常见基本初等函数极限

常见函数极限66一、常见数列极限的存在情况：(1)1,1,1,1,1,LL。通项1ny=，极限11()nyn=®®¥（收敛）即lim11n®¥=(2)11111,,,,,,234nLL。通项1nyn=，极限10()nynn=®®¥（收敛）即01lim=¥®nn(如图2)(3)123,,,,,2341nn+LL。通项1nnyn=+，极限0()1nnynn=®®¥+（收敛）即lim01nnn®¥=+(4)1143(1)2,,,,,,234nnn-+-LL。通项1(1)nnnyn-+-=，极限1(1)1nnnyn-+-=®()n®¥（收敛）即1(1)lim1nnnn-®¥+-=(如图4)(5)2,4,8,,2,nLL。通项2nny=，极限:2()nnyn=®¥®¥（发散）(6)11,1,1,,(1),n+--LL。通项：1(1)nny+=-;极限：1(1)()nnyn+=-®¥趋势不定（发散）(如图6)1-Og×××××××1××gg1234561(1)nny+=-nnyn®¥图6图4O×××××××××××12×1234561(1)nnnyn-+-=nny×n®¥图2O××××××123456×××××××1nyn=nny×n®¥常见函数极限67(7)1,2,3,,,nLL。通项nyn=，极限()nynn=®¥®¥（发散）(如图7)。(8)2,6,10,,(1)24,8,12,nnnynn---ì=-=íîLL（为奇数），（为偶数）。通项：(1)2nnyn=-极限()(1)2()nnnnynnn-¥®¥ì=-=í+¥®¥î（为奇数）（为偶数）(1)2nnyn=-()n®¥趋势不定（发散）(如图8)二、常见基本初等函数极限存在情况（一）当,,xxx®¥®-¥®+¥时的极限（为直观起见在图中将x®-¥记为x-¥¬以下均同）(1)函数yC=，极限limxCC®±¥=(C为常数)；（2）函数yx=，极限limxx®±¥=±¥（极限不存在）OxyCyC=x-¥¬x®+¥图1yxyx=ox-¥¬x®+¥图2onyn(1)2nnyn=-×ggggg235645-4-2-1-3-6-4261210810-12-8-2-4-6-n®¥1图81235n124O3××××6nyn=nyn®¥图7常见函数极限68x®+¥xy2yx=ox-¥¬图5(3)函数yx=-，极限limxx®±¥-=¥m（）；(4)函数1yx=，极限1lim0xx®±¥=(5)函数2yx=，极限2limxx®±¥=+¥（极限不存在）；(6)函数12yx=，极限limxx®+¥=+¥（极限不存在）（7)函数3yx=，极限3limxx®±¥=±¥（极限不存在）；（8）函数13yx=，极限13limxx®±¥=±¥，（极限不存在）图83()fxx=xOyx-¥¬x®+¥图7xO3()fxx=x-¥¬x®+¥y图6yxyx=ox®+¥yxOyx=-x®+¥x-¥¬图311yxx-==yxox-¥¬x®+¥图4常见函数极限692、指数函数部分(9)函数(1xyaa=>），极限lim(1)xxaa®+¥=+¥>（极限不存在）（注意：x®+¥）(10)函数(1xyaa=>）极限lim0(1)xxaa®-¥=>;（注意：x®-¥）(11)函数(01)xyaa=<<，极限lim0(01)xxaa®+¥=<<（注意：x®+¥）(12)函数(01)xyaa=<<，极限lim(01)xxaa®-¥=+¥<<极限不存在（注意：x®-¥）或综上（9）-(12）得图113、对数函数部分（13）函数log(1)ayxa=>，极限limlog(1)axxa®+¥=+¥>极限不存在（注意：x®+¥）;(14)函数log(0<1)ayxa==-¥<，极限limlog(0<1)axxa®+¥=-¥<极限不存在.（注意：x®-¥）图13(1,0)01a<<logyxa=×xy+¥xO图12(1,0)logyxa=1a>×xy+¥xOy(0,1)01a<<xya=1a>xOx-¥¬x®+¥g图11y(0,1)01a<<xya=x+¥x-¥xOg图10y(0,1)1a>x+¥x-¥xOxya=g图9常见函数极限70或综上(13)(14)3、三角函数部分（原书没有）（15）函数sinyx=，极限limsinxx®¥趋势不定，极限不存在（注意：x®¥即x®±¥）（16）函数xycos=，极限limcosxx®¥趋势不定，极限不存在（注意：x®¥即x®±¥）（17）函数tanyx=，极限limtanxx®¥趋势不定，极限不存在（注意：x®¥即x®±¥）图14(1,0)01a<<logayx=1a>×xyOx®+¥图15x2p2p-32p-pp-32p-sinyx=yxO1y1--¥x+¥xotanyx=2p2p-xy-¥x+¥x图17-¥x+¥xx1y1-2p2p-32p-pp-32pcosyx=o图16常见函数极限71（18）函数cotyx=，极限limcotxx®¥趋势不定，极限不存在（注意：x®¥即x®±¥）4、反三角函数部分(19)函数arctanyx=，极限limarctan2xxp®+¥=（注意：x®+¥）(20)函数arctanyx=，极限limarctan2xxp®-¥=-（注意：x®-¥）（21))函数arccotyx=，极限limarccot0xx®+¥=（注意：x®+¥）(22)函数arccotyx=，极限limarccotxxp®-¥=（注意：x®-¥）x图21Oypcotyarcx=x®+¥×Oypcotyarcx=x-¥¬x®+¥xg图22O2p-2parctanyx=x-¥¬xyg图20O2p-2parctanyx=x®+¥xy×图19cotyx=2p2p-32pxy-¥x+¥xO图18常见函数极限72（一）当0xx®，0xx-®，0xx+®时的函数极限1、幂函数部分(23)函数yC=，极限0limxxCC®=(C为常数);(24)函数1yx=，极限01limxx®=¥mm(25)函数yx=，极限00limxxxx=®；（26）函数yx=-，极限0)(lim0xxxx-=-®（27）函数nyx=，极限00limnnxxxx®=（n为正整数）(28)函数2yx=，极限20lim0xx®=m；(29)函数12yx=，极限1200limlim0xxxx++®®==2yx=yxo×0x+®0x-®图27yx=yxo×0x+®图280x0xyxyx=O××0xx-®0xx+®图25Cxy0xyC=O0xx-®0xx+®图23o1yx-=yx0xx-®0xx+®图24图26yx=-0x-×0xx+®0xx-®xo0x×y常见函数极限73(30)30lim0xx®=m(31)130lim0xx®=m2、指数函数部分(32)函数(1)xyaa=>，极限0lim1(1)xxaa±®=>；(33)函数(01)xyaa=<<，极限0lim1(01)xxaa+®=<<或综上（32）（33）(34)函数xye=，极限0lim1xxe+®=3、对数部分（35）函数log(1)ayxa=>，极限0limlog(1)axxa+®=-¥>极限不存在；（36）函数log(1)ayxa=>，极限1limlog0(1)axxa®=>m图293()fxx=yox×0x-®0x+®图3013yx=oyx×0x+®0x-®图31(0,1)Oxxya=1a>××y0x-®0x+®10x-®0x+®(0,1)Ox01a<<xya=1a>××y1图33(0,1)Ox01a<<xya=××y0x-®0x+®1图32常见函数极限74(37)函数log(0<1)ayxa=<，极限0limlog(0<1)axxa+®=+¥<极限不存在；(38)函数log(0<1)ayxa=<，极限1limlog0(0<1)axxa®=<m或综上（35）-（38）4、三角函数部分(图2-18-21)（39）函数sinyx=，极限0limsin0xx®=m一般(2)limsin0xkxp®=m（0,1,2,3k=L）；图392p2p-32p-pp-32p-sinyx=yxO1yx1-x×0x-®0x+®图35O(1,0)logayx=xy1a>××1x-®1x+®1图34(1,0)logayx=xy1a>××0x+®O1图38(1,0)01a<<logayx=xyO1a>××1O(1,0)01a<<logayx=xy××0x+®1图36(1,0)01a<<logayx=xy×O×11x+®1x-®图37常见函数极限75（40）函数sinyx=，极限()2limsin1xxp®=m；一般(2)2limsin1xkxpp®+=m（0,1,2,3k=L）或综上（39）（40）（41）函数xycos=，极限0limcos1xx®=m；一般(2)limcos1xkxp®=m（0,1,2,3k=L）；（42）函数xycos=，极限()2limcos0xxp®=m;一般(2)2limcos1xkxpp®+=m（0,1,2,3k=L）o1yx1-2p2p-32p-pp-32pcosyx=xg()2xp-®()2xp+®图431yx1-2p2p-32p-pp-32pcosyx=xggO0x-®0x+®图42x图412p-32p-pp-32p-sinyx=yxO1yx1-xgg2pg()2xp-®()2xp+®图40常见函数极限76或综上（41）（42）（43）函数tanyx=，极限0limtan0xx®=m；一般()limtan0xkxp®=m（0,1,2,3k=L）；（44）函数tanyx=，极限()2limtanxxp®=±¥m；一般()2limtanxkxpp®+=±¥m（0,1,2,3k=L）；图450x-®0x+®o2p2p-tanyx=xy×()2xp-®图44()2xp+®o2p2p-tanyx=xy图46常见函数极限77或综上（43）（44）（45）函数cotyx=，极限0limcotxx®=¥mm;（46）函数cotyx=，极限()2limcot0xxp®=m一般()limcotxkxp®=¥mm（0,1,2,3k=L）；一般()2limcot0xkxpp®+=m（0,1,2,3k=L）或综上（45）（46）图47o2p2p-tanyx=xy图50cotyx=2p2p-o32pxyp图48cotyx=op2p2p-32pxy0x-®0x+®图49cotyx=2p2p-o32pxyp()2xp-®()2xp+®O×常见函数极限785、反三角函数部分函数arcsinyx=（47）极限0limarcsin0xx®=m，（48）1limarcsin2xxp®=m（49）(1)limarcsin2xxp®-=-m图52yxarcsinyx=1x-®O11-2p2p-××1x+®图51Oy11-2px2p-×arcsinyx=0x+®0x-®图53y11-2px2p-O××(1)x+®-(1)x-®-arcsinyx=常见函数极限79函数arccosyx=（50）0limarccos2xxp®=m；（51）1limarccos0xx®=m（52）(1)limarccosxxp®-=m图54y11-parccosyx=2p2p-xO××0x-®0x+®图55y11-parccosyx=2p2p-xO×1x+®1x-®图56y11-parccosyx=2p2p-xO××(1)x-®-(1)x+®-常见函数极限80(53)函数yarctanx=,极限0lim0xarctanx®=m;(54)函数arccotyx=,极限0limarccot2xxp®=m三、常见无穷大量（可由前部分得结果）（1）函数2,yx=极限2lim.xx®¥=+¥所以2yx=为当x®¥时的无穷大量；（2）函数3yx=极限3lim.xx®±¥=±¥所以3yx=为当x®¥时的无穷大量（3）函数lnyx=极限0limln,xx+®=-¥所以lnyx=为当0x+®时的无穷大量（4）函数lnyx=极限limln.xx®+¥=+¥所以lnyx=为当x®+¥时的无穷大量；（5）函数tan,yx=极限2limtan,xxp-®=+¥2limtan.xxp+®=-¥所以tan,yx=为当2xp®时的无穷大量常用无穷小量220(1)lim0,0,.xxxx®=®时是一个无穷小量0(2)limsin0,0,sinxxxx®=®时是一个无穷小量11(3)lim0,,xxxx®¥=®¥时是一个无穷小量2(4)limcos0,,cos.2xxxxpp®=®时是一个无穷小量(5)lim00,=即在任何一个极限过程中,常值函数y=0均为无穷小量.注:熟悉以上极限结果对计算更多的极限是非常重要的，希望同学通过图像理解后尽可能记住图58cotyarcx=xp2pOp××yxarctanyx=2p-2pO×y图57