初三数学中考动点问题复习含答案

2012年中考数学动点问题201206-001如图，在平行四边形ABCD中，AD=4cm，∠A=60°，BD⊥AD.一动点P从A出发，以每秒1cm的速度沿A→B→C的路线匀速运动，过点P作直线PM，使PM⊥AD.1．当点P运动2秒时，设直线PM与AD相交于点E，求△APE的面积；2．当点P运动2秒时，另一动点Q也从A出发沿A→B的路线运动，且在AB上以每秒1cm的速度匀速运动，（当P、Q中的某一点到达终点，则两点都停止运动.）过Q作直线QN，使QN∥PM，设点Q运动的时间为t秒（0≤t≤8），直线PM与QN截平行四边形ABCD所得图形的面积为S（cm2）.（1）求S关于t的函数关系式；（2）求S的最大值.分两种情况：（1）①当P、Q都在AB上运动时，PM、QN截平行四边形ABCD所得的图形永远为直角梯形.此时0≤t≤6.②当P在BC上运动，而Q在AB边上运动时，画出相应图形，所成图形为六边形DFQBPG.不规则图形面积用割补法.此时6＜t≤8.1201206-002．如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC为菱形，点C的坐标为(4,0)，∠AOC=60°，垂直于x轴的直线l从y轴出发，沿x轴正方向以每秒1个单位长度的速度运动，设直线l与菱形OABC的两边分别交于点M、N(点M在点N的上方).1.求A、B两点的坐标；2.设△OMN的面积为S，直线l运动时间为t秒(0≤t≤6)，试求S与t的函数 表 关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf 达式；3.在题(2)的条件下，t为何值时，S的面积最大？最大面积是多少？直线l从y轴出发，沿x轴正方向运动与菱形OABC的两边相交有三种情况：①0≤t≤2时，直线l与OA、OC两边相交(如图①).②2＜t≤4时，直线l与AB、OC两边相交(如图②).③4＜t≤6时，直线l与AB、BC两边相交(如图③).2003如图所示，在直角坐标系中，矩形ABCD的边AD在x轴上，点A在原点，AB＝3，AD＝5．若矩形以每秒2个单位长度沿x轴正方向作匀速运动．同时点P从A点出发以每秒1个单位长度沿A－B－C－D的路线作匀速运动．当P点运动到D点时停止运动，矩形ABCD也随之停止运动．⑴求P点从A点运动到D点所需的时间；⑵设P点运动时间为t（秒）.当t＝5时，求出点P的坐标；若⊿OAP的面积为s，试求出s与t之间的函数关系式（并写出相应的自变量t的取值范围）．3004、（09包头）如图，已知△ABC中，ABAC10厘米，BC8厘米，点D为AB的中点．（1）如果点P在线段BC上以3厘米/秒的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段CA上由C点向A点运动．△CQP①若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，经过1秒后，△BPD与是否全等，请说明理由；②若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，当点Q的运动速度为多少时，能A△CQP够使△BPD与全等？（2）若点Q以②中的运动速度从点C出发，点P以原来的运动速度从点B同时出DQ发，都逆时针沿△ABC三边运动，求经过多长时间点P与点Q第一次在△ABC的哪条边上相遇？BCP43yx6P、Q005、（09齐齐哈尔）直线4与坐标轴分别交于A、B两点，动点同时从O点出Q发，同时到达A点，运动停止．点沿线段OA运动，速度为每秒1个单位长度，点P沿路线O→B→A运动．y（1）直接写出A、B两点的坐标；BQ△OPQ（2）设点的运动时间为t秒，的面积为S，求出S与t之间的函数关系式；P48S5PO、P、Qx（3）当时，求出点的坐标，并直接写出以点为OQA顶点的平行四边形的第四个顶点M的坐标．5006（09深圳）如图，在平面直角坐标系中，直线l：y=－2x－8分别与x轴，y轴相交于A，B两点，点P（0，k）是y轴的负半轴上的一个动点，以P为圆心，3为半径作⊙P.（1）连结PA，若PA=PB，试判断⊙P与x轴的位置关系，并说明理由；（2）当k为何值时，以⊙P与直线l的两个交点和圆心P为顶点的三角形是正三角形？解：（1）⊙P与x轴相切.∵直线y=－2x－8与x轴交于A（4，0），与y轴交于B（0，－8），∴OA=4，OB=8.由题意，OP=－k，∴PB=PA=8+k.在Rt△AOP中，k2+42=(8+k)2，∴k=－3，∴OP等于⊙P的半径，∴⊙P与x轴相切.（2）设⊙P与直线l交于C，D两点，连结PC，PD当圆心P在线段OB上时,作PE⊥CD于E.13∵△PCD为正三角形，∴DE=2CD=2，PD=3，33∴PE=2.∵∠AOB=∠PEB=90°，∠ABO=∠PBE，∴△AOB∽△PEB，33AOPE42315,即=PB,∴ABPB45PB，∴2315POBOPB8∴2，315315P(0,8)k8∴2，∴2.315当圆心P在线段OB延长线上时,同理可得P(0,－2－8)，315∴k=－2－8，315315∴当k=2－8或k=－2－8时，以⊙P与直线l的两个交点和圆心P为顶点的三角形是正三角形.6007（09济南）如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AD3，DC5，AB42，∠B45．动点M从B点出发沿线段BC以每秒2个单位长度的速度向终点C运动；AD动点N同时从C点出发沿线段CD以每秒1个单位长度的速度向终点D运动．设运动的时间为t秒．NBCB（1）求的长．MC（2）当MN∥AB时，求t的值．（3）试探究：t为何值时，△MNC为等腰三角形．7008（09兰州）如图①，正方形ABCD中，点A、B的坐标分别为（0，10），（8，4），点C在第一象限．动点P在正方形ABCD的边上，从点A出发沿A→B→C→D匀速运动，同时动点Q以相同速度在x轴正半轴上运动，当P点到达D点时，两点同时停止运动，设运动的时间为t秒．(1)当P点在边AB上运动时，点Q的横坐标x（长度单位）关于运动时间t（秒）的函数图象如图②所示，请写出点Q开始运动时的坐标及点P运动速度；(2)求正方形边长及顶点C的坐标；(3)在（1）中当t为何值时，△OPQ的面积最大，并求此时P点的坐标；(4)如果点P、Q保持原速度不变，当点P沿A→B→C→D匀速运动时，OP与PQ能否相等，若能，写出所有符合条件的t的值；若不能，请说明理由．8009（09太原）问题解决如图（1），将正方形纸片ABCD折叠，使点B落在CD边上一点E（不与点C，D重合），压平CE1AM后得到折痕MN．当CD2时，求BN的值．方法指导：AM为了求得BN的值，可先求BN、AM的长，不妨设：AB=2类比归纳CE1AMCE1AM，，FAM在图（1）中，若CD3则BN的值等于；若CD4则BN的DCE1AME值等于；若CDn（n为整数），则BN的值等于．（用含n的式子表示）BC联系拓广N图（1）如图（2），将矩形纸片ABCD折叠，使点B落在CD边上一点E（不与点AB1CE1AMm1，，C，D重合），压平后得到折痕MN，设BCmCDn则BN的值等于．（用含m，n的式子表示）FMADEBNC图（2）FMGFADAMDEEBNCBNC图（1-2）9图（1-1）胜102012年中考数学动点问题201206-001如图，在平行四边形ABCD中，AD=4cm，∠A=60°，BD⊥AD.一动点P从A出发，以每秒1cm的速度沿A→B→C的路线匀速运动，过点P作直线PM，使PM⊥AD.1．当点P运动2秒时，设直线PM与AD相交于点E，求△APE的面积；2．当点P运动2秒时，另一动点Q也从A出发沿A→B的路线运动，且在AB上以每秒1cm的速度匀速运动，（当P、Q中的某一点到达终点，则两点都停止运动.）过Q作直线QN，使QN∥PM，设点Q运动的时间为t秒（0≤t≤8），直线PM与QN截平行四边形ABCD所得图形的面积为S（cm2）.（1）求S关于t的函数关系式；（2）求S的最大值.分两种情况：（1）①当P、Q都在AB上运动时，PM、QN截平行四边形ABCD所得的图形永远为直角梯形.此时0≤t≤6.②当P在BC上运动，而Q在AB边上运动时，画出相应图形，所成图形为六边形DFQBPG.不规则图形面积用割补法.此时6＜t≤8.111.分析：此题为点动题，因此，1)搞清动点所走的路线及速度，这样就能求出相应线段的长；2）分析在运动中点的几种特殊位置.由题意知，点P为动点，所走的路线为：A→B→C速度为1cm/s。而t=2s，故可求出AP的值，进而求出△APE的面积.略解：由AP=2，∠A=60°得AE=1，EP=.因此.2.分析：两点同时运动，点P在前，点Q在后，速度相等，因此两点距出发点A的距离相差总是2cm.P在AB边上运动后，又到BC边上运动.因此PM、QN截平行四边形ABCD所得图形不同.故分两种情况：（1）①当P、Q都在AB上运动时，PM、QN截平行四边形ABCD所得的图形永远为直角梯形.此时0≤t≤6.②当P在BC上运动，而Q在AB边上运动时，画出相应图形，所成图形为六边形DFQBPG.不规则图形面积用割补法.此时6＜t≤8.⑴略解：①当P、Q同时在AB边上运动时，0≤t≤6.AQ=t,AP=t+2,AF=t,QF=t,AG=(t+2),由三角函数PG=(t+2),FG=AG-AF=(t+2)-t=1.S=·(QF+PG)·FG=[t+(t+2)]·1=t+.②当6＜t≤8时，S=S平行四边形ABCD-S△AQF-S△GCP.易求S平行四边形ABCD=16,S△AQF=AF·QF=t2.而S△CGP=PC·PG,PC=4-BP=4-(t+2-8)=10-t.由比例式可得∴PG=(10-t).∴S△CGP=PC·PG=(10-t)·(10-t)=(10-t)2.∴S=16-t2-(10-t)2=(6＜t≤8⑵分析:求面积的最大值时,应用函数的增减性求.若题中分多种情况,那么每一种情况都要分别求出最大值，然后综合起来得出一个结论.此题分两种情况,那么就分别求出0≤t≤6和6＜t≤8时的最大值.0≤t≤6时,是一次函数,应用一次函数的性质,由于一次项系数是正数,面积S随t的增大而增大.12当6＜t≤8时,是二次函数,应用配方法或公式法求最值.略解：由于所以t=6时，S最大＝；由于S＝(6＜t≤8,所以t=8时，S最大=6.综上所述,当t=8时，S最大=6.13201206-002．如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC为菱形，点C的坐标为(4,0)，∠AOC=60°，垂直于x轴的直线l从y轴出发，沿x轴正方向以每秒1个单位长度的速度运动，设直线l与菱形OABC的两边分别交于点M、N(点M在点N的上方).1.求A、B两点的坐标；2.设△OMN的面积为S，直线l运动时间为t秒(0≤t≤6)，试求S与t的函数表达式；3.在题(2)的条件下，t为何值时，S的面积最大？最大面积是多少？直线l从y轴出发，沿x轴正方向运动与菱形OABC的两边相交有三种情况：①0≤t≤2时，直线l与OA、OC两边相交(如图①).②2＜t≤4时，直线l与AB、OC两边相交(如图②).③4＜t≤6时，直线l与AB、BC两边相交(如图③).141.分析：由菱形的性质、三角函数易求A、B两点的坐标.解：∵四边形OABC为菱形，点C的坐标为(4,0)，∴OA=AB=BC=CO=4.如图①，过点A作AD⊥OC于D.∵∠AOC=60°，∴OD=2，AD=.∴A(2,)，B（6,）.2.分析：直线l在运动过程中，随时间t的变化，△MON的形状也不断变化，因此，首先要把所有情况画出相应的图形，每一种图形都要相应写出自变量的取值范围。这是解决动点题关键之一.直线l从y轴出发，沿x轴正方向运动与菱形OABC的两边相交有三种情况：①0≤t≤2时，直线l与OA、OC两边相交(如图①).②2＜t≤4时，直线l与AB、OC两边相交(如图②).③4＜t≤6时，直线l与AB、BC两边相交(如图③).略解：①∵MN⊥OC，∴ON=t.∴MN=ONtan60°=.∴S=ON·MN=t2.②S=ON·MN=t·2=t.③方法一：设直线l与x轴交于点H.∵MN＝2-(t-4)=6-t,∴S=MN·OH=(6-t)t=-t2+3t.方法二：设直线l与x轴交于点H.∵S=S△OMH-S△ONH，∴S=t·2-t·(t-4)=-t2+3t.方法三：设直线l与x轴交于点H.∵S=,=4×2=8,=·2·(t-2)=t-2,=·4·(t-4)=2t-8,=(6-t)(6-t)=18-6t+t2,∴S=8-(t-2)-(2t-8)-(18-6t+t2)=-t2+3t.3.求最大面积的时候，求出每一种情况的最大面积值，然后再综合每种情况，求出最大值.略解：由2知，当0≤t≤2时，=×22=2；15当2＜t≤4时，=4；当4＜t≤6时，配方得S=-(t-3)2+，∴当t=3时，函数S＝-t2+3t的最大值是.但t=3不在4＜t≤6内，∴在4＜t≤6内，函数S＝-t2+3t的最大值不是.而当t＞3时，函数S＝-t2+3t随t的增大而减小，∴当4＜t≤6时，S＜4.综上所述，当t=4秒时，=4.16练习1如图所示，在直角坐标系中，矩形ABCD的边AD在x轴上，点A在原点，AB＝3，AD＝5．若矩形以每秒2个单位长度沿x轴正方向作匀速运动．同时点P从A点出发以每秒1个单位长度沿A－B－C－D的路线作匀速运动．当P点运动到D点时停止运动，矩形ABCD也随之停止运动．⑴求P点从A点运动到D点所需的时间；⑵设P点运动时间为t（秒）.当t＝5时，求出点P的坐标；若⊿OAP的面积为s，试求出s与t之间的函数关系式（并写出相应的自变量t的取值范围）．17解:（1）P点从A点运动到D点所需的时间＝（3+5+3）÷1＝11（秒）.（2）当t＝5时，P点从A点运动到BC上，此时OA=10,AB+BP=5，∴BP=2.过点P作PE⊥AD于点E，则PE=AB=3,AE=BP=2.∴OE=OA+AE=10+2=12.∴点P的坐标为（12，3）．分三种情况：．当0＜t≤3时，点P在AB上运动，此时OA=2t,AP=t，∴s=×2t×t=t2.．当3＜t≤8时，点P在BC上运动，此时OA=2t，∴s=×2t×3=3t.．当8＜t＜11时，点P在CD上运动，此时OA=2t,AB+BC+CP=t，∴DP=(AB+BC+CD)-(AB+BC+CP)=11-t.∴s=×2t×(11-t)=-t2+11t.综上所述，s与t之间的函数关系式是：当0＜t≤3时，s=t2；当3＜t≤8时，s=3t；当8＜t＜11时，s=-t2+11t.练习2如图，边长为4的正方形OABC的顶点O为坐标原点，点A在x轴的正半轴上，点C在y轴的正半轴上．动点D在线段BC上移动（不与B，C重合），连接OD，过点D作DE⊥OD，交边AB于点E，连接OE．（1）当CD=1时，求点E的坐标；（2）如果设CD=t，梯形COEB的面积为S，那么是否存在S的最大值？若存在，请求出这个最大值及此时t的值；若不存在，请说明理由．解：(1)正方形OABC中，因为ED⊥OD，即∠ODE=90°，所以∠COD=90°-∠CDO，而∠EDB=90°-∠CDO，所以∠COD=∠EDB.又因为∠OCD=∠DBE=90°，所以△CDO∽△BED.所以，即，BE=，则.因此点E的坐标为（4，）．(2)存在S的最大值．由于△CDO∽△BED，所以，即，BE=t－t2.×4×(4＋t－t2)．故当t=2时，S有最大值10．181、（09包头）如图，已知△ABC中，ABAC10厘米，BC8厘米，点D为AB的中点．（1）如果点P在线段BC上以3厘米/秒的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段CA上由C点向A点运动．△CQP①若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，经过1秒后，△BPD与是否全等，请说明理由；②若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，当点Q的运动速度为多少时，能A△CQP够使△BPD与全等？（2）若点Q以②中的运动速度从点C出发，点P以原来的运动速度从点B同时出DQ发，都逆时针沿△ABC三边运动，求经过多长时间点P与点Q第一次在△ABC的哪条边上相遇？BCP19解：（1）①∵t1秒，BPCQ313∴厘米，∵AB10厘米，点D为AB的中点，∴BD5厘米．又∵PCBCBP，BC8厘米，∴PC835厘米，∴PCBD．又∵ABAC，∴BC，△BPD≌△CQP∴．（4分）vvBPCQ②∵PQ，∴，△BPD≌△CQPBPPC4，CQBD5又∵，BC，则，BP4tQ∴点P，点运动的时间33秒，CQ515vQt44∴3厘米/秒．（7分）Q（2）设经过x秒后点P与点第一次相遇，1580x3x210x由题意，得4，解得3秒．80380∴点P共运动了3厘米．∵8022824，Q∴点P、点在AB边上相遇，2080Q∴经过3秒点P与点第一次在边AB上相遇．（12分）213yx6P、Q2、（09齐齐哈尔）直线4与坐标轴分别交于A、B两点，动点同时从O点出发，Q同时到达A点，运动停止．点沿线段OA运动，速度为每秒1个单位长度，点P沿路线O→B→A运动．y（1）直接写出A、B两点的坐标；BQ△OPQ（2）设点的运动时间为t秒，的面积为S，求出S与t之间的函数关系式；P48S5PO、P、Qx（3）当时，求出点的坐标，并直接写出以点为OQA顶点的平行四边形的第四个顶点M的坐标．22解（1）A（8，0）B（0，6）1分（2）QOA8，OB6AB1088QQ点由O到A的时间是1（秒）6102点P的速度是8（单位/秒）1分OQt，OP2t当P在线段OB上运动（或0≤t≤3）时，St21分OQt，AP6102t162t当P在线段BA上运动（或3t≤8）时，,PDAP486tPD如图，作PDOA于点D，由BOAB，得5，1分1324SOQPDt2t2551分（自变量取值范围写对给1分，否则不给分．）824P，55（3）1分82412241224I，，M，，M，1552553553分233（09深圳）如图，在平面直角坐标系中，直线l：y=－2x－8分别与x轴，y轴相交于A，B两点，点P（0，k）是y轴的负半轴上的一个动点，以P为圆心，3为半径作⊙P.（1）连结PA，若PA=PB，试判断⊙P与x轴的位置关系，并说明理由；（2）当k为何值时，以⊙P与直线l的两个交点和圆心P为顶点的三角形是正三角形？解：（1）⊙P与x轴相切.∵直线y=－2x－8与x轴交于A（4，0），与y轴交于B（0，－8），∴OA=4，OB=8.由题意，OP=－k，∴PB=PA=8+k.在Rt△AOP中，k2+42=(8+k)2，∴k=－3，∴OP等于⊙P的半径，∴⊙P与x轴相切.（2）设⊙P与直线l交于C，D两点，连结PC，PD当圆心P在线段OB上时,作PE⊥CD于E.13∵△PCD为正三角形，∴DE=2CD=2，PD=3，33∴PE=2.∵∠AOB=∠PEB=90°，∠ABO=∠PBE，∴△AOB∽△PEB，33AOPE4,即=2∴ABPB45PB，315PB,∴2315POBOPB8∴2，315P(0,8)∴2，315k8∴2.315当圆心P在线段OB延长线上时,同理可得P(0,－2－8)，315∴k=－2－8，24315315∴当k=2－8或k=－2－8时，以⊙P与直线l的两个交点和圆心P为顶点的三角形是正三角形.4（09哈尔滨）如图1，在平面直角坐标系中，点O是坐标原点，四边形ABCO是菱形，点A的坐标为（－3，4），点C在x轴的正半轴上，直线AC交y轴于点M，AB边交y轴于点H．（1）求直线AC的解析式；（2）连接BM，如图2，动点P从点A出发，沿折线ABC方向以2个单位／秒的速度向终点C匀速运动，设△PMB的面积为S（S≠0），点P的运动时间为t秒，求S与t之间的函数关系式（ 要求 对教师党员的评价套管和固井爆破片与爆破装置仓库管理基本要求三甲医院都需要复审吗 写出自变量t的取值范围）；（3）在（2）的条件下，当t为何值时，∠MPB与∠BCO互为余角，并求此时直线OP与直线AC所夹锐角的正切值．解：257（09济南）如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AD3，DC5，AB42，∠B45．动点M从B点出发沿线段BC以每秒2个单位长度的速度向终点C运动；动AD点N同时从C点出发沿线段CD以每秒1个单位长度的速度向终点D运动．设运动的时间为t秒．NBCB（1）求的长．MC（2）当MN∥AB时，求t的值．（3）试探究：t为何值时，△MNC为等腰三角形．26解：（1）如图①，过A、D分别作AKBC于K，DHBC于H，则四边形ADHK是矩形∴KHAD3．……………………1分2AKABgsin4542．4在Rt△ABK中，22BKABgcos4542g422分在Rt△CDH中，由勾股定理得，HC52423∴BCBKKHHC43310……………3分（2）如图②，过D作DG∥AB交BC于G点，则四边形ADGB是平行四边形∵MN∥AB∴MN∥DGAD∴BGAD3∴GC1037……………4分BCKHMNtCNt，CM102t．由题意知，当、运动到秒时，（图①）∵DG∥MN∴∠NMC∠DGC又∠C∠C∴△MNC∽△GDCCNCMAD∴CDCG……………5分Nt102t57即BCGM50t（图②）解得，17……………6分（3）分三种情况讨论：27①当NCMC时，如图③，即t102t10t∴3……………7分ADADNNBCBCEMMH（图④）（图③）②当MNNC时，如图④，过N作NEMC于E解法一：11ECMC102t5t由等腰三角形三线合一性质得22EC5tcosc在Rt△CEN中，NCtCH3cosc又在Rt△DHC中，CD55t3∴t525t解得88分解法二：∵∠C∠C，DHCNEC90∴△NEC∽△DHCNCECt5t∴DCHC即5325t∴8……………8分11FCNCt③当MNMC时，如图⑤，过M作MFCN于F点.2228解法一：（方法同②中解法一）1ADtFC360cosC2tMC102t5解得17NF解法二：BCHM∵∠C∠C，MFCDHC90（图⑤）∴△MFC∽△DHC1tFCMC102t602t∴HCDC即35∴17102560ttt综上所述，当3、8或17时，△MNC为等腰三角形9分299（09兰州）如图①，正方形ABCD中，点A、B的坐标分别为（0，10），（8，4），点C在第一象限．动点P在正方形ABCD的边上，从点A出发沿A→B→C→D匀速运动，同时动点Q以相同速度在x轴正半轴上运动，当P点到达D点时，两点同时停止运动，设运动的时间为t秒．(1)当P点在边AB上运动时，点Q的横坐标x（长度单位）关于运动时间t（秒）的函数图象如图②所示，请写出点Q开始运动时的坐标及点P运动速度；(2)求正方形边长及顶点C的坐标；(3)在（1）中当t为何值时，△OPQ的面积最大，并求此时P点的坐标；(4)如果点P、Q保持原速度不变，当点P沿A→B→C→D匀速运动时，OP与PQ能否相等，若能，写出所有符合条件的t的值；若不能，请说明理由．30解：（1）Q（1，0）……………1分点P运动速度每秒钟1个单位长度．……………2分（2）过点B作BF⊥y轴于点F，BE⊥x轴于点E，则BF＝8，OFBE4．∴AF1046．在Rt△AFB中，AB826210……………3分过点C作CG⊥x轴于点G，与FB的延长线交于点H．∵ABC90,ABBC∴△ABF≌△BCH．∴BHAF6,CHBF8．y∴OGFH8614,CG8412．D∴所求C点的坐标为（14，12）．……………4分C（3）过点P作PM⊥y轴于点M，PN⊥x轴于点N，AP则△APM∽△ABF．MAPAMMPtAMMPFH∴ABAFBF．1068．B3434AMt，PMtPNOM10t,ONPMtONQEGx∴55．∴55．设△OPQ的面积为S（平方单位）13473S(10t)(1t)5tt2∴251010（0≤t≤10）……………5分说明:未注明自变量的取值范围不扣分．4747t10336a2()∵10<0∴当10时，△OPQ的面积最大．6分9453此时P的坐标为（15，10）．7分5295tt（4）当3或13时，OP与PQ相等．9分3112（09太原）问题解决如图（1），将正方形纸片ABCD折叠，使点B落在CD边上一点E（不与点C，D重合），压平CE1AM后得到折痕MN．当CD2时，求BN的值．方法指导：AM为了求得BN的值，可先求BN、AM的长，不妨设：AB=2类比归纳CE1AMCE1AM，，FAM在图（1）中，若CD3则BN的值等于；若CD4则BN的DCE1AME值等于；若CDn（n为整数），则BN的值等于．（用含n的式子表示）BC联系拓广N图（1）如图（2），将矩形纸片ABCD折叠，使点B落在CD边上一点E（不与点AB1CE1AMm1，，C，D重合），压平后得到折痕MN，设BCmCDn则BN的值等于．（用含m，n的式子表示）FMADEBNC图（2）32解：方法一：如图（1-1），连接BM，EM，BE．由题设，得四边形ABNM和四边形FENM关于直线MN对称．∴MN垂直平分BE．∴BMEM，BNEN．……………1分°,．∵四边形ABCD是正方形，∴ADC90ABBCCDDA2CE1，CEDE1．∵CD2设BNx，则NEx，NC2x．在Rt△CNE中，NE2CN2CE2．55xBN．x22x212．∴解得4，即4…………3分FAM在Rt△ABM和在Rt△DEM中，DAM2AB2BM2，EDM2DE2EM2，BNC∴AM2AB2DM2DE2．…………5分图（1-1）AMy，DM2y，y2222y212．设则∴11y，AM．F解得4即4…………6分GAMDAM1．∴BN5…………7分E5BN．BC方法二：同方法一，4…………3分N图（1-2）如图（1－2），过点N做NG∥CD，交AD于点G，连接BE．∵AD∥BC，∴四边形GDCN是平行四边形．∴NGCDBC．5AGBN．同理，四边形ABNG也是平行四边形．∴433∵MNBE，EBCBNM90°．QNGBC，MNGBNM90°，EBCMNG．在△BCE与△NGM中EBCMNG，BCNG，CNGM90°．∴△BCE≌△NGM，ECMG．５分51AMAGMG，AM=1．∵44…………6分AM1．∴BN5…………7分249n12类比归纳5（或10）；17；n21…………10分n2m22n1联系拓广n2m21…………12分3435