【2020年江苏省高考数学考点探究】专题66 抛物线与轨迹方程（理）（解析版）

专题66　抛物线与轨迹方程（理）专题知识梳理1．抛物线的几何性质(1)焦半径：抛物线上一点到焦点的距离称为焦半径．y2＝2px(p>0)上的点M(x0，y0)的焦半径为r＝＋x0，y2＝－2px(p>0)上的点M(x0，y0)的焦半径为r＝－x0，x2＝2py(p>0)上的点M(x0，y0)的焦半径为r＝＋y0，x2＝－2py(p>0)上的点M(x0，y0)的焦半径为r＝－y0.(2)焦点弦长：已知抛物线y2＝2px(p>0)，过其焦点的直线交抛物线于A，B两点，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则有以下性质：①AB＝x1＋x2＋p或AB＝(α为弦AB的倾斜角)；②y1y2＝－p2；③x1x2＝.2．直线与抛物线的位置关系(1)位置关系的判定：联立直线l：y＝kx＋m和抛物线y2＝2px(p>0)消y整理得：k2x2＋2(km－p)x＋m2＝0.当k≠0时，①Δ>0⇔直线与抛物线相交，有两个不同公共交点；②Δ＝0⇔直线与抛物线相切，只有一个公共交点；③Δ<0⇔直线与抛物线相离，没有公共交点．当k＝0时，则直线是抛物线的对称轴或与对称轴平行的直线，此时直线与抛物线相交，只有一个公共交点．(2)弦长公式：若直线l与抛物线相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)，则AB＝.考点探究考向1　直线与抛物线的交点问题【例】如图，在平面直角坐标系xOy中，已知直线l：x－y－2＝0，抛物线C：y2＝2px(p>0)．(1)若直线l过抛物线C的焦点，求抛物线C的方程；(2)当p＝1时，若抛物线C上存在关于直线l对称的相异两点P和Q.求线段PQ的中点M的坐标．【解析】(1)抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为.由点在直线l：x－y－2＝0上，得－0－2＝0，即p＝4.所以抛物线C的方程为y2＝8x.(2)当p＝1时，曲线C：y2＝2x.设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，线段PQ的中点M(x0，y0)．因为点P和Q关于直线l对称，所以直线l垂直平分线段PQ，于是直线PQ的斜率为－1，则可设其方程为y＝－x＋b.由消去x，得y2＋2y－2b＝0.(*)因为P和Q是抛物线l的两相异点，则y1≠y2.从而Δ＝4－4×1×(－2b)＝8b＋4>0.(**)因此y1＋y2＝－2，所以y0＝－1.又M(x0，y0)在直线l上，所以x0＝1.所以点M(1，－1)，此时b＝0满足(**)式．故线段PQ的中点M的坐标为(1，－1).题组训练1.如图，在平面直角坐标系xOy中，点A(8，－4)，P(2，t)(t<0)在抛物线y2＝2px(p>0)上．(1)求p，t的值；(2)过点P作PM⊥x轴，垂足为M，直线AM与抛物线的另一个交点为B，点C在直线AM上．若PA，PB，PC的斜率分别为k1，k2，k3，且k1＋k2＝2k3，求点C的坐标．【解析】(1)将点A(8，－4)代入y2＝2px中得p＝1，所以抛物线的方程为y2＝2x.将点P(2，t)代入y2＝2x中得t＝±2.，因为t<0，所以t＝－2.(2)依题意知点M的坐标为(2,0)，直线AM的方程为y＝－x＋.联立解得B，所以k1＝－，k2＝－2.由k1＋k2＝2k3，得k3＝－，从而直线PC的方程为y＝－x＋，联立解得C.考向2　与抛物线有关的弦长、中点、面积问题【例】已知过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点，斜率为2的直线交抛物线于A(x1，y1)，B(x2，y2)(x1<x2)两点，且AB＝9.(1)求该抛物线的方程；(2)O为坐标原点，C为抛物线上一点，若＝＋λ，求λ的值．【解析】(1)由题意得直线AB的方程为y＝2，与y2＝2px联立，从而有4x2－5px＋p2＝0，所以x1＋x2＝.由抛物线定义得AB＝x1＋x2＋p＝＋p＝9，所以p＝4，从而该抛物线的方程为y2＝8x.(2)由(1)得4x2－5px＋p2＝0，即x2－5x＋4＝0，则x1＝1，x2＝4，于是y1＝－2，y2＝4，从而A(1，－2)，B(4,4)．设C(x3，y3)，则＝(x3，y3)＝(1，－2)＋λ(4,4)＝(4λ＋1,4λ－2)．又y＝8x3，所以[2(2λ－1)]2＝8(4λ＋1)，整理得(2λ－1)2＝4λ＋1，解得λ＝0或λ＝2.题组训练1.抛物线y2＝4x的焦点为F，过点F的直线交抛物线于A，B两点．(1)若＝2，求直线AB的斜率；(2)设点M在线段AB上运动，原点O关于点M的对称点为C，求四边形OACB面积的最小值．【解析】　(1)依题意知F(1,0)，设直线AB的方程为x＝my＋1.将直线AB的方程与抛物线的方程联立，消去x得y2－4my－4＝0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，所以y1＋y2＝4m，y1y2＝－4.因为＝2，所以y1＝－2y2.联立上述三式，消去y1，y2得m＝±.所以直线AB的斜率是±2.(2)由点C与原点O关于点M对称，得M是线段OC的中点，从而点O与点C到直线AB的距离相等，所以四边形OACB的面积等于2S△AOB.因为2S△AOB＝2×·OF·|y1－y2|＝＝4，所以当m＝0时，四边形OACB的面积最小，最小值是4.2.抛物线的顶点在原点，对称轴为y轴，它与圆x2＋y2＝9相交，公共弦MN的长为2，求该抛物线的方程，并写出它的焦点坐标与准线方程．【解析】由题意，设抛物线方程为x2＝2ay(a≠0)．设公共弦MN交y轴于A，则MA＝AN，且AN＝.∵ON＝3，∴OA＝＝2，∴N(，±2)．∵N点在抛物线上，∴5＝2a·(±2)，即2a＝±，故抛物线的方程为x2＝y或x2＝－y.抛物线x2＝y的焦点坐标为，准线方程为y＝－.抛物线x2＝－y的焦点坐标为，准线方程为y＝.3.在平面直角坐标系xOy中，直线l：x＝－1，点T(3，0)．动点P满足PS⊥l，垂足为S，且·＝0．设动点P的轨迹为曲线C．（1）求曲线C的方程；（2）设Q是曲线C上异于点P的另一点，且直线PQ过点(1，0)，线段PQ的中点为M，直线l与x轴的交点为N．求证：向量与共线．【解析】（1）设P(x，y)为曲线C上任意一点．因为PS⊥l，垂足为S，又直线l：x＝－1，所以S(－1，y)．因为T(3，0)，所以＝(x，y)，＝(4，－y)．因为·＝0，所以4x－y2＝0，即y2＝4x．所以曲线C的方程为y2＝4x．（2）因为直线PQ过点(1，0)，故设直线PQ的方程为x＝my＋1．P(x1，y1)，Q(x2，y2)．联立消去x，得y2―4my―4＝0．所以y1＋y2＝4m，y1y2＝―4．因为M为线段PQ的中点，所以M的坐标为(，)，即M(2m2＋1，2m)．又因为S(－1，y1)，N(－1，0)，所以＝(2m2＋2，2m－y1)，＝(x2＋1，y2)＝(my2＋2，y2)．因为(2m2＋2)y2－(2m－y1)(my2＋2)＝(2m2＋2)y2－2m2y2＋my1y2－4m＋2y1＝2(y1＋y2)＋my1y2－4m＝8m－4m－4m＝0．所以向量与共线．考向3　与抛物线有关的定点定值问题【例】在平面直角坐标系xOy中，设点F，直线l：x＝－，点P在直线l上移动，R是线段PF与y轴的交点，RQ⊥FP，PQ⊥l.(1)求动点Q的轨迹方程C；(2)设圆M过A(1,0)，且圆心M在曲线C上，TS是圆M在y轴上截得的弦，当M运动时，弦长TS是否为定值？请说明理由.【解析】(1)依题意知，点R是线段FP的中点，且RQ⊥FP，所以RQ是线段FP的垂直平分线．因为|PQ|是点Q到直线l的距离．点Q在线段FP的垂直平分线上，所以PQ＝QF.故动点Q的轨迹是以F为焦点，l为准线的抛物线，其方程为y2＝2x(x>0)．(2)弦长TS为定值．理由如下：取曲线C上一点M(x0，y0)，M到y轴的距离为d＝|x0|＝x0，圆的半径r＝MA＝，则TS＝2＝2，因为点M在曲线C上，所以x0＝，所以TS＝2＝2，是定值．题组训练1.已知抛物线C：x2＝2py(p＞0)过点(2,1)，直线l过点P(0，－1)与抛物线C交于A，B两点．点A关于y轴的对称点为A′，连结A′B.(1)求抛物线C的 标准 excel标准偏差excel标准偏差函数exl标准差函数国标检验抽样标准表免费下载红头文件格式标准下载 方程；(2)问直线A′B是否过定点？若是，求出定点坐标；若不是，请说明理由．【解析】(1)将点(2,1)代入抛物线C：x2＝2py的方程得，p＝2.所以，抛物线C的标准方程为x2＝4y.(2)设直线l的方程为y＝kx－1，又设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则A′(－x1，y1)．由得x2－4kx＋4＝0.则Δ＝16k2－16＞0，x1·x2＝4，x1＋x2＝4k.所以kA′B＝＝＝.于是直线A′B的方程为y－＝(x－x2)．所以y＝(x－x2)＋＝x＋1.当x＝0时，y＝1，所以直线A′B过定点(0,1)．2.已知抛物线C：y2＝2px(p＞0)的焦点F(1,0)，O为坐标原点，A，B是抛物线C上异于O的两点．(1)求抛物线C的方程；(2)若直线OA，OB的斜率之积为－，求证：直线AB过x轴上一定点．【解析】(1)因为抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点坐标为(1,0)，所以＝1，所以p＝2.所以抛物线C的方程为y2＝4x.(2)证明：①当直线AB的斜率不存在时，设A，B.因为直线OA，OB的斜率之积为－，所以·＝－，化简得t2＝32.所以A(8，t)，B(8，－t)，此时直线AB的方程为x＝8.②当直线AB的斜率存在时，设其方程为y＝kx＋b，A(xA，yA)，B(xB，yB)，联立化简得ky2－4y＋4b＝0.根据根与系数的关系得yAyB＝，因为直线OA，OB的斜率之积为－，所以·＝－，即xAxB＋2yAyB＝0.即·＋2yAyB＝0，解得yAyB＝0(舍去)或yAyB＝－32.所以yAyB＝＝－32，即b＝－8k，所以y＝kx－8k，y＝k(x－8)．综上所述，直线AB过定点(8,0)．3.如图，已知抛物线C：x2＝4y，过点M(0,2)任作一直线与C相交于A，B两点，过点B作y轴的平行线与直线AO相交于点D(O为坐标原点)．(1)证明：动点D在定直线上；(2)作C的任意一条切线l(不含x轴)，与直线y＝2相交于点N1，与(1)中的定直线相交于点N2，证明：MN－MN为定值，并求此定值.【解析】(1)证明：依题意可设AB方程为y＝kx＋2，代入x2＝4y，得x2＝4(kx＋2)，即x2－4kx－8＝0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则有x1x2＝－8.直线AO的方程为y＝x；BD的方程为x＝x2.解得交点D的坐标为注意到x1x2＝－8及x＝4y1，则有y＝＝＝－2.因此D点在定直线y＝－2上(x≠0)．(2)依题意，切线l的斜率存在且不等于0，设切线l的方程为y＝ax＋b(a≠0)，代入x2＝4y得x2＝4(ax＋b)，即x2－4ax－4b＝0.由Δ＝0得(4a)2＋16b＝0，化简整理得b＝－a2.故切线l的方程可写为y＝ax－a2.分别令y＝2，y＝－2得N1，N2的坐标为N1，N2，则MN－MN＝2＋42－2＝8，即MN－MN为定值8.4.（2018·苏北四市一模）在平面直角坐标系xOy中，已知平行于轴的动直线交抛物线于点，点为的焦点．圆心不在轴上的圆与直线，，轴都相切，设的轨迹为曲线．⑴求曲线的方程；⑵若直线与曲线相切于点，过且垂直于的直线为，直线，分别与轴相交于点，．当线段的长度最小时，求的值．【解析】（1）因为抛物线的方程为，所以的坐标为，设，因为圆与轴、直线都相切，平行于轴，所以圆的半径为，点，则直线的方程为，即，所以，又，所以，即，所以的方程为（2）设，，，由（1）知，点处的切线的斜率存在，由对称性不妨设，由，所以，，所以，，所以．令，，则，由得，由得，所以在区间单调递减，在单调递增，所以当时，取得极小值也是最小值，即取得最小值此时．