2020版高考数学一轮复习第二章函数2.3二次函数与幂函数教师用书（PDF，含解析）

１６　　　５年高考３年模拟Ｂ版（教师用书）§２．３　二次函数与幂函数对应学生用书起始页码Ｐ２３考点一二次函数　　１．二次函数解析式的三种 表 关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf 示形式（１）一般式：ｆ（ｘ）＝ａｘ２＋ｂｘ＋ｃ（ａ≠０）；（２）顶点式：ｆ（ｘ）＝ａ（ｘ－ｈ）２＋ｋ（ａ≠０）；（３）两根式：ｆ（ｘ）＝ａ（ｘ－ｘ１）（ｘ－ｘ２）（ａ≠０）．２．二次函数的图象和性质ｙ＝ａｘ２＋ｂｘ＋ｃ（ａ＞０）ｙ＝ａｘ２＋ｂｘ＋ｃ（ａ＜０）图象定义域（－∞，＋∞）（－∞，＋∞）值域４ａｃ－ｂ２４ａ，＋∞[)－∞，４ａｃ－ｂ２４ａ(]单调性在ｘ∈－ｂ２ａ，＋∞[)上单调递增，在ｘ∈－∞，－ｂ２ａ(]上单调递减在ｘ∈－∞，－ｂ２ａ(]上单调递增，在ｘ∈－ｂ２ａ，＋∞[)上单调递减奇偶性当ｂ＝０时为偶函数，当ｂ≠０时为非奇非偶函数顶点坐标－ｂ２ａ，４ａｃ－ｂ２４ａ()对称性图象关于直线ｘ＝－ｂ２ａ对称　　３．若二次函数ｙ＝ｆ（ｘ）恒满足ｆ（ｘ＋ｍ）＝ｆ（－ｘ＋ｎ），则其对称轴方程为ｘ＝ｍ＋ｎ２．考点二幂函数　　１．幂函数的图象在同一平面直角坐标系下，五个常见的幂函数：ｙ＝ｘ，ｙ＝ｘ２，ｙ＝ｘ３，ｙ＝ｘ１２，ｙ＝ｘ－１的图象如图所示．２．幂函数的性质解析式ｙ＝ｘｙ＝ｘ２ｙ＝ｘ３ｙ＝ｘ１２ｙ＝ｘ－１定义域ＲＲＲ［０，＋∞）｛ｘ｜ｘ∈Ｒ且ｘ≠０｝值域Ｒ［０，＋∞）Ｒ［０，＋∞）｛ｙ｜ｙ∈Ｒ且ｙ≠０｝奇偶性奇偶奇非奇非偶奇单调性增ｘ∈［０，＋∞）时，增ｘ∈（－∞，０］时，减增增ｘ∈（０，＋∞）时，减ｘ∈（－∞，０）时，减过定点（０，０），（１，１）（１，１）􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋对应学生用书起始页码Ｐ２３一、二次函数在闭区间上最值问题的求解方法　　二次函数在闭区间上的最值问题一般有以下两类题型（１）定轴动区间，此时讨论对称轴与区间端点的位置关系．（２）定区间动轴，此时讨论对称轴与区间的位置关系．注意：对于闭区间上含参数的二次函数的最值问题，应对系数进行讨论，要遵守分类讨论中的三原则：一是分类的 标准 excel标准偏差excel标准偏差函数exl标准差函数国标检验抽样标准表免费下载红头文件格式标准下载 要一致，二是分类时要做到不重不漏，三是能不分类的要尽量避免分类，决不无原则地分类讨论．（３）对于ｆ（ｘ）≥０在区间［ａ，ｂ］上恒成立的问题，一般等价转化为ｆ（ｘ）ｍｉｎ≥０，ｘ∈［ａ，ｂ］．对于ｆ（ｘ）≤０在区间［ａ，ｂ］上恒成立的问题，一般等价转化为ｆ（ｘ）ｍａｘ≤０，ｘ∈［ａ，ｂ］．若ｆ（ｘ）中含有参数，则要对参数进行讨论或分离参变量．已知ｆ（ｘ）＝ｘ２－３ａ２，ｇ（ｘ）＝（２ａ＋１）ｘ．（１）若ｆ（ｘ）＜ｇ（ｘ）的解集中有且仅有一个整数，求ａ的取值范围；（２）若｜ｆ（ｘ）－ｇ（ｘ）｜≤４ａ在ｘ∈［１，４ａ］上恒成立，试确定ａ的取值范围．解题导引（１）构造函数Ｆ（ｘ）＝ｆ（ｘ）－ｇ（ｘ）→由Ｆ（０）＝－３ａ２≤０，讨论实数ａ是不是０→ａ＝０时，求出不等式解集并进行检验（舍去）→ａ≠０时，仅需Ｆ（１）≥０，Ｆ（－１）≥０{→解不等式组得结论（２）利用特殊值１和区间的定义，得实数ａ的范围→讨论函数Ｆ（ｘ）在区间内的最大值和最小值→得结论解析　（１）令Ｆ（ｘ）＝ｆ（ｘ）－ｇ（ｘ）＝ｘ２－（２ａ＋１）ｘ－３ａ２，􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋第二章　函数１７　　　若ａ＝０，则ｆ（ｘ）＜ｇ（ｘ）的解集为（０，１），不满足条件；若ａ≠０，则Ｆ（０）＝－３ａ２＜０，所以Ｆ（１）≥０，Ｆ（－１）≥０，{解得１－７３≤ａ＜０．综上可知，ａ的取值范围为１－７３，０éëêêöø÷．（２）根据题意知，ａ＞１４，且｜ｆ（１）－ｇ（１）｜≤４ａ，可得１４＜ａ≤２３，所以Ｆ（ｘ）＝ｘ２－（２ａ＋１）ｘ－３ａ２的图象的对称轴为直线ｘ＝ａ＋１２，且ａ＋１２∈３４，７６(]．若１４＜ａ≤１２，则｜Ｆ（１）｜≤４ａ，｜Ｆ（４ａ）｜≤４ａ，{即｜－２ａ－３ａ２｜≤４ａ，｜５ａ２－４ａ｜≤４ａ，{解得０≤ａ≤２３，所以１４＜ａ≤１２；若１２＜ａ≤２３，则｜Ｆ（１）｜≤４ａ，｜Ｆ（４ａ）｜≤４ａ，Ｆａ＋１２()≤４ａ，ìîíïïïï即｜－２ａ－３ａ２｜≤４ａ，｜５ａ２－４ａ｜≤４ａ，１６ａ２＋４ａ＋１４≤４ａ，ìîíïïïï解得３－５８≤ａ≤３＋５８，所以１２＜ａ≤３＋５８．综上，ａ的取值范围是１４＜ａ≤３＋５８．　　１－１　已知在（－∞，１］上递减的函数ｆ（ｘ）＝ｘ２－２ｔｘ＋１，且对任意的ｘ１，ｘ２∈［０，ｔ＋１］，总有｜ｆ（ｘ１）－ｆ（ｘ２）｜≤２，则实数ｔ的取值范围为　　　　．１－１答案　［１，２］解析　对任意的ｘ１，ｘ２∈［０，ｔ＋１］，总有｜ｆ（ｘ１）－ｆ（ｘ２）｜≤２转化为ｆ（ｘ）ｍａｘ－ｆ（ｘ）ｍｉｎ≤２．由ｆ（ｘ）在（－∞，１）上是减函数，得－－２ｔ２≥１，即ｔ≥１，从而有ｔ－０≥ｔ＋１－ｔ，即ｘ＝０比ｘ＝ｔ＋１更偏离对称轴ｘ＝ｔ，故ｆ（ｘ）在［０，１＋ｔ］上的最大值为１，最小值为１－ｔ２，故有１－（１－ｔ２）≤２，解得－２≤ｔ≤２，又ｔ≥１，所以１≤ｔ≤２．　　１－２　若函数ｆ（ｘ）＝ｘ２－３ｘ－４的定义域为［０，ｍ］，值域为－２５４，－４[]，则ｍ的取值范围是　　　　．１－２答案　３２，３[]解析　∵ｆ（ｘ）＝ｘ２－３ｘ－４＝ｘ－３２()２－２５４，∴ｆ３２()＝－２５４，又ｆ（０）＝ｆ（３）＝－４，故由二次函数图象（如图）可知：ｍ的值最小为３２，最大为３．∴ｍ的取值范围是３２，３[]．　　１－３　已知函数ｆ（ｘ）＝ｘ２－４ｘ＋３，ｇ（ｘ）＝ｍ（ｘ－１）＋２（ｍ＞０），若存在ｘ１∈［０，３］，使得对任意的ｘ２∈［０，３］，都有ｆ（ｘ１）＝ｇ（ｘ２），则实数ｍ的取值范围是　　　　．１－３答案　０，１２(]解析　存在ｘ１∈［０，３］，使得对任意的ｘ２∈［０，３］，都有ｆ（ｘ１）＝ｇ（ｘ２）⇔｛ｇ（ｘ）｜ｘ∈［０，３］｝⊆｛ｆ（ｘ）｜ｘ∈［０，３］｝．∵ｆ（ｘ）＝ｘ２－４ｘ＋３＝（ｘ－２）２－１，ｘ∈［０，３］，∴当ｘ＝２时，函数ｆ（ｘ）取得最小值ｆ（２）＝－１，又ｆ（０）＝３，ｆ（３）＝０．∴函数ｆ（ｘ）的值域为［－１，３］．∴ｇ（０）＝２－ｍ≥－１，ｇ（３）＝２ｍ＋２≤３，ｍ＞０，{解得０＜ｍ≤１２．􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋二、一元二次方程根的分布零点的分布（ｍ，ｎ，ｐ为常数）图象满足条件ｘ１＜ｘ２＜ｍΔ＞０－ｂ２ａ＜ｍｆ（ｍ）＞０ìîíïïïïｍ＜ｘ１＜ｘ２Δ＞０－ｂ２ａ＞ｍｆ（ｍ）＞０ìîíïïïïｘ１＜ｍ＜ｘ２ｆ（ｍ）＜０续表零点的分布（ｍ，ｎ，ｐ为常数）图象满足条件ｍ＜ｘ１＜ｘ２＜ｎΔ＞０ｍ＜－ｂ２ａ＜ｎｆ（ｍ）＞０ｆ（ｎ）＞０ìîíïïïïïｍ＜ｘ１＜ｎ＜ｘ２＜ｐｆ（ｍ）＞０ｆ（ｎ）＜０ｆ（ｐ）＞０{􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋１８　　　５年高考３年模拟Ｂ版（教师用书）续表零点的分布（ｍ，ｎ，ｐ为常数）图象满足条件只有一个零点在（ｍ，ｎ）之间Δ＝０ｍ＜－ｂ２ａ＜ｎ{或ｆ（ｍ）·ｆ（ｎ）＜０或ｆ（ｍ）＝０ｍ＜－ｂ２ａ＜ｍ＋ｎ２{或ｆ（ｎ）＝０ｍ＋ｎ２＜－ｂ２ａ＜ｎ{　　已知方程ｘ２＋２（ａ＋２）ｘ＋ａ２－１＝０．（１）当该方程有两个负根时，求实数ａ的取值范围；（２）当该方程有一个正根和一个负根时，求实数ａ的取值范围．解析　由题意知，Δ＝４（ａ＋２）２－４（ａ２－１）＝１６ａ＋２０．（１）∵方程ｘ２＋２（ａ＋２）ｘ＋ａ２－１＝０有两个负根，∴Δ＝１６ａ＋２０≥０，ｘ１＋ｘ２＝－２（ａ＋２）＜０，ｘ１ｘ２＝ａ２－１＞０，{解得ａ≥－５４，ａ＞－２，ａ＞１或ａ＜－１，ìîíïïïï即ａ＞１或－５４≤ａ＜－１．∴实数ａ的取值范围是－５４，－１[)∪（１，＋∞）．（２）∵方程ｘ２＋２（ａ＋２）ｘ＋ａ２－１＝０有一个正根和一个负根，∴ｆ（０）＝ａ２－１＜０，解得－１＜ａ＜１，∴实数ａ的取值范围是（－１，１）．　　２－１　已知一元二次方程ｘ２＋ｍｘ＋３＝０（ｍ∈Ｚ）有两个实数根ｘ１，ｘ２，且０＜ｘ１＜２＜ｘ２＜４，则ｍ的值为　　　　．２－１答案　－４解析　令ｆ（ｘ）＝ｘ２＋ｍｘ＋３，由题意得ｆ（２）＝２ｍ＋７＜０，ｆ（０）＝３＞０，ｆ（４）＝４ｍ＋１９＞０，{解得－１９４＜ｍ＜－７２．结合ｍ∈Ｚ，可得ｍ＝－４．　　２－２　若函数ｆ（ｘ）＝ｘ２＋ａｘ＋２ｂ在区间（０，１）和（１，２）内各有一个零点，则ａ＋ｂ－３ａ－１的取值范围是　　　　．２－２答案　５４，２()解析　∵函数ｆ（ｘ）＝ｘ２＋ａｘ＋２ｂ在区间（０，１）和（１，２）内各有一个零点，∴ｆ（０）＝２ｂ＞０，ｆ（１）＝１＋ａ＋２ｂ＜０，ｆ（２）＝４＋２ａ＋２ｂ＞０，{即ｂ＞０，ａ＋２ｂ＋１＜０，ａ＋ｂ＋２＞０，{它所表示的区域为图中△ＡＢＣ内的部分，其中，Ａ（－１，０），Ｂ（－２，０），Ｃ（－３，１）．而ａ＋ｂ－３ａ－１＝ａ－１＋ｂ－２ａ－１＝１＋ｂ－２ａ－１，其表示可行域内的点（ａ，ｂ）与点Ｎ（１，２）连线的斜率加上１，由于直线ＮＡ的斜率为２－０１＋１＝１，直线ＮＣ的斜率为２－１１＋３＝１４，故ａ＋ｂ＋３ａ－１的取值范围是５４，２()．􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋