相似三角形经典题型

?考点归纳 归纳1：比例的基本性质、黄金分割 基础知识归纳：1．黄金分割：把一条线段（AB）分割成两条线段，使其中较长线段（AC）是原线段AB与较短线段（BC）的比例线段，就叫作把这条线段黄金分割．即AC·AC=AB·BC，AC= ；一条线段的黄金分割点有两个． 2．比例的基本性质及定理 （1） （2） （3） 基本方法归纳：利用比例的基本性质变形是关键． 注意问题归纳：比例式与乘积式转化时要弄清内外项． 【例1】若4y-3x=0，则 归纳2：三角形相似的性质及判定 基础知识归纳：1．相似三角形的判定 （1）平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所截得的三角形与原三角形相似； （2）两角对应相等，两三角形相似； （3）两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似； （4）三边对应成比例，两三角形相似； （5）两个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，两直角三角形相似； （6）直角三角形中被斜边上的高分成的两个三角形都与原三角形相似． 2．相似三角形性质 相似三角形的对应角相等，对应边成比例，对应高、对应中线、对应角平分线的比都等于相似比，周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方．． 基本方法归纳：关键是熟练掌握相似三角形的判定． 注意问题归纳：相似条件的寻找． 【例2】已知：如图，四边形ABCD为平行四边形，以CD为直径作⊙O，⊙O与边BC相交于点F，⊙O的切线DE与边AB相交于点E，且AE＝3EB． （1）求证：△ADE∽△CDF； （2）当CF∶FB＝1∶2时，求⊙O与?ABCD的面积之比． 归纳3：相似三角形综合问题 基础知识归纳：相似三角形与几何图形的综合． 基本方法归纳：理清题意，合理推断，准确运算是关键． 注意问题归纳：审题不清、条件利用不全是常见错误． 【例3】如图，已知AB是⊙O的直径，BC是⊙O的弦，弦ED⊥AB于点F，交BC于点G，过点C的直线与ED的延长线交于点P，PC＝PG． （1）求证：PC是⊙O的切线； （2）当点C在劣弧AD上运动时，其他条件不变，若BG2＝BF·BO．求证：点G是BC的中点． （3）在满足（2）的条件下，AB=10，ED=4 ，求BG的长． 归纳4：相似多边形与位似图形 基础知识归纳： 1．相似多边形的性质 （1）相似多边形对应角相等，对应边成比例． （2）相似多边形周长之比等于相似比，面积之比等于相似比的平方． 2．位似图形 （1）概念：如果两个多边形不仅相似，而且对应顶点的 连线相交于一点，这样的图形叫做位似图形．这个点叫做位似中心． （2）性质：位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于位似比．． 基本方法归纳：掌握作图． 注意问题归纳：准确找出对应点的位置． 【例4】如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，按要求画出△A1B1C1和△A2B2C2； （1）把△ABC先向右平移4个单位，再向上平移1个单位，得到△A1B1C1； （2）以图中的O为位似中心，将△A1B1C1作位似变换且放大到原来的两倍，得到△A2B2C2． 1．（2015届广东省广州市中考模拟）如图，△ABC∽△DEF，相似比为1：2．若BC=1，则EF的长是（  ） A．1B．2C．3D．4 2．（2015届广东省佛山市初中毕业班综合测试）如图所示，在△ABC中，DE∥BC，若AD=1，DB=2，则 的值为（    ） A． B． C． D． 3．（2015届山东省聊城市中考模拟）如图，数学兴趣小组的小颖想测量教学楼前的一棵树的树高，下午课外活动时她测得一根长为1m的竹竿的影长是0.8m，但当她马上测量树高时，发现树的影子不全落在地面上，有一部分影子落在教学楼的墙壁上（如图），他先测得留在墙壁上的影高为1.2m，又测得地面的影长为2.6m，请你帮她算一下，树高是（  ） A．3.25m B．4.25m C．4.45m D．4.75m 4．（2015届山东省聊城市中考模拟）如图，矩形OABC的顶点O是坐标原点，边OA在x轴上，边OC在y轴上．若矩形OA1B1C1与矩形OABC关于点O位似，且矩形OA1B1C1的面积等于矩形OABC面积的 ，则点B1的坐标是（  ） A．（3，2）      B．（-2，-3）      C．（2，3）或（-2，-3）    D．（3，2）或（-3，-2） 5．（2015届安徽省安庆市中考二模）如图，平行四边形ABCD中，点E是边AD的一个三等分点，EC交对角线BD于点F，则FC：EC等于（  ） A．3：2 B．3：4 C．1：1 D．1：2 6 ．（2015届山东省日照市中考模拟）如图，在同一平面内，将两个全等的等腰直角三角形ABC和AFG摆放在一起，A为公共顶点，∠BAC=∠AGF=90°，它们的斜边长为2，若△ABC固定不动，△AFG绕点A旋转，AF、AG与边BC的交点分别为D、E（点D不与点B重合，点E不与点C重合），设BE=m，CD=n．下列结论： （1）图中有三对相似而不全等的三角形； （2）m?n=2； （3）BD2+CE2=DE2； （4）△ABD≌△ACE； （5）DF=AE． 其中正确的有（  ） A、2个        B、3个    C、4个                D、5个 7．（2014-2015学年山东省潍坊市诸城市实验中学中考三模）如图，在平行四边形ABCD中，E为CD上一点，DE：EC=2：3，连接AE、BE、BD，且AE、BD交于点F，则S△DEF：S△EBF：S△ABF=． 8．（2015届北京市平谷区中考二模）如图，利用标杆BE测量建筑物的高度，标杆BE高1.5米，测得AB=2米，BC=14米，则楼高CD为米． 9．（2015届四川省成都市外国语学校中考直升模拟）如图，等腰△ABC中，底边BC=a，∠A=36°，∠ABC的平分线交AC于D，∠BCD的平分线交BD于E．设k= ，则DE=． 10．（2015届四川省成都市外国语学校中考直升模拟）如图，梯形ABCD的两条对角线与两底所围成的两个三角形的面积分别为p2、q2，则梯形的面积为． 11．（2015届山东省威海市乳山市中考一模）如图，从点A（0，2）出发的一束光，经x轴反射，过点B（3，4），则入射点C的坐标是． 12．（2015届山东省济南市平阴县中考二模）如图，Rt△ABO中，∠AOB=90°，点A在第一象限、点B 在第四象限，且AO：BO=1： ，若点A（x0，y0）的坐标x0，y0满足y0= ，则点B（x，y）的坐标x，y所满足的关系式为． 13．（2015届浙江省宁波市江东区4月中考模拟）如图，平行四边形ABCD中，AB=5，AD=7，AB⊥AC，点E在边AD上，满足 = ，点F在AB上，满足 = ，连结BE和CF相交于点G，则线段CG的长度是． 14．（2015届湖北省黄石市6月中考模拟）如图，点A1，A2，A3，A4，…，An在射线OA上，点B1，B2，B3，…，Bn﹣1在射线OB上，且A1B1∥A2B2∥A3B3∥…∥An﹣1Bn﹣1，A2B1∥A3B2∥A4B3∥…∥AnBn﹣1，△A1A2B1，△A2A3B2，…，△An﹣1AnBn﹣1为阴影三角形，若△A2B1B2，△A3B2B3的面积分别为1、4，则△A1A2B1的面积为__________；面积小于2011的阴影三角形共有__________个． 15．如图1，在□ABCD中，点E是BC边上的中点，点F是线段AE上一点，BF的延长线交射线CD于点G，若AB=6， ，求DG的长． 小米的发现，过点E作 交BG于点H（如图2），经过推理和计算能够使问题得到解决．则DG=． 如图3，四边形ABCD中，AD∥BC，点E是射线DM上的一点，连接BE和AC相交于点F，若 ， ，求 的值（用含 的代数式 表 关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf 示）． 16．如图，?ABCD在平面直角坐标系中，AD=6，若OA、OB的长是关于x的一元二次方程x2-7x+12=0的两个根，且OA＞OB． （1）求sin∠ABC的值； （2）若E为x轴上的点，且S△AOE= ，求经过D、E两点的直线的解析式，并判断△AOE与△DAO是否相似？ （3）若点M在平面直角坐标系内，则在直线AB上是否存在点F，使以A、C、F、M为顶点的四边形为菱形？若存在，请直接写出F点的坐标；若不存在，请说明理由． 17．如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6cm，BC=8cm，动点P从点B出发，在BA边上以每秒5cm的速度向点A匀速运动，同时动点Q从点C出发，在CB边上以每秒4cm的速度向点B匀速运动，运动时间为t秒（0＜t＜2），连接PQ． （1）若△BPQ与△ABC相似，求t的值； （2）连接AQ、CP，若AQ⊥C P，求t的值． 18．如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6cm，BC=8cm，动点P从点B出发，在BA边上以每秒5cm的速度向点A匀速运动，同时动点Q从点C出发，在CB边上以每秒4cm的速度向点B匀速运动，运动时间为t秒（0＜t＜2），连接PQ． （1）若△BPQ与△ABC相似，求t的值； （2）连接AQ、CP，若AQ⊥CP，求t的值． 19．（1）如图①，在Rt△ABC中， ∠ABC=90°，BD⊥AC于点D．求证：AB2=AD?AC； （2）如图②，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，点D为BC边上的点，BE⊥AD于点E，延长BE交AC于点F． =1，求 的值； （3）在Rt△ABC中，∠ABC=90°，点D为直线BC上的动点（点D不与B、C重合），直线BE⊥AD于点E，交直线AC于点F．若 =n，请探究并直接写出 的所有可能的值（用含n的式子表示），不必证明．