高考全国乙卷：《理科数学》2023-2021年高考真题与答案解析

高考精品文档高考全国乙卷理科数学·2023年－2021年考试真题与 答案 八年级地理上册填图题岩土工程勘察试题省略号的作用及举例应急救援安全知识车间5s试题及答案 解析同卷省份河南、甘肃、青海、内蒙江西、宁夏、新疆、陕西[注]晋皖黑吉四省2023年不用全国乙卷目录高考全国乙卷：《理科数学》2023年考试真题与答案解析...................................................1一、选择题.............................................................................................................................1二、填空题.............................................................................................................................5三、解答题.............................................................................................................................6高考全国乙卷：《理科数学》2022年考试真题与答案解析.................................................10一、选择题...........................................................................................................................10二、填空题...........................................................................................................................15三、解答题...........................................................................................................................15高考全国乙卷：《理科数学》2021年考试真题与答案解析.................................................24一、选择题...........................................................................................................................24二、填空题...........................................................................................................................28三、解答题...........................................................................................................................29高考全国乙卷：《理科数学》2023年考试真题与答案解析一、选择题本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。2i1.设z，则z（）1i25iA.12iB.12iC.2iD.2i答案：B2.设集合UR，集合Mxx1，Nx12x，则xx2（）A.ðUMNB.NMðUC.ðUMND.MNðU答案：A3.如图，网格纸上绘制的一个零件的三视图，网格小正方形的边长为1，则该零件的 表 关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf 面积为（）1A.24B.26C.28D.30答案：Dxex4.已知fx()是偶函数，则a（）e1axA2B.1C.1D.2答案：.D5.设O为平面坐标系的坐标原点，在区域x,y1x22y4内随机取一点，记该点为A，π则直线OA的倾斜角不大于的概率为（）41A.81B.61C.41D.2答案：Cπ2ππ2π6.已知函数f(x)sin(x)在区间,单调递增，直线x和x为函数yfx的63635π图像的两条对称轴，则f（）123A.21B.2C.3D.2答案：D7.甲乙两位同学从6种课外读物中各自选读2种，则这两人选读课外读物中恰有1种相同的选法共有（）A.30种B.60种C.120种D.240种答案：C的8.已知圆锥PO的底面半径为3，O为底面圆心，PA，PB为圆锥的母线，AOB120，若△PAB的面积等于93，则该圆锥的体积为（）4A.B.6C.3πD.36答案：B9.已知△ABC为等腰直角三角形，AB为斜边，△ABD为等边三角形，若二面角CABD为150，则直线CD与平面ABC所成角的正切值为（）1A.52B.53C.52D.5答案：C210.已知等差数列a的公差为，集合ScosanN*，若Sa,b，则ab（）n3nA－11B.2C.0.1D.2答案：By211.设A，B为双曲线x21上两点，下列四个点中，可为线段AB中点的是（）9A1,1B.(-1,2)C.1,3D.1,4答案：.D12.已知圆O的半径为1，直线PA与圆O相切于点A，直线PB与圆O交于B，C两点，D为BC的中点，若PO2，则PAPD的最大值为（）12+A.2122B.2C.12D.22答案：A二、填空题13.已知点A1,5在抛物线C：y22px上，则A到C的准线的距离为______.9答案：4xy3114.若x，y满足约束条件xy29，则z2xy的最大值为______.37xy答案：815.已知an为等比数列，a2a4a5a3a6，aa9108，则a7______.答案：－216.设a0,1，若函数fxax1ax在0,上单调递增，则a的取值范围是______.51答案：,12三、解答题（一）必做题17.某厂为比较甲乙两种工艺对橡胶产品伸缩率处理效应，进行10次配对试验，每次配对试验选用材质相同的两个橡胶产品，随机地选其中一个用甲工艺处理，另一个用乙工艺处理，测量处理后的橡胶产品的伸缩率，甲、乙两种工艺处理后的橡胶产品的伸缩率分别记为xi，yi（i1,2,10），试验结果如下：试验序号i12345678910伸缩率545533551522575544541568596548伸缩率536527543530560533522550576536记zxy(i1,2,,10)，记z，z，…，z的样本平均数为，样本方差为2，iii1210的zs[1]求z，s2；[2]判断甲工艺处理后的橡胶产品的伸缩率较乙工艺处理后的橡胶产品的伸缩率是否有显著提s2高（如果z2，则认为甲工艺处理后的橡胶产品的伸缩率较乙工艺处理后的橡胶产品的伸10缩率有显著提高，否则不认为有显著提高）.答案：[1]z11，s261[2]认为甲工艺处理后的橡胶产品的伸缩率较乙工艺处理后的橡胶产品的伸缩率有显著提高。18.在△ABC中，已知BAC120，AB2，AC1.[1]求sinABC；[2]若D为BC上一点，且BAD90，求△ADC的面积。213答案：[1][2]141019.如图，在三棱锥PABC中，ABBC，，BC22，PBPC6，BP，AP，BC的中点分别为D，E，O，AD5DO，点F在AC上，BFAO。[1]证明：EF//平面ADO；[2]证明：平面ADO平面BEF；[3]求二面角DAOC的正弦值。答案：2[1]证明：略[2]证明：略[3]2yx22520.已知椭圆C：10ab的离心率为，点A2,0在C上。ab223[1]求C的方程；[2]过点2,3的直线交C于点P，Q两点，直线AP，AQ与y轴的交点分别为M，N，证明：线段MN的中点为定点。答案：yx22[1]1[2]证明：略94121.已知函数f(x)aln(1x).x[1]当a1时，求曲线yfx在点1,f1处的切线方程；1[2]是否存在a，b，使得曲线yf关于直线xb对称，若存在，求a，b的值，若不存x在，说明理由.[3]若fx在0,存在极值，求a的取值范围.答案：[1]ln2xyln2011[2]存在ab,满足题意221[3]0,2（二）选做题22.【选修4-4】在直角坐标系xOy中，以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标ππx2cos系，曲线C1的极坐标方程为2sin，曲线C2：（为参数，）.42y2sin2[1]写出的直角坐标方程；[2]若直线yxm既与没有公共点，也与没有公共点，求m的取值范围。答案：[1]x2y121,x0,1,y1,2[2],022,23.【选修4-5】已知fx22xx。[1]求不等式fx6x的解集；f()xy[2]在直角坐标系xOy中，求不等式组所确定的平面区域的面积。xy60答案：[1][2,2][2]6高考全国乙卷：《理科数学》2022年考试真题与答案解析一、选择题本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．设全集U{1,2,3,4,5}，集合M满足ðUM{1,3}，则（）A．2MB．3MC．4MD．5M答案：A2．已知z12i，且zazb0，其中a，b为实数，则（）A．ab1,2B．ab1,2C．ab1,2D．ab1,2答案：A3．已知向量ab,满足|a|1,||b3,|a2|3b，则ab（）A．2B．1C．1D．2答案：C4．嫦娥二号卫星在完成探月任务后，继续进行深空探测，成为我国第一颗环绕太阳飞行的人1造行星，为研究嫦娥二号绕日周期与地球绕日周期的比值，用到数列bn：b11，111b1，b1，…，依此类推，其中N(k1,2,)．则（）2131k111223A．bb15B．bb38C．bb62D．bb47答案：D5．设F为抛物线C:4y2x的焦点，点A在C上，点B(3,0)，若|AF||BF|，则||AB（）A．2B．22C．3D．32答案：B6．执行下边的程序框图，输出的n（）A．3B．4C．5D．6答案：B7．在正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F分别为AB,BC的中点，则（）A．平面B1EF平面BDD1B．平面B1EF平面A1BDC．平面B1EF∥平面A1ACD．平面B1EF∥平面ACD11答案：A8．已知等比数列an的前3项和为168，aa2542，则a6（）A．14B．12C．6D．3答案：D9．已知球O的半径为1，四棱锥的顶点为O，底面的四个顶点均在球O的球面上，则当该四棱锥的体积最大时，其高为（）1A．31B．23C．32D．2答案：C10．某棋手与甲、乙、丙三位棋手各比赛一盘，各盘比赛结果相互独立．已知该棋手与甲、乙、丙比赛获胜的概率分别为p1,,p2p3，且p3p2p10．记该棋手连胜两盘的概率为p，则（）A．p与该棋手和甲、乙、丙的此赛次序无关B．该棋手在第二盘与甲比赛，p最大C．该棋手在第二盘与乙比赛，p最大D．该棋手在第二盘与丙比赛，p最大答案：C11．双曲线C的两个焦点为FF12,，以C的实轴为直径的圆记为D，过F1作D的切线与C交3于M，N两点，且cosFNF，则C的离心率为（）1255A．23B．213C．217D．2答案：C12．已知函数f(x),g(x)的定义域均为R，且f()xg(2x)5,()gxf(x4)7．若yg()x22的图像关于直线x2对称，g(2)4，则fk()（）k1A．21B．22C．23D．24答案：D二、填空题13．从甲、乙等5名同学中随机选3名参加社区服务工作，则甲、乙都入选的概率为_______．答案：31014．过四点(0,0),(4,0),(1,1),(4,2)中的三点的一个圆的方程为_______．答案：(x−2)2+(y−3)2=13（答案不唯一）315．记函数f(x)cos(x)(0,0)的最小正周期为T，若fT()，x为fx()29的零点，则的最小值为_______．答案：3x216．己知xx1和xx2分别是函数f(x)2aex（a0且a1）的极小值点和极大值点．若xx12，则a的取值范围是_______．1答案：(0，)e三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17﹣21题为必考题，每题12分，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，每题10分，考生根据要求作答。（一）必考题17．记△ABC的内角ABC,,的对边分别为a,,bc，已知sinCABBCAsin()sinsin()．[1]证明：2a2b2c2；25[2]若aA5,cos，求的周长。31答案：[1]已知sinC·sin(A﹣B)=sinB·sin(C﹣A)化简得：SinC·SinA·cosB﹣SinC·cosA·sinB=SinB·SinC·cosA﹣SinB·cosC·sinA由正弦定理可得：ac·cosB﹣bc·cosA=bc·cosA﹣ab·cosC即ac·cosB=2bc·cosA﹣ab·cosC由余弦定理可得：a2+c2−b2b2+c2−a2a2+b2−c2ac=2bc−ab，即证：2a2=b2+c22ac2bc2ab[2]由[1]可知；b2+c2−a250−2525b2+c2=2a2=50，cosA===2bc2bc31所以2bc=31因为b2+c2+2bc=(b+c)2=81所以b+c=9，a+b+c=14。所以△ABC的周长为14。18．如图，四面体ABCD中，ADCD,,ADCDADBBDC，E为AC的中点。[1]证明：平面BED平面ACD；[2]设ABBD2,ACB60，点F在BD上，当△AFC的面积最小时，求CF与平面ABD所成的角的正弦值。答案：[1]因为AD=CD，∠ADB=∠BDC且BD为公共边所以△ADB与△BDC全等，有AB=BC因为E是AC中点，且AD=CD所以DE⊥AC同理EB⊥AC又因为DE∩BE=E，且均内含于平面BED所以AC⊥平面BED又因为AC⊂平面ACD所以平面BED⊥平面ACD。[2]在△ABC中，AB=2，∠ACB=60°，AB=BC所以AC=2，BE=√3在△ACD中，AD⊥CD，AD=CD，AC=2，E为AC中点所以DE⊥AC，DE=1又因为DE=2所以DE2+BE2=BD2，即DE⊥BE所以直线AC、ED和EB两两相互垂直由点F在BD上，且△ADB与△BDC全等所以AF=FC由于E为AC中点所以EF⊥AC当△AFC的面积最小时，EF⊥BD在Rt△DEB中，因为BE=√3，DE=1所以EF=√3，BF=322如上图所示，以点E位坐标原点，直线AC、EB、ED分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系√33C(﹣1,0,0)、A(1,0,0)、B(0,√3,0)、D(0,0,1)、F(0,,)44BD⃗⃗⃗⃗⃗=(0,−√3,1)，AD⃗⃗⃗⃗⃗=(﹣1,0,1)，⃗BC⃗⃗⃗⃗=(﹣1,−√3,0)333因为CF⃗⃗⃗⃗=BF⃗⃗⃗⃗−⃗B⃗⃗⃗⃗C=BD⃗⃗⃗⃗⃗−⃗BC⃗⃗⃗⃗=(1,√,)444设平面ABD的法向量为m⃗⃗⃗=(x,y,z)BD⃗⃗⃗⃗⃗·m⃗⃗⃗=0可得{，设y=1，所以m⃗⃗⃗=(√3,1,√3)AD⃗⃗⃗⃗⃗·m⃗⃗⃗=0设m⃗⃗⃗与CF⃗⃗⃗⃗所成的角为α，CF与平面ABD所成的角为θm⃗⃗⃗∙CF⃗⃗⃗⃗⃗43得sinθ=|cosα|=||=√|m⃗⃗⃗|∙|CF|7所以，CF与平面ABD所成的角的正弦值为4√3。719．某地经过多年的环境治理，已将荒山改造成了绿水青山．为估计一林区某种树木的总材积量，随机选取了10棵这种树木，测量每棵树的根部横截面积（单位：m2）和材积量（单位：m3），得到如下数据：样本号i12345678910总和根部横截面积xi0.040.060.040.080.080.050.050.070.070.060.6材积量yi0.250.400.220.540.510.340.360.460.420.403.910101022并计算得xi0.038,yi1.6158,xiyi0.2474．i=1i=1i=1[1]估计该林区这种树木平均一棵的根部横截面积与平均一棵的材积量；[2]求该林区这种树木的根部横截面积与材积量的样本相关系数（精确到0.01）；[3]现测量了该林区所有这种树木的根部横截面积，并得到所有这种树木的根部横截面积总和为186m2．已知树木的材积量与其根部横截面积近似成正比．利用以上数据给出该林区这种树木的总材积量的估计值．n(xix)(yiy)附：相关系数ri=1,1.8961.377．nn22()xiix()yyii=1=1答案：[1]设这种树木平均一棵的根部横截面积为x̅，平均一个的材积量为y̅，则0.6x̅==0.06103.9y̅==0.3910∑nxy−nx̅y̅[2]r=i=1ii=0.97n22n22√(∑i=1xi−nx̅)(∑i=1yi−ny̅)[3]设从根部面积总和为X，总材积量为YXx̅则=Yy̅3.9故Y=×186=1209（m3）。0.6320．已知椭圆E的中心为坐标原点，对称轴为x轴、y轴，且过AB0,2,,1两点。2[1]求E的方程；[2]设过点P1,2的直线交E于M，N两点，过M且平行于x轴的直线与线段AB交于点T，点H满足MTTH．证明：直线HN过定点。答案：x2y2[1]设E的方程为+=1a2b24=1b2将A、B两点代入得：{91+=14a2b2解得a2=3，b2=4x2y2故E的方程为：+=1。342[2]由点A、B，可得直线AB：y=x−23①若过P(1,2)的直线的斜率不存在，直线为x=1x2y22626代入+=1，可得M(1,√)、N(1,﹣√)34332√622√6将y=代入AB：y=x−2，可得T(√6+3,)。3332√6由MT⃗⃗⃗⃗⃗⃗=TH⃗⃗⃗⃗⃗，得H(2√6+5,)326故直线HN为：y=(2−√)x−2，过点(0,2)。3②若过P(1,﹣2)的直线的斜率存在，设kx－y－(k+2)=0，M(x1,y1)，N(x2,y2)kx－y－(k+2)=0联立{x2y2+=134得(3k2+4)x2﹣6k(2+k)x+3k(k+4)=0−8(2+k)6k(2+k)y+y=x1+x2=2122−24k故有{3k+4，{3k+4，且xy+xy=（*）3k(4+k)4(4+4k−2k2)12213k2+4x1·x2=y·y=3k2+4123k2+4y=y13y联立{2，可得T(1+3，y)，H(3y+6﹣x，y)y=x−2211113y1−y2解得HN：y−y2=(x−x2)3y1+6−x1−x2将（*）代入，得24k+12k2+96+48k﹣24k﹣48﹣48k+24k2﹣36k2﹣48=0显然成立综上，可得直线HN过定点(0,﹣2)。21．已知函数fxln1xaxex.[1]当a1时，求曲线yfx在点0,f0处的切线方程；[2]若fx在区间1,0,0,各恰有一个零点，求a的取值范围．答案：[1]y=2x；[2]a＜﹣1。解析过程：略。（二）选考题22.[选修4-4：坐标系与参数方程]xt3cos2,在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（t为参数）．以坐标原点为极点，yt2sinx轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知直线l的极坐标方程为sinm0．3[1]写出l的直角坐标方程；[2]若l与C有公共点，求m的取值范围。答案：π[1]由ρsin(θ+)+m=0可得3ππρ(sinθcos+cosθsin)+m=033即ρ(1sinθ+√3cosθ)+m=0，1y+√3x+m=02222故I的方程为：√3x+y+2m=0。[2]因为x=√3cos2ty2√3得x=√3(1−2sin2t)=√3[1−2()]=√3−y222√3x=√3−y2联立{2，得3y2﹣2y﹣4m﹣6=0√3x+y+2m=04m即3y2﹣2y﹣6=4m(﹣2≤y≤2)，−3≤≤6√3195可得−≤m≤122195所以m的取值范围为−≤m≤。12223.[选修4-5：不等式选讲]333已知a，b，c都是正数，且abc2221，证明：1[1]abc；9abc1[2]。bcacab2abc答案：[1]因为a、b、c是正数33333332−所以a2+b2+c2≥3√a2b2c2=3√abc，当且仅当a=b=c=33时取等号1所以3√abc≤1，即abc≤9证毕。abc1[2]要证++≤成立b+ca+ca+b2√abc333a2bcb2acc2ab1只需证√+√+√≤b+ca+ca+b22−因为b+c≥2√bc，a+c≥2√ac，a+b≥2√ab，当且仅当a=b=c=33时，同时取等333333333a2bc+b2ac+c2aba2bcb2acc2aba2+b2+c21所以√√√≤√+√+√==b+c2√bc2√ac2√ab22证毕。高考全国乙卷：《理科数学》2021年考试真题与答案解析一、选择题本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1.设2(z+z̅)+3(z﹣z̅)=4+6i，则z=().A、1﹣2iB、1+2iC、1+iD、1﹣i答案：C2.已知集合S=｛s|s=2n+1，n∈Z｝，T=｛t|t=4n+1，n∈Z｝，则S∩T=()A、∅B、SC、TD、Z答案：C3.已知命题p：∃x∈R，sinx＜1；命题q：∀x∈R，e|x|≥1，则下列命题中为真命题的是()A、p∧qB、¬p∧qC、p∧¬qD、¬(pVq)答案：A4.设函数f(x)=1−x，则下列函数中为奇函数的是()1+xA、f(x﹣1)﹣1B、f(x﹣1)+1C、f(x+1)﹣1D、f(x+1)+1答案：B5.在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，P为B1D1的中点，则直线PB与AD1所成的角为()A、π/2B、π/3C、π/4D、π/6答案：D6.将5名北京冬奥会志愿者分配到花样滑冰、短道速滑、冰球和冰壶4个项目进行培训，每名志愿者只分到1个项目，每个项目至少分配1名志愿者，则不同的分配 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共有()A、60种B、120种C、240种D、480种答案：C7.把函数y=f(x)图象上所有点的横坐标缩短到原来的0.5倍，纵坐标不变，再把所得曲线向右平移π/3个单位长度，得到函数y=sin(x﹣π)的图像，则f(x)=()4x7πA、sin(−)212xπB、sin(+)2127πC、sin(2x−)12πD、sin(2x+)12答案：B8.在区间(0，1)与(1，2)中各随机取1个数，则两数之和大于7/4的概率为()A、7/4B、23/32C、9/32D、2/9答案：B9.魏晋时期刘徽撰写的《海岛算经》是关于测量的数学著作，其中第一题是测量海盗的高。如图，点E，H，G在水平线AC上，DE和FG是两个垂直于水平面且等高的测量标杆的高度，称为“表高”，EG称为“表距”，GC和EH都称为“表目距”，GC与EH的差称为“表目距的差”。则海岛的高AB=().A、表高×表距÷表目距的差＋表高B、表高×表距÷表目距的差﹣表高C、表高×表距÷表目距的差＋表距D、表高×表距÷表目距的差﹣表距答案：A10.设a≠0，若x=a为函数f(x)=a(x−a)2(x−b)的极大值点，则().A、a＜bB、a＞bC、ab＜a2D、ab＞a2答案：Dx2y211.设B是椭圆C：+=1(a＞b＞0)的上顶点，若C上的任意一点P都满足|PB|≤2b，则a2b2C的离心率的取值范围是().2A、[√,1)21B、[,1)22C、(0,√]21D、(0,]2答案：C12.设a=2ln1.01，b=ln1.02，c=√1.04−1，则().A、a＜b＜cB、b＜c＜aC、b＜a＜cD、c＜a＜b答案：B二、填空题x213.已知双曲线C：−y2=1(m>0)的一条渐近线为√3x+my=0，则C的焦距为______。m答案：414.已知向量a=(1，3)，b=(3，4)，若(a﹣λb)⊥b，则λ=______。答案：3/515.记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，面积为√3，B=60°，a2+c2=3ac，则b=______.答案：2√216.以图①为正视图和俯视图，在图②③④⑤中选两个分别作为侧视图和俯视图，组成某个三棱锥的三视图，则所选侧视图和俯视图的编号依次为______。(写出符合要求的一组答案即可)答案：②⑤或③④三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17﹣21题为必考题，每题12分，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，每题10分，考生根据要求作答。(一)必考题17.某厂研究了一种生产高精产品的设备，为检验新设备生产产品的某项指标有无提高，用一台旧设备和一台新设备各生产了10件产品，得到各件产品该项指标数据如下：旧设备9.810.310.010.29.99.810.010.110.29.7新设备10.110.410.110.010.110.310.610.510.410.522旧设备和新设备生产产品的该项指标的样本平均数分别记为x̅和y̅，样本方差分别记为s1和s222(1)求x̅，y̅，s1，s2；s2+s2(2)判断新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备是否有显著提高(如果y̅﹣x̅≥2√12，则认2为新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备有显著提高，否则不认为有显著提高).答案：(1)各项所求值如下所示1x̅=(9.8+10.3+10.0+10.2+9.9+9.8+10.0+10.1+10.2+9.7)=10.0101y̅=(10.1+10.4+10.1+10.0+10.1+10.3+10.6+10.5+10.4+10.5)=10.3101s2=x[(9.7﹣10.0)2+2x(9.8﹣10.0)2+(9.9﹣10.0)2+2X(10.0﹣10.0)2+(10.1﹣10.0)2+2x(10.2﹣11010.0)2+(10.3﹣10.0)2]=0.31s2=x[(10.0﹣10.3)2+3x(10.1﹣10.3)2+(10.3﹣10.3)2+2x(10.4﹣10.3)2+2x(10.5﹣21010.3)2+(10.6﹣10.3)2]=0.4。s2+s2(2)由(1)中数据得y̅﹣x̅=0.3，2√12≈0.3410s2+s2显然y̅﹣x̅＜2√12，所以不认为新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备有显著提高。1018.如图，四棱锥P﹣ABCD的底面是矩形，PD⊥底面ABCD，PD=DC=1，M为BC的中点，且PB⊥AM。[1]求BC；[2]求二面角A﹣PM﹣B的正弦值。答案：(1)因为PD⊥平面ABCD，且矩形ABCD中，AD⊥DC，所以以DA⃗⃗⃗⃗⃗，DC⃗⃗⃗⃗⃗，DP⃗⃗⃗⃗⃗分别为x，y，z轴正方向，D为原点建立空间直角坐标系D﹣xyz。设BC=t，A(t,0,0)，B(t,1,0)，M(t,1,0)，P(0,0,1)21所以PB⃗⃗⃗⃗⃗=(t,1,﹣1)，AM⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(−,1,0)2因为PB⊥AMt2所以PB⃗⃗⃗⃗⃗•A⃗⃗⃗⃗M⃗⃗=﹣+1=0，所以t=√2，所以BC=√2。2(2)设平面APM的一个法向量为m=(x,y,z)，由于AP⃗⃗⃗⃗⃗=(﹣√2,0,1)，则퐦•AP⃗⃗⃗⃗⃗=−√2x+z=0{√2퐦•AM⃗⃗⃗⃗⃗⃗=−x+y=02令x=√2，得m=(√2,1,2)设平面PMB的一个法向量为n=(xt,yt,zt)，则퐧•CB⃗⃗⃗⃗⃗=√2xt=0{퐧•PB⃗⃗⃗⃗⃗=√2xt+yt−zt=0令yt=1，得n=(0,1,1)所以cos(m,n)=퐦•퐧=3=3√14，所以二面角A﹣PM﹣B的正弦值为√70。|퐦||퐧|√7╳√214142119.记Sn为数列{an}的前n项和，bn为数列{Sn}的前n项和，已知+=2.Snbn(1)证明：数列{bn}是等差数列；(2)求{an}的通项公式。答案：21bn(1)由已知+=2，则=Sn(n≥2)Snbnbn+12bn−1113⇒+=2⇒2bn﹣1+2=2bn⇒bn﹣bn﹣1=(n≥2)，b1=bnbn22故｛b｝是以3为首项，1为公差的等差数列。n2231n+222n+2(2)由(1)知bn=+(n﹣1)=，则+=2⇒Sn=222Snn+2n+1n=1时，a=S=3112n+2n+11n≥2时，a=S﹣S=﹣=−nnn﹣1n+1nn(n+1)3,n=12故an={1−,n≥2n(n+1)20.设函数f(x)=ln(a﹣x)，已知x=0是函数y=xf(x)的极值点。(1)求a；（）(2)设函数g(x)=x+fx，证明：g(x)＜1。xf（x）答案：(1)[xf(x)]´=x´f(x)+xf´(x)当x=0时，[xf(x)]´=f(0)=lna=0所以a=1。(2)由f(x)=ln(1﹣x)，得x＜1当0＜x＜1时，f(x)=ln(1﹣x)＜0，xf(x)＜0当x＜0时，f(x)=ln(1﹣x)＞0，xf(x)＜0故即证x+f(x)＞xf(x)，x+ln(1﹣x)﹣xln(1﹣x)＞0令1﹣x=t(t＞0且t≠1)，x=1﹣t，即证1﹣t+lnt﹣(1﹣t)lnt＞0令f(t)=1﹣t+lnt﹣(1﹣t)lnt则f´(t)=﹣1﹣1﹣[(﹣1)lnt+1−t]=﹣1+1+lnt﹣1−t=lnttttt所以f(t)在(0,1)上单调递减，在(1,+∞)上单调递增故f(t)＞f(1)=0得证。21.己知抛物线C：x2=2py(p＞0)的焦点为F，且F与圆M：x2+(y+4)2=1上点的距离的最小值为4.(1)求p；(2)若点P在M上，PA，PB是C的两条切线，A，B是切点，求ΔPAB的最大值.答案：PP(1)焦点F(0,)到x2+(y+4)2=1的最短距离为+3=4，所以p=2。221(2)抛物线y=x2，设A(x，y)，B(x，y)，P(x，y)，则41122001111l=y=x(x−χ)+y=xX−x2=xx−yPA211121412111l:y=xx−y，且x2=−y2−8y−15PB2220001y=xx−y,02101lPA，lPB都过点P(x0，y0)，则{1y=xx−y,0220211故l:y=xx−y，即y=xx−yAB0202001y=xx−y联立{200x2=4y22得x−2x0x+4y0=0，Δ=4x0−16y022x0222|x0−4y0|所以|AB|=√1+⋅√4x0−16y0=√4+x0⋅√x0−4y0，dP→AB=42√x0+43311221212所以S=|AB|⋅d=|x−4y|⋅√x−4y=(x−4y)2=(−y−12y−15)2△PAB2P→AB20000240200而y0∈[−5,−3]故当y0=﹣5时，S△PAB达到最大，最大值为20√5。(二)选考题22.［选修4一4：坐标系与参数方程］在直角坐标系xOy中，⊙C的圆心为C(2，1)，半径为1.(1)写出⊙C的一个参数方程；的极坐标方程化为直角坐标方程；(2)过点F(4，1)作⊙C的两条切线，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求这两条直线的极坐标方程。答案：x=2+cosθ(1)因为⊙C的圆心为(2，1)，半径为1.故⊙C的参数方程为{(θ为参数)。y=1+sinθ(2)设切线y=k(x﹣4)+1，即kx﹣y﹣4k+1=0，故|2k−1−4k+1|=1√1+k2即|2k|=√1+k2，4k2=1+k2解得k=±√3333故直线方程为y=√(x﹣4)+1，y=−√(x﹣4)+133√34√34故两条切线的极坐标方程为ρsinθ=cosθ﹣√3+1或ρsinθ=cosθ+√3+1。333323.[选修4一5：不等式选讲]已知函数f(x)=|x﹣a|+|x+3|.(1)当a=1时，求不等式f(x)≥6的解集；(2)若f(x)≥—a，求a的取值范围.答案：(l)a=1时，f(x)=|x﹣1|+|x+3|即求|x﹣1|+|x﹣3|≥6的解集当x≥1时，2x十2≥6，得x≥2当﹣3﹣a，而由绝对值的几何意义，即求x到a和﹣3距离的最小值.当x在a和﹣3之间时最小，此时f(x)最小值为|a+3|，即|a+3|＞﹣a.A≥﹣3时，2a+3>0，得a>﹣3；a<﹣3时，﹣a﹣3>﹣a，此时a不存在.2综上，a>﹣3。2