2017年上海市崇明县高考数学一模试卷(解析版)

第1页（共20页）2017年上海市崇明县高考数学一模试卷一、填空 题 快递公司问题件快递公司问题件货款处理关于圆的周长面积重点题型关于解方程组的题及答案关于南海问题 （本大题共有12题，满分54分，其中1-6题每题4分，7-12题每题5分）【考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得满分，否则一律得零分.】1．复数i（2+i）的虚部为．2．设函数f（x）=，则f（f（﹣1））的值为．3．已知M={x||x﹣1|≤2，x∈R}，P={x|≥0，x∈R}，则M∩P等于．4．抛物线y=x2上一点M到焦点的距离为1，则点M的纵坐标为．5．已知无穷数列{an}满足an+1=an（n∈N*），且a2=1，记Sn为数列{an}的前n项和，则Sn=．6．已知x，y∈R+，且x+2y=1，则x?y的最大值为．7．已知圆锥的母线l=10，母线与旋转轴的夹角α=30°，则圆锥的 表 关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf 面积为．8．若（2x2+）nn∈N*的二项展开式中的第9项是常数项，则n=．9．已知A，B分别是函数f（x）=2sinωx（ω＞0）在y轴右侧图象上的第一个最高点和第一个最低点，且∠AOB=，则该函数的最小正周期是．10．将序号分别为1，2，3，4，5的5张参观券全部分给4人，每人至少1张，如果分给同一人的2张参观券连号，那么不同的分法种数是．11．在平面直角坐标系中，横、纵坐标均为整数的点叫做格点．若函数y=f（x）的图象恰好经过k个格点，则称函数y=f（x）为k阶格点函数．已知函数：①y=x2；②y=2sinx，③y=πx﹣1；④y=cos（x+）．其中为一阶格点函数的序号为（注：把你认为正确论断的序号都填上）12．已知AB为单位圆O的一条弦，P为单位圆O上的点．若f（λ）=|﹣λ|（λ∈R）的最小值为m，当点P在单位圆上运动时，m的最大值为，则线段AB的长度为．二、选择题（本大题共有4题，满分20分）【每题有且只有一个正确答案，考第2页（共20页）生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分.】13．下列函数在其定义域内既是奇函数又是增函数的是（）A．y=tanxB．y=3xC．D．y=lg|x|14．设a，b∈R，则“”是“a＞1且b＞1”的（）A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充分必要条件D．既非充分又非必要条件15．如图，已知椭圆C的中心为原点O，F（﹣2，0）为C的左焦点，P为C上一点，满足|OP|=|OF|且|PF|=4，则椭圆C的方程为（）A．+=1B．+=1C．+=1D．+=116．实数a，b满足a?b＞0且a≠b，由a、b、、按一定顺序构成的数列（）A．可能是等差数列，也可能是等比数列B．可能是等差数列，但不可能是等比数列C．不可能是等差数列，但可能是等比数列D．不可能是等差数列，也不可能是等比数列三、解答题（本大题共有5题，满分76分）【解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.】17．在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB=1，BB1=2，求：（1）异面直线B1C1与A1C所成角的大小；第3页（共20页）（2）四棱锥A1﹣B1BCC1的体积．18．在一个特定时段内，以点E为中心的7海里以内海域被设为警戒水域．点E正北55海里处有一个雷达观测站A．某时刻测得一艘匀速直线行驶的船只位于点A北偏东45°且与点A相距40海里的位置B，经过40分钟又测得该船已行驶到点A北偏东45°+θ（其中sinθ=，0°＜θ＜90°）且与点A相距10海里的位置C．（Ⅰ）求该船的行驶速度（单位：海里/小时）；（Ⅱ）若该船不改变航行方向继续行驶．判断它是否会进入警戒水域，并说明理由．19．已知点F1、F2为双曲线C：x2﹣=1的左、右焦点，过F2作垂直于x轴的直线，在x轴上方交双曲线C于点M，∠MF1F2=30°．（1）求双曲线C的方程；（2）过双曲线C上任意一点P作该双曲线两条渐近线的垂线，垂足分别为P1、P2，求?的值．20．设（a，b为实常数）．（1）当a=b=1时，证明：f（x）不是奇函数；第4页（共20页）（2）设f（x）是奇函数，求a与b的值；（3）当f（x）是奇函数时，研究是否存在这样的实数集的子集D，对任何属于D的x、c，都有f（x）＜c2﹣3c+3成立？若存在试找出所有这样的D；若不存在，请说明理由．21．已知数列{an}，{bn}满足2Sn=（an+2）bn，其中Sn是数列{an}的前n项和．（1）若数列{an}是首项为，公比为﹣的等比数列，求数列{bn}的通项 公式 小学单位换算公式大全免费下载公式下载行测公式大全下载excel公式下载逻辑回归公式下载 ；（2）若bn=n，a2=3，求证：数列{an}满足an+an+2=2an+1，并写出数列{an}的通项公式；（3）在（2）的条件下，设cn=，求证：数列{cn}中的任意一项总可以表示成该数列其他两项之积．2017年上海市崇明县高考数学一模试卷参考答案与试题解析一、填空题（本大题共有12题，满分54分，其中1-6题每题4分，7-12题每题5分）【考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得满分，否则一律得零分.】1．复数i（2+i）的虚部为2．【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】利用复数的运算法则、虚部的定义即可得出．【解答】解：复数i（2+i）=2i﹣1的虚部为2．故答案为：2．2．设函数f（x）=，则f（f（﹣1））的值为﹣2．【考点】分段函数的应用；函数的值．【分析】直接利用分段函数化简求解即可．第5页（共20页）【解答】解：函数f（x）=，则f（﹣1）=，f（f（﹣1））=f（）=log2=﹣2．故答案为：﹣2．3．已知M={x||x﹣1|≤2，x∈R}，P={x|≥0，x∈R}，则M∩P等于[﹣1，1]．【考点】交集及其运算．【分析】化简集合M、P，根据交集的定义写出M∩P即可．【解答】解：M={x||x﹣1|≤2，x∈R}={x|﹣2≤x﹣1≤2}={x|﹣1≤x≤3}，P={x|≥0，x∈R}={x|≤0，x∈R}={x|﹣2＜x≤1}，则M∩P={x|﹣1≤x≤1}=[﹣1，1]．故答案为：[﹣1，1]．4．抛物线y=x2上一点M到焦点的距离为1，则点M的纵坐标为．【考点】抛物线的简单性质．【分析】由题意可知：焦点坐标为（0，），准线方程为：y=﹣，由抛物线的定义可知：丨MF丨=丨MD丨=1，即y+=1，解得：y=，即可求得M的纵坐标．【解答】解：抛物线y=x2焦点在y轴上，焦点坐标为（0，），准线方程为：y=﹣，设M（x，y），过M做准线的垂直，垂足为D，由抛物线的定义可知：丨MF丨=丨MD丨=1，即y+=1，解得：y=，故答案为：．第6页（共20页）5．已知无穷数列{an}满足an+1=an（n∈N*），且a2=1，记Sn为数列{an}的前n项和，则Sn=4．【考点】数列的极限．【分析】求出等比数列的公比，然后求出数列的和，求解数列的极限即可．【解答】解：无穷数列{an}满足an+1=an（n∈N*），公比为：；a2=1，a1=2，记Sn==4（1﹣）．Sn=4（1﹣）=4．故答案为：4．6．已知x，y∈R+，且x+2y=1，则x?y的最大值为．【考点】基本不等式．【分析】直接利用基本不等式的性质即可得出．【解答】解：x，y∈R+，x+2y=1，即1，当且仅当x=2y=时取等号．那么：，第7页（共20页）可得：xy．∴x?y的最大值为．故答案为：．7．已知圆锥的母线l=10，母线与旋转轴的夹角α=30°，则圆锥的表面积为75π．【考点】棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积．【分析】先利用圆锥的轴截面的性质求出底面的半径r，进而利用侧面积的计算公式计算即可得出结论．【解答】解：如图所示：在Rt△POB中，r=sin30°×10=5，∴该圆椎的侧面积S=π×5×10=50π．∴圆锥的表面积为50π+π?52=75π故答案为：75π．8．若（2x2+）nn∈N*的二项展开式中的第9项是常数项，则n=12．【考点】二项式 定理 三点共线定理勾股定理的证明证明勾股定理共线定理面面垂直的性质定理 的应用．【分析】利用二项展开式的通项公式，求得第九项，再根据第9项是常数项，则求得n的值．【解答】解：∵（2x2+）nn∈N*的二项展开式中的第9项为?2n﹣8?x2n﹣24是常数项，∴2n﹣24=0，∴n=12，故答案为：12．第8页（共20页）9．已知A，B分别是函数f（x）=2sinωx（ω＞0）在y轴右侧图象上的第一个最高点和第一个最低点，且∠AOB=，则该函数的最小正周期是．【考点】三角函数的周期性及其求法．【分析】由题意利用勾股定理可得[+22]++22]=+42，由此求得T的值，可得结论．【解答】解：A，B分别是函数f（x）=2sinωx（ω＞0）在y轴右侧图象上的第一个最高点和第一个最低点，且∠AOB=，由题意可得∠AOB=，∴由勾股定理可得[+22]++22]=+42，求得T=，故答案为：．10．将序号分别为1，2，3，4，5的5张参观券全部分给4人，每人至少1张，如果分给同一人的2张参观券连号，那么不同的分法种数是96．【考点】排列、组合及简单计数问题．【分析】求出5张参观券全部分给4人，每人至少1张，如果分给同一人的2张参观券连号的组数，然后分给4人排列即可．【解答】解：5张参观券全部分给4人，分给同一人的2张参观券连号，方法数为：1和2，2和3，3和4，4和5，四种连号，其它号码各为一组，分给4人，共有4×=96种．故答案为：96．第9页（共20页）11．在平面直角坐标系中，横、纵坐标均为整数的点叫做格点．若函数y=f（x）的图象恰好经过k个格点，则称函数y=f（x）为k阶格点函数．已知函数：①y=x2；②y=2sinx，③y=πx﹣1；④y=cos（x+）．其中为一阶格点函数的序号为②③（注：把你认为正确论断的序号都填上）【考点】命题的真假判断与应用．【分析】①y=x2有无数个格点；②∵y=2sinx的函数值为整数的只有0，2，﹣2，只有0对应的x为整数，③∵π不是整数，故y=πx﹣1只过一个格点（0，﹣1）；④函数y=cos（x+）的函数值取0.1．﹣1时对应的x均不是整数．【解答】解：①y=x2有无数个格点；②∵y=2sinx的函数值为整数的只有0，2，﹣2，只有0对应的x为整数，故只有一个，③∵π不是整数，故y=πx﹣1只过一个格点（0，﹣1）；④函数y=cos（x+）的函数值取0.1．﹣1时对应的x均不是整数，故没有格点，故答案为：?②③?12．已知AB为单位圆O的一条弦，P为单位圆O上的点．若f（λ）=|﹣λ|（λ∈R）的最小值为m，当点P在单位圆上运动时，m的最大值为，则线段AB的长度为．【考点】向量在几何中的应用．【分析】设λ=，则f（λ）=|﹣λ|=|﹣|=||，点C在直线AB上，故f（λ）的最小值M为点P到AB的距离，由此可得结论【解答】解：设λ=，则f（λ）=|﹣λ|=|﹣|=||，∵λ=，∴点C在直线AB上，∴f（λ）的最小值m为点P到AB的距离，∴mmax=，∴||=2=，故答案为：，第10页（共20页）二、选择题（本大题共有4题，满分20分）【每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分.】13．下列函数在其定义域内既是奇函数又是增函数的是（）A．y=tanxB．y=3xC．D．y=lg|x|【考点】奇偶性与单调性的综合．【分析】A：y=tanx在（kπ﹣+kπ），k∈z上单调递增，但是在整个定义域内不是单调递增函数；B：y=3x不是奇函数；C：y=奇函数，根据幂函数的性质可知，函数y=在R上单调递增；D：y=lg|x|是偶函数【解答】解：A：y=tanx在（kπ﹣+kπ），k∈z上单调递增，但是在整个定义域内不是单调递增函数，故A错误B：y=3x不是奇函数，故B错误C：f（﹣x）==﹣，满足奇函数，根据幂函数的性质可知，函数y=在R上单调递增，故C正确D：y=lg|x|是偶函数，不符合题意，故D错误故选C14．设a，b∈R，则“”是“a＞1且b＞1”的（）A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充分必要条件D．既非充分又非必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】由题意看命题“a+b＞2且ab＞1”与命题“a＞1且b＞1”否能互推，然后根据必要条件、充分条件和充要条件的定义进行判断．【解答】解：∵a＞1且b＞1，∴a+b＞2且ab＞1，第11页（共20页）若已知a+b＞2且ab＞1，可取a=，b=8，也满足已知，∴“a+b＞2且ab＞1”是“a＞1且b＞1”的必要不充分条件，故选：B．15．如图，已知椭圆C的中心为原点O，F（﹣2，0）为C的左焦点，P为C上一点，满足|OP|=|OF|且|PF|=4，则椭圆C的方程为（）A．+=1B．+=1C．+=1D．+=1【考点】椭圆的 标准 excel标准偏差excel标准偏差函数exl标准差函数国标检验抽样标准表免费下载红头文件格式标准下载 方程．【分析】设椭圆的右焦点为F′，由|OP|=|OF|及椭圆的对称性知，△PFF′为直角三角形；由勾股定理，得|PF′|；由椭圆的定义，得a2；由b2=a2﹣c2，得b2；然后根据椭圆标准方程的形式，直接写出椭圆的方程．【解答】解：由题意可得c=2，设右焦点为F′，由|OP|=|OF|=|OF′|知，∠PFF′=∠FPO，∠OF′P=∠OPF′，所以∠PFF′+∠OF′P=∠FPO+∠OPF′，由∠PFF′+∠OF′P+∠FPO+∠OPF′=180°知，∠FPO+∠OPF′=90°，即PF⊥PF′．在Rt△PFF′中，由勾股定理，得|PF′|===8，由椭圆定义，得|PF|+|PF′|=2a=4+8=12，从而a=6，得a2=36，于是b2=a2﹣c2=36﹣=16，所以椭圆的方程为+=1．故选：C．第12页（共20页）16．实数a，b满足a?b＞0且a≠b，由a、b、、按一定顺序构成的数列（）A．可能是等差数列，也可能是等比数列B．可能是等差数列，但不可能是等比数列C．不可能是等差数列，但可能是等比数列D．不可能是等差数列，也不可能是等比数列【考点】等差关系的确定；等比关系的确定．【分析】由实数a，b满足a?b＞0且a≠b，分a，b＞0和a，b＜0，两种情况分析根据等差数列的定义和等比数列的定义，讨论a、b、、按一定顺序构成等差（比）数列时，是否有满足条件的a，b的值，最后综合讨论结果，可得答案．【解答】解：（1）若a＞b＞0则有a＞＞＞b若能构成等差数列，则a+b=+，得=2，解得a=b（舍），即此时无法构成等差数列若能构成等比数列，则a?b=?，得=2，解得a=b（舍），即此时无法构成等比数列（2）若b＜a＜0，则有＞a＞＞b第13页（共20页）若能构成等差数列，则+b=a+，得2=3a﹣b于是b＜3a4ab=9a2﹣6ab+b2得b=9a，或b=a（舍）当b=9a时这四个数为﹣3a，a，5a，9a，成等差数列．于是b=9a＜0，满足题意但此时?b＜0，a?＞0，不可能相等，故仍无法构成等数列故选B三、解答题（本大题共有5题，满分76分）【解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.】17．在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB=1，BB1=2，求：（1）异面直线B1C1与A1C所成角的大小；（2）四棱锥A1﹣B1BCC1的体积．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；异面直线及其所成的角．【分析】（1）由B1C1∥BC，知∠BCA1是异面直线B1C1与A1C所成角，由此能求出异面直线B1C1与A1C所成角大小．（2）四棱锥A1﹣B1BCC1的体积V=，由此能求出结果．【解答】解：（1）∵正三棱柱ABC﹣A1B1C1，∴B1C1∥BC，∴∠BCA1是异面直线B1C1与A1C所成角，⋯在△BCA1中，BC=1，，，第14页（共20页）∴cos∠BCA1==，⋯∴，∴异面直线B1C1与A1C所成角大小为arccos．⋯（2）∵正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB=1，BB1=2，∴=S△ABC?AA1=，，∴四棱锥A1﹣B1BCC1的体积V==．⋯18．在一个特定时段内，以点E为中心的7海里以内海域被设为警戒水域．点E正北55海里处有一个雷达观测站A．某时刻测得一艘匀速直线行驶的船只位于点A北偏东45°且与点A相距40海里的位置B，经过40分钟又测得该船已行驶到点A北偏东45°+θ（其中sinθ=，0°＜θ＜90°）且与点A相距10海里的位置C．（Ⅰ）求该船的行驶速度（单位：海里/小时）；（Ⅱ）若该船不改变航行方向继续行驶．判断它是否会进入警戒水域，并说明理由．第15页（共20页）【考点】解三角形的实际应用．【分析】（1）先根据题意画出简图确定AB、AC、∠BAC的值，根据sinθ=求出θ的余弦值，再由余弦定理求出BC的值，从而可得到船的行驶速度．（2）先假设直线AE与BC的延长线相交于点Q，根据余弦定理求出cos∠ABC的值，进而可得到sin∠ABC的值，再由正弦定理可得AQ的长度，从而可确定Q在点A和点E之间，根据QE=AE﹣AQ求出QE的长度，然后过点E作EP⊥BC于点P，则EP为点E到直线BC的距离，进而在Rt△QPE中求出PE的值在于7进行比较即可得到答案．【解答】解：（I）如图，AB=40，AC=10，．由于0°＜θ＜90°，所以cosθ=．由余弦定理得BC=．所以船的行驶速度为（海里/小时）．（II）如图所示，设直线AE与BC的延长线相交于点Q．在△ABC中，由余弦定理得，==．从而．在△ABQ中，由正弦定理得，AQ=．由于AE=55＞40=AQ，所以点Q位于点A和点E之间，且QE=AE﹣AQ=15．过点E作EP⊥BC于点P，则EP为点E到直线BC的距离．在Rt△QPE中，PE=QE?sin∠PQE=QE?sin∠AQC=QE?sin（45°﹣∠ABC）=．第16页（共20页）所以船会进入警戒水域．19．已知点F1、F2为双曲线C：x2﹣=1的左、右焦点，过F2作垂直于x轴的直线，在x轴上方交双曲线C于点M，∠MF1F2=30°．（1）求双曲线C的方程；（2）过双曲线C上任意一点P作该双曲线两条渐近线的垂线，垂足分别为P1、P2，求?的值．【考点】直线与圆锥曲线的综合问题．【分析】（1）设F2，M的坐标分别为，求出|MF2|，Rt△MF2F1中，∠MF1F2=30°，求出|MF1|，利用双曲线的定义，即可求双曲线C第17页（共20页）的方程；（2）求出两条渐近线方程，可得点Q到两条渐近线的距离，设两渐近线的夹角为θ，可得，利用向量的数量积公式，即可求?的值．【解答】解：（1）设F2，M的坐标分别为，因为点M在双曲线C上，所以，即，所以，在Rt△MF2F1中，∠MF1F2=30°，，所以⋯由双曲线的定义可知：故双曲线C的方程为：⋯（2）由条件可知：两条渐近线分别为⋯设双曲线C上的点Q（x0，y0），设两渐近线的夹角为θ，则点Q到两条渐近线的距离分别为，⋯因为Q（x0，y0）在双曲线C：上，所以，又cosθ=﹣，所以=﹣⋯20．设（a，b为实常数）．（1）当a=b=1时，证明：f（x）不是奇函数；（2）设f（x）是奇函数，求a与b的值；（3）当f（x）是奇函数时，研究是否存在这样的实数集的子集D，对任何属于D的x、c，都有f（x）＜c2﹣3c+3成立？若存在试找出所有这样的D；若不存在，第18页（共20页）请说明理由．【考点】函数恒成立问题；函数奇偶性的判断．【分析】（1）举出反例即可，只要检验f（﹣1）≠﹣f（1），可说明f（x）不是奇函数；（2）由题意可得f（﹣x）=﹣f（x），即对定义域内任意实数x成立．整理可求a，b（3）当时，，由指数函数的性质可求f（x），由二次函数的性质可求，可求当时，，当x＞0时，；当x＜0时，，结合二次函数的性质可求c2﹣3c+3的范围，即可求解【解答】解：（1）举出反例即可．，，，所以f（﹣1）≠﹣f（1），f（x）不是奇函数；（2）f（x）是奇函数时，f（﹣x）=﹣f（x），即对定义域内任意实数x成立．化简整理得（2a﹣b）?22x+（2ab﹣4）?2x+（2a﹣b）=0，这是关于x的恒等式，所以所以或．经检验都符合题意．（3）（本小题评分说明：这里给出的是满分结论，对于写出部分解答的考生，应视答题正确程度适当给分，具体标准结合考生答题情况制订细则）当时，，因为2x＞0，第19页（共20页）所以2x+1＞1，，从而；而对任何实数c成立；所以可取D=R对任何x、c属于D，都有f（x）＜c2﹣3c+3成立．当时，，所以当x＞0时，；当x＜0时，；1）因此取D=（0，+∞），对任何x、c属于D，都有f（x）＜c2﹣3c+3成立．2）当c＜0时，c2﹣3c+3＞3，解不等式得：．所以取，对任何属于D的x、c，都有f（x）＜c2﹣3c+3成立．．21．已知数列{an}，{bn}满足2Sn=（an+2）bn，其中Sn是数列{an}的前n项和．（1）若数列{an}是首项为，公比为﹣的等比数列，求数列{bn}的通项公式；（2）若bn=n，a2=3，求证：数列{an}满足an+an+2=2an+1，并写出数列{an}的通项公式；（3）在（2）的条件下，设cn=，求证：数列{cn}中的任意一项总可以表示成该数列其他两项之积．【考点】数列递推式；数列的求和．【分析】（1）通过数列{an}是首项为，公比为的等比数列求出通项公式，然后求解．（2）若bn=n，通过an=Sn﹣Sn+1，得到递推关系式，化简推出数列{an}是首项为2公差为1的等差数列，求出通项公式．（3）由（2）知，对于给定的n∈N*，若存在k，t≠n，且t，k∈N*，使第20页（共20页）得cn=ck?ct，证明，构造，然后证明数列{cn}中的任意一项总可以表示成该数列其他两项之积．【解答】解：（1）因为数列{an}是首项为，公比为的等比数列所以，⋯所以⋯（2）若bn=n，则2Sn=（an+2）n，所以2Sn+1=（n+1）（an+1+2）所以2an+1=（n+1）an+1﹣nan+2，即（n﹣1）an+1+2=nan⋯所以nan+2+2=（n+1）an+1所以nan+2﹣（n﹣1）an+1=（n+1）an+1﹣nan所以an+an+2=2an+1⋯又由2S1=a1+2，得：a1=2⋯所以数列{an}是首项为2公差为1的等差数列所以an=n+1⋯（3）证明：由（2）知，对于给定的n∈N*，若存在k，t≠n，且t，k∈N*，使得cn=ck?ct，只需⋯只需⋯取k=n+1，则t=n（n+2）⋯所以对于数列{cn}中的任意一项，都存在Cn+1=与Cn（n+2）=，使得cn=cn+1?cn（n+2），即数列{cn}中的任意一项总可以表示成该数列其他两项之积⋯