奥数奥数奥数举一反三 （6）年级第20周 面积计算

第二十周 面积计算（三） 专题简析： 对于一些比较复杂的组合图形，有时直接分解有一定的困难，这时，可以通过把其中的部分图形进行平移、翻折或旋转，化难为易。有些图形可以根据“容斥问题“的原理来解答。在圆的半径r用 小学 小学生如何制作手抄报课件柳垭小学关于三违自查自纠报告小学英语获奖优质说课课件小学足球课教案全集小学语文新课程标准测试题 知识无法求出时，可以把“r2”整体地代入面积公式求面积。 例题1。 如图20－1所示，求图中阴影部分的面积。 【思路导航】 解法一：阴影部分的一半，可以看做是扇形中减去一个等腰直角三角形（如图20－2），等腰直角三角形的斜边等于圆的半径，斜边上的高等于斜边的一半，圆的半径为20÷2＝10厘米 【3.14×102× EQ \F(1,4) －10×（10÷2）】×2＝107（平方厘米） 答：阴影部分的面积是107平方厘米。 解法二：以等腰三角形底的中点为中心点。把图的右半部分向下旋转90度后，阴影部分的面积就变为从半径为10厘米的半圆面积中，减去两直角边为10厘米的等腰直角三角形的面积所得的差。 （20÷2）2× EQ \F(1,2) －（20÷2）2× EQ \F(1,2) ＝107（平方厘米） 答：阴影部分的面积是107平方厘米。 练习1 1、 如图20－4所示，求阴影部分的面积（单位：厘米） 2、 如图20－5所示，用一张斜边为29厘米的红色直角三角形纸片，一张斜边为49厘米的蓝色直角三角形纸片，一张黄色的正方形纸片，拼成一个直角三角形。求红蓝两张三角形纸片面积之和是多少？ 例题2。 如图20－6所示，求图中阴影部分的面积（单位：厘米）。 【思路导航】 解法一：先用长方形的面积减去小扇形的面积，得空白部分（a）的面积，再用大扇形的面积减去空白部分（a）的面积。如图20－7所示。 3.14×62× EQ \F(1,4) －（6×4－3.14×42× EQ \F(1,4) ）＝16.82（平方厘米） 解法二：把阴影部分看作（1）和（2）两部分如图20－8所示。把大、小两个扇形面积相加，刚好多计算了空白部分和阴影（1）的面积，即长方形的面积。 3.14×42× EQ \F(1,4) +3.14×62× EQ \F(1,4) －4×6＝16.28（平方厘米） 答：阴影部分的面积是16.82平方厘米。 练习2 1、 如图20－9所示，△ABC是等腰直角三角形，求阴影部分的面积（单位：厘米）。 2、 如图20－10所示，三角形ABC是直角三角形，AC长4厘米，BC长2厘米。以AC、BC为直径画半圆，两个半圆的交点在AB边上。求图中阴影部分的面积。 3、 如图20－11所示，图中平行四边形的一个角为600，两条边的长分别为6厘米和8厘米，高为5.2厘米。求图中阴影部分的面积。 例题3。 在图20－12中，正方形的边长是10厘米，求图中阴影部分的面积。 【思路导航】 解法一：先用正方形的面积减去一个整圆的面积，得空部分的一半（如图20－13所示），再用正方形的面积减去全部空白部分。 空白部分的一半：10×10－（10÷2）2×3.14＝21.5（平方厘米） 阴影部分的面积：10×10－21.5×2＝57（平方厘米） 解法二：把图中8个扇形的面积加在一起，正好多算了一个正方形（如图20－14所示），而8个扇形的面积又正好等于两个整圆的面积。 （10÷2）2×3.14×2－10×10＝57（平方厘米） 答：阴影部分的面积是57平方厘米。 练习3 求下面各图形中阴影部分的面积（单位：厘米）。 例题4。 在正方形ABCD中，AC＝6厘米。求阴影部分的面积。 【思路导航】这道题的难点在于正方形的边长未知，这样扇形的半径也就不知道。但我们可以看出，AC是等腰直角三角形ACD的斜边。根据等腰直角三角形的对称性可知，斜边上的高等于斜边的一半（如图20－18所示），我们可以求出等腰直角三角形ACD的面积，进而求出正方形ABCD的面积，即扇形半径的平方。这样虽然半径未求出，但可以求出半径的平方，也可以把半径的平方直接代入圆面积公式计算。 既是正方形的面积，又是半径的平方为：6×（6÷2）×2＝18（平方厘米） 阴影部分的面积为：18－18×3.14÷4＝3.87（平方厘米） 答：阴影部分的面积是3.87平方厘米。 练习4 1、 如图20－19、20－20所示，图形中正方形的面积都是50平方厘米，分别求出每个图形中阴影部分的面积。 2、 如图20－21所示，正方形中对角线长10厘米，过正方形两个相对的顶点以其边长为半径分别做弧。求图形中阴影部分的面积（试一试，你能想出几种办法）。 例题5。 在图20－22的扇形中，正方形的面积是30平方厘米。求阴影部分的面积。 【思路导航】阴影部分的面积等于扇形的面积减去正方形的面积。可是扇形的半径未知，又无法求出，所以我们寻求正方形的面积与扇形面积的半径之间的关系。我们以扇形的半径为边长做一个新的正方形（如图20－23所示），从图中可以看出，新正方形的面积是30×2＝60平方厘米，即扇形半径的平方等于60。这样虽然半径未求出，但能求出半径的平方，再把半径的平等直接代入公式计算。 3.14×（30×2）× EQ \F(1,4) －30＝17.1（平方厘米） 答：阴影部分的面积是17.1平方厘米。 练习5 1、 如图20－24所示，平行四边形的面积是100平方厘米，求阴影部分的面积。 2、 如图20－25所示，O是小圆的圆心，CO垂直于AB,三角形ABC的面积是45平方厘米，求阴影部分的面积。 3、 如图20－26所示，半圆的面积是62.8平方厘米，求阴影部分的面积。 答案： 练1 1、 如图答20－1所示，因三角形BCD中BC边上高等于BC的一半，所以阴影部分的面积是：62×3.14× EQ \F(45,360) －6×（6÷2）× EQ \F(1,2) ＝5.13平方厘米 2、 如图答20－2所示，将红色直角三角形纸片旋转900，红色和蓝色的两个直角三角形就拼成了一个直角边分别是49厘米和29厘米的直角三角形，因此，所求的面积为： 49×29× EQ \F(1,2) ＝710.5平方厘米 练2 1、 如图答20－3所示，可以看做两个半圆重叠在一起，从中减去一个三角形的面积就得到阴影部分的面积。 （2÷2）2×3.14× EQ \F(1,2) ×2－2×2× EQ \F(1,2) ＝1.14平方厘米 2、 思路与第一题相同 （4÷2）2×3.14× EQ \F(1,2) +（2÷2）2×3.14× EQ \F(1,2) －4×2× EQ \F(1,2) ＝3.85平方厘米 3、 如图答20－4所示，用大小两个扇形面积和减去一个平行四边形的面积，即得到阴影部分的一半，因此阴影部分的面积是： 【（82+62）×3.14× EQ \F(60,360) －8×5.2】×2＝21 EQ \F(7,15) 平方厘米 练3 1、 如图答20－5所示，阴影部分的面积等于四个半圆的面积减去一个正方形的面积，即： （10÷2）2×3.14× EQ \F(1,2) ×4－10×10＝57平方厘米 2、 如图答20－6所示，阴影部分的面积等于半圆与扇形面积的和，减去一个三角形的面积，即：102×3.14× EQ \F(45,360) +（10÷2）2×3.14× EQ \F(1,2) －10×10× EQ \F(1,2) ＝28.5平方厘米 3、 如图答20－7所示，整个图形的面积等于两个半圆的面积加上一个三角形的面积，用整个图形的面积减去一个最大半圆的面积就等于阴影部分的面积，即： （4÷2）2×3.14× EQ \F(1,2) +（3÷2）2×3.14× EQ \F(1,2) +4×3× EQ \F(1,2) －（5÷2）2×3.14× EQ \F(1,2) ＝6平方厘米 练4 1、 （1）因为圆的半径的平方等于正方形面积的 EQ \F(1,4) ，所以阴影部分的面积是 （50÷4）×3.14＝39.25平方厘米 （2）因为扇形半径的平方等于正方形的面积，所以，阴影部分的面积是 50－50×3.14× EQ \F(1,4) ＝1075平方厘米 2、 提示：仔细阅读例4，仿照例4先求扇形半径的平方，然后设法求出阴影部分的面积。 10×（10÷2）×3.14× EQ \F(1,4) ×2－10×（10÷2）＝28.5平方厘米 练5 1、 如图答20－8所示，连结AC可以看出平行四边形面积的一半等于圆半径的平方，所以，阴影部分的面积是100÷2×3.14× EQ \F(1,4) －100× EQ \F(1,4) ＝14.25平方厘米 2、 如图答20－9所示， （1）因为三角形ABC的面积等于小圆半径的平方，所以小圆的面积的一半是45×3.14× EQ \F(1,2) ＝70.65平方厘米 （2）因为大圆半径的平方等于三角形ABC面积的2倍，所以大圆的面积的 EQ \F(1,4) 是45×2×3.14× EQ \F(1,4) ＝70.65平方厘米 （3）弓形AB的面积是70.65－45＝25.65平方厘米 （4）阴影部分的面积是70.65－25.65＝45平方厘米 3、 如图答20－10所示， （1）半圆半径的平方是62.8×2+3.14＝40平方厘米 （2）三角形AOB的面积是40÷2＝20平方厘米 （3）阴影部分所在圆的半径的平方是40×2＝80平方厘米 （4）阴影部分的面积是80×3.14× EQ \F(45,360) －20＝11.4平方厘米 45○ 10 20－4 20－1 45○ 10 45○ 20－2 20－3 45○ 45○ 45○ 6 C B A D 20－5 29 29 49 49 49 20－6 6 4 减去 a 20－7 20－8 （1） （2） 加 减 2 A B C 20－9 A B C D 20－10 60○ 20－11 20－12 20－13 20－14 20－15 10 20－16 10 20－17 4 3 5 20－18 A B C D D C B A 20－19 20－20 20－21 20－22 B B A A 20－24 O B C D A 20－25 C B A O 20－26 45○