中考数学压轴热点问
题
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“胡不归模型近几年中考题中，常出现带系数的两线段和的最值问题，这类问题基本都要用到“阿氏圆”和“胡不归”模型.下面着重讲解“胡不归模型”的应用.【背景】从前，有一个小伙子在外地当学徒，当他获悉在家乡的年老父亲病危的消息后，便立即启程日夜赶路。由于思念心切，他选择了全是沙砾地带的直线路径A--B（如图1所示：A是出发地，B是目的地，AC是一条驿道，而驿道靠目的地的一侧全是沙砾地带），当他气喘吁吁地赶到父亲眼前时，老人刚刚咽了气，小伙子不觉失声痛哭，邻舍劝慰小伙子时告诉说，老人在弥留之际还不断喃喃地叨念：胡不归?胡不归？这个古老的传说，引起了人们的思索，小伙子要提前到家是否有可能呢？倘有可能，他应该选择条怎样的路线呢？这就是风靡千年的“胡不归问题”.由于在驿道和沙砾地的行走速度不一样，那么，小伙子有没有可能先在驿道上走一程后，再走沙砾地，虽然多走了路，但反而总用时更短呢？如果存在这种可能，那么要在驿道上行走多远才最省时？设在沙砾地行驶速度为，在驿道行驶速度为，显然＜.不妨假设从C处进入砂砾地.设总共用时为t,则t=+=(BC+AC).因为，是确定的，所以只要(BC+AC)最小，用时就最少.问题就转化为求(BC+AC)的最小值.我们可以作出一条以C为端点的线段，使其等于AC.并且与线段CB位于AM的两侧，然后，根据两点之间线段最短，不难找到最小值点.怎么作呢？由三角
函数
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的定义，过A点，在AM的另一侧以A为顶点，以AM为一边作∠MAN=∠α，sinα=.然后，作CE⊥AN，则CE=AC.最后，当点B、C、E在一条直线上时，BC+CE最小，即(BC+AC)的值最小，即用时最小.例1.如图，AC是圆O的直径，AC=4，弧BA=120°，点D是弦AB上的一个动点，那么OD+BD的最小值为______.方法
总结
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：“胡不归”问题中涉及到三个点。其中有两个定点，一个动点，且动点是在直线上运动.解答模式：第一步：在系数不为1的线段的定端点处作一个角，使其的正弦值等于此线段的系数.（注意题目中有无特殊角）第二步：过动点作上一步的角的边的垂线，构造直角三角形.第三步：根据两点之间线段最短，找到最小值的位置.第四步：计算.应用：如图，△ABC在平面直角坐标系中，AB=AC，A(0,2)，C(1，0)，D为射线AO上一点，一动点P从A出发，运动路径为A→D→C，点P在AD上的运动速度是在CD上的3倍，要使整个运动时间最少，则点D的坐标应为___________.中考压轴题实战练习：如图，已知抛物线y=(x+2)(x-4)（k为常数，且k＞0）与x轴从左至右依次交于A，B两点，与y轴交于点C，经过点B的直线y=-x+b与抛物线的另一交点为D．(1)若点D的横坐标为-5，求抛物线的函数
表
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达式；(2)若在第一象限的抛物线上有点P，使得以A，B，P为顶点的三角形与△ABC相似，求k的值；(3)在(1)条件下，设F为线段BD上一点（不含端点），连接AF，一动点M从点A出发，沿线段AF以每秒1个单位的速度运动到F，再沿线段FD以每秒2个单位的速度运动到D后停止．当点F的坐标是多少时，点M在整个运动过程中用时最少？“胡不归模型”练习题：1.等边三角形ABC的边长为6，将其放置在如图所示的平面直角坐标系中，其中BC边在x轴上，BC边的高OA在Y轴上．一只电子虫从A出发，先沿y轴到达G点，再沿GC到达C点，已知电子虫在Y轴上运动的速度是在GC上运动速度的2倍，若电子虫走完全程菁优网的时间最短，则点G的坐标为_________.2.如图，抛物线y=x²+mx+n与直线y=-x+3交于A，B两点，交x轴于D，C两点，连接AC，BC，已知A（0，3），C（3，0）．(Ⅰ)求抛物线的解析式和tan∠BAC的值；(Ⅱ)在(Ⅰ)条件下：(1)P为y轴右侧抛物线上一动点，连接PA，过点P作PQ⊥PA交y轴于点Q，问：是否存在点P使得以A，P，Q为顶点的三角形与△ACB相似？若存在，请求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请
说明
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理由．(2)设E为线段AC上一点（不含端点），连接DE，一动点M从点D出发，沿线段DE以每秒一个单位速度运动到E点，再沿线段EA以每秒个单位的速度运动到A后停止，当点E的坐标是多少时，点M在整个运动中用时最少？3.如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=ax2+bx+c的图象经过点A（-1，0），B（0，-），C（2，0），其对称轴与x轴交于点D(1)求二次函数的表达式及其顶点坐标；(2)若P为y轴上的一个动点，连接PD，则PB+PD的最小值为_______；(3)M（x，t）为抛物线对称轴上一动点①若平面内存在点N，使得以A，B，M，N为顶点的四边形为菱形，则这样的点N共有___个；②连接MA，MB，若∠AMB不小于60°，求t的取值范围．4.如图所示，已知抛物线y=a（x+3）（x-1）(a≠0)，与x轴从左至右依次相交于A、B两点，与y轴相交于点C，经过点A的直线y=-x+b与抛物线的另一个交点为D．(1)若点D的横坐标为2，求抛物线的函数解析式；(2)若在第三象限内的抛物线上有点P，使得以A、B、P为顶点的三角形与△ABC相似，求点P的坐标；(3)在(1)的条件下，设点E是线段AD上的一点（不含端点），连接BE．一动点Q从点B出发，沿线段BE以每秒1个单位的速度运动到点E，再沿线段ED以每秒个单位的速度运动到点D后停止，问当点E的坐标是多少时，点Q在整个运动过程中所用时间最少？5.【问题探究】(1)如图①，点E是正△ABC高AD上的一定点，请在AB上找一点F，使EF=AE，并说明理由；(2)如图②，点M是边长为2的正△ABC高AD上的一动点，求AM+MC的最小值；【问题解决】(3)如图③，A、B两地相距600km，AC是笔直地沿东西方向向两边延伸的一条铁路．点B到AC的最短距离为360km．今计划在铁路线AC上修一个中转站M，再在BM间修一条笔直的公路．如果同样的物资在每千米公路上的运费是铁路上的两倍．那么，为使通过铁路由A到M再通过公路由M到B的总运费达到最小值，请确定中转站M的位置，并求出AM的长．（结果保留根号）
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