变.曲边梯形面积的求法类似取近似、求和、取极限.底面积×高步骤如下用若干个小平顶柱体体积之和先任意分割曲顶柱体的底，曲顶柱体的体积并任取小区域，近似
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示曲顶柱体的体积，(1)分割相应地此曲顶柱体分为n个小曲顶柱体.(2)取近似第i个小曲顶柱体的体积的近似式将域D任意分为n个子域在每个子域内任取一点(3)求和即得曲顶柱体体积的近似值:(4)取极限λ)趋于零,求n个小平顶柱体体积之和令n个子域的直径中的最大值(记作上述和式的极限即为曲顶柱体体积2.非均匀平面薄片的质量(1)将薄片分割成n个小块，看作均匀薄片.(2)(3)(4)设有一平面薄片,求平面薄片的质量M.也表示它的面积,二、二重积分的概念1.二重积分的定义定义作乘积并作和①②③积分区域积分和被积函数积分变量被积表达式面积元素这和式则称此零时,的极限存在,极限为函数二重积分,记为即④曲顶柱体体积它的面密度曲顶即在底D上的二重积分,平面薄片D的质量即在薄片D上的二重积分,二重积分可写为定积分中1.重积分与定积分的区别:重积分中可正可负.则面积元素为D(A)最大小区间长;(B)小区域最大面积;(C)小区域直径;(D)最大小区域直径.D2.二重积分的存在定理设f(x,y)是有界闭区域D上的连续函数存在.连续函数一定可积今后的讨论中,积分区域内总是连续的.或是分片连续函数时,则都假定被积函数在相应的(2)3.二重积分的几何意义(3)(1)在D上的二重积分就等于二重积分是二重积分是而在其它的部分区域上是负的.这些部分区域上的柱体体积的代数和.那末,柱体体积的负值;柱体体积;在D上的若干部分区域上是正的,例设D为圆域二重积分=解上述积分等于由二重积分的几何意义可知，是上半球面上半球体的体积：RD性质１为常数,则(二重积分与定积分有类似的性质)三、二重积分的性质根据二重积分的几何意义,确定积分值以1为高的性质2将区域D分为两个子域性质3D1D2既可看成是以D为底,柱体体积.对积分区域的可加性质.D又可看成是D的面积.在有界闭区域D1上可积,且则必有特殊地性质4(比较性质)设则例的值=().(A)为正(B)为负(C)等于0(D)不能确定为负B选择题比较(D)无法比较.C•性质4(比较性质)的大小,则()解例判断的正负号.故于是又当几何意义以m为高和以M为高的两个证再用性质1和性质3,性质5(估值性质)则σ为D的面积,则曲顶柱体的体积介于以D为底,平顶柱体体积之间.证毕.解估值性质区域D的面积在D上例不作计算,性质6(二重积分中值定理)体积等于显然几何意义证D上连续,σ为D的面积,则在D上至少存在一点使得则曲顶柱体以D为底为高的平顶柱体体积.将性质5中不等式各除以有的最大值M与最小值m之间的.由闭区域上连续函数的介值定理.两端各乘以点的值证毕.即是说,确定的数值是介于函数在D上至少存在一点使得函数在该与这个确定的数值相等,即(A)(B)(C)(D)提示:B是有界闭区域D:上的连续函数,不存在.利用积分中值定理.利用积分中值定理,解即得:由函数的连续性知,显然,其中点是圆域内的一点.补充在分析问题和算题时常用的设区域D关于x轴对称,如果函数f(x,y)关于坐标y为偶函数.性质7则D1为D在第一象限中的部分,对称性质坐标y为奇函数则设区域D关于x轴对称,如果函数f(x,y)关于设f(x,y)关于y为偶函数,证则得坐标y为奇函数自证!则设区域D关于x轴对称,如果函数f(x,y)关于这个性质的几何意义如图:如果函数f(x,y)关于坐标x为奇函数如果函数f(x,y)关于坐标x则为偶函数则类似地,设区域D关于y轴对称,且D1为D在第一象限中的部分,设D为圆域(如图)00D1为上半圆域D2为右半圆域解由性质得例为顶点的三角形区域,(A)(B)(C)(D)0.A1991年研究生考题,选择,3分D1是D在第一象限的部分,D1D2D3D4记I=则I=I1+I2,其中I1=I2=而I1=D1与D2关于y轴对称D3与D4关于x轴对称而I2=是关于x的偶函数,关于y的奇函数.所以D1D2D3D4今后在计算重积分利用对称性简化计算时,注意被积函数的奇偶性.积分区域的对称性,要特别注意考虑两方面:思考当f为关于x且关于y的偶函数时：当f为关于x或关于y的奇函数时：04此式的几何意义是:中心在原点的上半球的体积等于它在第一卦限内的体积的4倍.0二重积分的定义二重积分的性质二重积分的几何意义(曲顶柱体的体积)(四步:分割、取近似、求和、取极限)四、小结(注意对称性质的用法)思考题1将二重积分定义与定积分定义进行比较,找出它们的相同之处与不同之处.被积函数为定义在平面区域上思考题解答相同点定积分与二重积分都表示某个和式的极限值,且此值只与被积函数及积分区域有关.不同点定积分的积分区域为区间,被积函数为定义在区间上的一元函数,而二重积分的积分区域为平面区域,的二元函数.思考题2二重积分的几何意义是以为曲顶,D为底的曲顶柱体体积.(是非题)非.作业习题8-1(78页)2.4.(1)(3)(4)5.(1)(3)谢谢！放映结束感谢各位的批评指导！让我们共同进步
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