§5氢原子与类氢离子的定态薛定谔方程及其解一、本节内容1.氢原子与类氢离子的定态薛定谔方程可将两粒子运动问题约化成整个质心的平动及两粒子之间的相对运动。两粒子运动的约化问题：zxym1m2Cr1r2R两粒子体系示意图两粒子之间相对运动所对应的方程为:即:上式中:2.氢原子与类氢离子的定态薛定谔方程的球极坐标表达式ZXYOP(x,y,z)(r,,)r(x,y)球极坐标及其与直角坐标的关系：球坐标中氢原子及类氢离子的薛定谔方程为：球坐标中拉普拉斯算符为：3.基态的解对于基态，氢原子和类氢离子波函数应该是球对称的，与角度无关，即：其对应的薛定谔方程为：用试探波函数求最简单特解。(思考:特解为什么是该形式?)将波函数代入方程求,N的值(见教材p58),同时得波函数和能量为:4.将偏微分方程化为常微分方程——分离变量法一般来说，偏微分方程化为常微分方程后才能求解。令：代入薛定谔方程,先将径向部分(只与r有关)和角度部分分开,分别移到方程的两边.这样该方程两边应等于同一个常数.然后在将角度部分分离成只含一个变量的两个常微分方程,就将偏微分方程分离成了三个常微分方程。径向(r为自变量)方程:变量为方程:变量为方程:得到的三个方程为:常数k和m2是分离变量过程中引入的常数。类氢离子波函数的归一化问题:5.()方程的解：()方程是：求解该方程的条件:边界条件?无合格波函数的条件:单值?有;连续,有限?求得方程的解为：式中A是归一化系数，如何求得？归一化求A：m=?根据单值性条件得出,即:因此:m=0,1,2,……()的复函数形式组合成实函数的问题:可以证明组合得到的实函数是归一化的,如:6.()方程的解:这是一个连属勒让德方程,需要用级数法解.求解条件:边界条件?无;合格波函数条件:有限(级数解要收敛)要得到收敛结果,无穷级数需变成多项式,即在某项后截断,这要求:k=l(l+1),l取0,1,2,……并且l|m|,即m=0,±1,…,±l。这样求得()方程的解具体形式。用导数表示的连属勒让德函数的形式为:练习题:推出l=2,m=1和m=－1的()函数形式。解:7.R(r)方程的解:这是一个连属拉盖尔方程,需要用级数法解.求解条件:边界条件?无;合格波函数条件:有限(级数要有收敛的解)要得到收敛结果,无穷级数需变成多项式,即在某项后截断,这要求(能量为负值时):上式中的n为主量子数,取从1开始的正整数,并要求nl+1,即l的取值为:l=0,1,…,(n-1)决定类氢离子能量大小的因素:①与折合质量成正比;②与核电荷数的平方Z2成正比;③与主量子数的平方n2成反比。求得R(r)方程的解具体形式为:求解得到氢原子和类氢离子的完全波函数为:例题:电子偶素是有一个电子束缚到一个正电子上构成的一个体系,试计算它的基态能量及第一激发态的电离势(用eV表示)。解：这也是一个类氢离子问题,Z=1,注意：对氢原子me(电子质量)但对电子偶素=me/2故:基态能量EEH/2=－6.8eV第一激发态的电离势=6.8/4=1.7eV。二、本节需要掌握的知识1.概念:类氢离子,球坐标,折合质量,分离变量法2.需要掌握:类氢离子哈密顿算符的写法,球坐标中波函数的归一化,类氢离子薛定谔方程求解的思路及量子数引入的问题.3.计算:能根据类氢离子能量表达式进行计算.三.本节作业1.课下自己思考:p144,第8两题2.将第34,37题做到作业本上.
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