唐山市2020-2021学年度高三年级摸底考试数学试卷答案

数学参考答案第1页唐山市2020~2021学年度高三年级摸底考试数学参考答案一．选择题（单选）：1~4．BBCD5~8．DAAD二．选择题（不定项选）：9．CD10．ABC11．ABD12．BC三．填空题：13．214．015．x2＋(y－1)2＝216．10四．解答题：17．解：条件①，在△ABC中，由余弦定理可得2c×b2＋c2－a22bc＝b．…4分所以a＝c，又a＝2．从而S△ABC＝12acsinB＝2sinB，…8分所以B＝π2时，S△ABC取得最大值2．…10分条件②，在△ABC中，由正弦定理可得2sinB－sinA＝2sinCcosA．又sinB＝sin(A＋C)＝sinAcosC＋cosAsinC，所以2sinAcosC＋2cosAsinC－sinA＝2sinCcosA，从而2sinAcosC＝sinA，…4分因为sinA≠0，所以cosC＝12，可得C＝60°，即S△ABC＝34ab．…8分在△ABC中，由余弦定理可得c2＝a2＋b2－2abcosC＝a2＋b2－ab≥ab．所以a＝b＝2时，ab取得最大值4，故a＝b＝2时，S△ABC取得最大值3．…10分条件③，在△ABC中，由余弦定理可得c2＝a2＋b2－2abcosC＝(a＋b)2－2ab(1＋cosC)，又a＋b＝2c＝4，所以ab(1＋cosC)＝6．…4分因为a＋b≥2ab，所以ab≤4，等号当且仅当a＝b＝2时成立．从而1＋cosC≥32，即cosC≥12，所以0°＜C≤60°．…8分S△ABC＝12absinC，当a＝b＝2时，ab和sinC分别取得最大值4和32，因此a＝b＝2时，S△ABC取得最大值3．…10分18．解：（1）由an＋2＝3an＋1－2an－n＋1得an＋2－an＋1－(n＋1)＝2an＋1－2an－n＋1－(n＋1)＝2(an＋1－an－n)，又a2－a1－1＝1，所以{an＋1－an－n}是以1为首项，以2为公比的等比数列．…5分数学参考答案第2页（2）由（1）得an＋1－an－n＝2n－1，所以an＋1－an＝2n－1＋n，…7分所以n≥2时，(a2－a1)＋(a3－a2)＋(a4－a3)＋…＋(an－an－1)＝(20＋1)＋(21＋2)＋(22＋3)＋…＋(2n－2＋n－1)＝(20＋21＋22＋…＋2n－2)＋[1＋2＋3＋…＋(n－1)]＝2n－1－1＋n(n－1)2．…10分因此an－a1＝2n－1＋n(n－1)2－1，an＝2n－1＋n(n－1)2．当n＝1时，a1＝1也满足上式，故an＝2n－1＋n(n－1)2．…12分19．解：（1）连接BD，由题意可知△ABD是等边三角形，又E是AD的中点，所以BE⊥AD；由PD⊥底面ABCD，BE底面ABCD，所以PD⊥BE，且PD∩AD＝D，所以，BE⊥平面PAD，且BE平面PBE，所以平面PBE⊥平面PAD．…4分（2）由（1）可知，PB在平面PAD上的射影为PE，所以直线PB与平面PAD所成角为∠BPE＝45°．在Rt△BPE中，PE＝BE＝32AD＝3．所以，在Rt△DPE中，DE＝12AD＝1，PD＝PE2－DE2＝2．…6分以E为原点，EA→的方向为x轴正方向，EB→的方向为y轴正方向，|EA→|为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系E-xyz．由题设可得P(－1，0，2)，C(－2，3，0)，B(0，3，0)，所以EP→＝(－1，0，2)，EC→＝(－2，3，0)．…8分设m＝(x，y，z)是平面PEC的法向量，则EP→·m＝0，EC→·m＝0，得－x＋2z＝0，－2x＋3y＝0，可取m＝(1，23，12)．…10分由（1）知EB→＝(0，3，0)是平面PED的一个法向量，ABCDEPxyz数学参考答案第3页则cosEB→，m＝EB→·m|EB→||m|＝23417．所以二面角C-PE-D的余弦值为23417．…12分20．解：将田忌的三匹马按照上、中、下三等分别记为T1、T2、T3，齐威王的三匹马按照上、中、下三等分别记为W1、W2、W3，并且用马的记号 表 关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf 示该马上场比赛．（1）法一．在第一局比赛中，每一匹马上场的概率都是13，可以按照如下方式进行讨论：若齐威王派出的是W1，则田忌必然失败；若齐威王派出的是W2，则田忌只有派出T1才能胜利；若齐威王派出的是W3，则田忌派出T1或T2皆可胜利；设事件A＝“在第一局比赛中田忌胜利”，则A＝W2T1＋W3T1＋W3T2，则在第一局比赛中田忌胜利的概率是P(A)＝13×13＋13×13＋13×13＝13．…4分法二．设事件Ω＝“第一局双方参赛的马匹”，事件A＝“在第一局比赛中田忌胜利”，由题意得Ω＝{(T1W1)，(T1W2)，(T1W3)，(T2W1)，(T2W2)，(T2W3)，(T3W1)，(T3W2)，(T3W3)}，A＝{(T1W2)，(T1W3)，(T2W3)}，则在第一局比赛中田忌胜利的概率是P(A)＝39＝13．…4分（2）法一．设事件B＝“第一局齐威王派出场的是上等马，而田忌派出场的是下等马”，设事件C＝“田忌获得本场比赛胜利”．由于第一局失败，田忌第二局和第三局必须都胜利才能获得本场比赛胜利．依题设，田忌若第二局胜利，第三局必然胜利，因此，只考虑第二局的对阵情况即可，故C|B＝(W2|W1)(T1|T3)＋(W3|W1)(T2|T3)．则本场比赛田忌胜利的概率是P(C|B)＝12×12＋12×12＝12．…8分法二．设事件B＝“第一局齐威王派出场的是上等马，而田忌派出场的是下等马”，事件C＝“田忌获得本场比赛胜利”，由题意得B＝{(T3W1，T1W2，T2W3)，(T3W1，T1W3，T2W2)，(T3W1，T2W2，T1W3)，(T3W1，T2W3，T1W2)}，BC＝{(T3W1，T1W2，T2W3)，(T3W1，T2W3，T1W2)}，则本场比赛田忌胜利的概率是P(C|B)＝24＝12．…8分（3）16．…12分数学参考答案第4页21．解：（1）由题意得e2＝c2a2＝a2－b2a2＝23，整理得a2＝3b2，…2分由t＝0时，|AB|＝263得1a2＋23b2＝1…4分因此a＝3，b＝1．故E的方程是x23＋y2＝1．…5分（2）设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则D(3，y1)．将x＝ty＋1代入x23＋y2＝1得(t2＋3)y2＋2ty－2＝0，y1＋y2＝－2tt2＋3，y1·y2＝－2t2＋3，…7分从而ty1·y2＝y1＋y2．……①…8分直线BD：y＝y2－y1x2－3(x－3)＋y1，设直线BD与x轴的交点为(x0，0)，则y2－y1x2－3(x0－3)＋y1＝0，…10分所以x0＝y1(3－x2)y2－y1＋3＝y1(2－ty2)y2－y1＋3＝2y1－ty1y2y2－y1＋3，…11分将①式代入上式可得x0＝2．故直线BD过定点(2，0)．…12分22．解：（1）f(x)＝a－1x，x＞0，a＞0．所以0＜x＜1a时，f(x)＜0，f(x)单调递减；当x＞1a时，f(x)＞0，f(x)单调递增，因此f(x)的最小值为f(1a)＝1＋lna．…4分（2）令g(x)＝f(x)＋xe－ax－1，则g(x)＝a－1x－(ax－1)e－ax＝(ax－1)(eax－x)xeax．…5分由（1）得，当a＞1e时，f(1a)＞0，即ax－lnx＞0，所以eax＞x，…7分所以0＜x＜1a时，g(x)＜0，g(x)单调递减；x＞1a时，g(x)＞0，g(x)单调递增，所以g(x)的最小值为g(1a)＝lna＋1ea．…10分由（1）得a＝1e时，f(x)≥0，所以xe≥lnx，等号当且仅当x＝e时成立，所以当a＞1e，x＝1a时，有1ea＞ln1a＝－lna，即lna＋1ea＞0，所以g(x)＞0．故原不等式得证．…12分