三角函数问题的解题“口诀”

三角函数问题的解题“口诀” 三角函数问题的解题“口诀” 上海中学数学?2010年第11期 三角函数问题的解题"口诀" 210004江苏省南京市文枢中学张成斌 三角函数是中学学习的重要基本函数之 一 ,它和代数,几何,向量等有着密切的联系,是 研究其他部分知识的重要工具,在实际问题中 也有着广泛的应用.因而是商考对基础知识和 基本技能考查的重要内容之一.由于三角知识 中公式多,学生在解题时往往不知所措.教学中 笔者在要求学生记熟公式的基础上,将三角问 题解题归纳为两句话"一角,二名,三结构""两 个定理,两条路"的14字口诀,取到了较好的效 果. 1."一角,二名,三结构" " 一 角"是指分析题目中所涉及的角之间的 关系;"二名"是指分析题目中所涉及的三角函 数名,尽最使题中出现的三角函数越少越好; "三结构"是指题目中一部分结构类似某些三角 公式的结构特征. 例1计算:.CUSU 分析:从角分析题中涉及10.与2O.两个角, 两角什么关系,?20.一2×10.,用二倍角公式后 无法继续化简,?10.+2O.一30.,30.为特殊角, 是替换10.还是20.呢,显然是替换10.,因为只 需替换一处. 解: ~ — /3cos20~一 cos20 首项,以?为公比的等比数列..'.a一b一1.8× (专) (专).依题意,令一6,,<o.01,得 <..'旷1>g18f].由27<180< 2得,7<log2180<8,所以,>8. 即从第9个观测点开始,两股水流的含沙 量之差小于0.01kg/m.. 【点评】本题为数列,不等式型综合应用问 题,难点在于对题意的理解.本题的不等关系为 "两股河水的含沙量之差小于0.01kg/m"'.但 例2已知sin(一百7r)一1,求c.s(+ 2a)的值. 分析一:从角分析题中已知角为(.一詈), 所求角为(+2),这两角关系不很明显,但不 难看出2是n的2倍,于是想到(+2a)与(a 一 詈)的2倍会不会有关,注意到:(a--百lr)的2 倍(2"一号)加上(等+2a),于是问题解决? 解一:'.'sin(a一詈)一了1???c.s(2.一号)一l 一 2sin(一詈)一寺???c.s(等+2a)一c.s[+ (2a一号)]一c.s(2a一号)一一寺. 分析二:从角分析题中(a--詈)与c.s(等+ 2a)的关系很难找到,我们可借助换元法来找, 只需令(a一詈)一则—+詈,于是(等+ 2a)一+2(+要)一+2,问题解决.0 解二:令(一詈)—,则a—+詈,且sin 告.?.c.s(+2)—c.s[T2(-一,+吾)]=c.s 直接建构这样的不等关系较为困难.因此可考 虑数列{a一b),利用不等式解决问题.本题考 查提炼数学模并解决实际问题的能力. 参考文献: [1]教育部考试中心.2010年普通高等学校招 生全国统一考试大纲的说明(理科)[M].北 京:高等教育出版社,2O1O. [2]唐国庆.高中数学巧思精解专题训练[M]. 湖南教育出版社,1998. [3]赵思林.关于高考数学创新型试题的立意[J]. 中学数学教学参考(上半月),2009,1,2. 16上海中学数学?2010年第ll期 注意:当题目中的角的关系很难找到时,我 们可借助换元法来找. 例3已知tana一2,求:?;IllLu ?sin.口一sinacosa--2cos.. 分析:从函数名分析题?中的条件为正切, 而问题中涉及正弦和余弦且分子分母是关于正 弦,余弦的一次 表 关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf 达式,因为tana一,tana?Lu 0,...cosa?0将问题中的分子分母同时除以 c0s口得:些?!墼一tana%-1呈 Sl.na—COSfftana一12—1 从函数名分析题?问题中涉及正弦和余 弦,并且是关于正弦,余弦的二次表达式,但是 不能象题?那样同时除以COS.,否则会改变代 数式的值,怎么办呢?利用sina+COS.a一1,原 式可化为—sin—"a—--_sinaTco—sa--—ZC—OSta,再将分子分 母同时除以c.s2得:—tan~a-tanra--2 解略. 注意:例3中用到的的 方法 快递客服问题件处理详细方法山木方法pdf计算方法pdf华与华方法下载八字理论方法下载 通常称为齐次 化切. 例4已知c.s(号+)一i3,求宇击塞 的值. 分析:从函数名分析问题中涉及正弦和余弦 和正切三个函数,个数较多,想法减少,利用切化 弦,原式一 1+一sln2c.盯十siM COS./7 从角分析涉及两个角2和,都转化为得 coax(2sircvcosx+2sin2x)—— 2sinxcosx(cosx+— s — i— ta ———— r —— ) COSoT+sirrrcosz—卜sinx 一 2sinxcosx. 从结构分析符合二倍角正弦公式得结构特 征可化为sin2x,于是问题就转化为求sin2x了, 下面的解法同例2相同,留给读者解决. 解略. 注意:例4中用到的方法通常称为切化弦. 例5计算: 分析:有些学生拿到题后,很快地回答 tan15.一tan(45.一3O.),用两角差正切公式算出 tanl5.后再代入即可算出结果,方法虽然可行, 但是计算比较繁琐,学生往往忽略了题目的结 构特征,冷静思考不难发现此结构类似二倍角 正切公式结构特征,唯独分子上缺了个2,怎么 办呢?学生自然会想到: 2×1tan15一2tan3o.一, 一 2.„„ 变式:计算:??;?T1--Ftanz15~. (留给读者解决) 例6计算sin50.(1+J3-tanl0.). 解:原式一sin5..(1+)(从名:切化 弦) 一sin5o.()(从结构:符合 COSlU 辅助角公式特征) l cosl0+sin10. 一 2sin5O.(——— COS卜)上U in 一 垄(从角分析得:5o.+4..一 90.) 一 (从结构:符合二倍角公式 特征) 一 (从角分析得:80.+1o.一9o.) cosl0 cosl0.' 2."两个定理,两条路" "两个定理"是指正弦定理和余弦定理;"两 条路''是指解题时把角转化成边或把边转化成 角. 例7(2010江苏卷)在锐角三角形ABC, A,B,c的对边分别为n,6,c,b~ 扫 a 一 =6c.sc, 则+ 分析:题目条件是一个边角混合式,把它转 化为只含角的式子+一6c.sc, +一6c.sc,继续往下比较困难于是选 择化成边:鲁+一6c.sc6n6c.sc—n.+6z, 一 ? 一 一7—9 一 —0 一1 0 上海中学数学?2010年第ll期77 高中数学课堂的问题设计例谈 200023上海市五爱高级中学上海师范大学2008级教育硕士沈晓琳 在数学课堂教学中,教师精心设计问题,是 激发学生思维,促进学生获得新知识,培养学生 学习能力,并推动学生实现预期目标的重要途 径.因此如何设计好问题,以吸引学生参与其 中,进而带动课堂教学的有效开展,是一个值得 思考的问题. 一 ,设计激趣式问题,引发学生的学习动机 数学常被与枯燥的公式,繁琐的解题联系 在一起,因此学习数学常被认为是一件乏味的 事.然而,若能以一个兴致盎然的问题,引发学 生的兴趣和思考,或许可以完全调动起学生学 习的动力,并彻底改变对于数学的认识和学习 数学的态度. 【 案例 全员育人导师制案例信息技术应用案例心得信息技术教学案例综合实践活动案例我余额宝案例 1】在一次歌手大奖赛上,七位评委为 某歌于扣'出的分数如下:9.8,8.4,9.4,9.9, 9.6,9.4,9.7,去掉一个最高分和一个最低分, 所剩数据的平均值和方差分别为() (A)9.4,0.484(B)9.4,0.0l6 (C)9.5,0.04(D)9.5,0.016 这是一个生活中常见的问题,可以设问: 问题:为什么要去掉最高分和最低分? 通过比较保留端值分和去掉端值分的两种 不同计算结果,可以使学生认识到在保证公平 性的背后,反映的是平均值和方差的数学特征. 这是统计知识在生活中运用的典型事例,将学 到的知识用来解释和解决生活中遇到的一些现 由余弦定理得:6a6.—a2 _ + 『- b2-- 一 c2 一"+6,化简 得n.+6.一等.要求tanC+tanC,从函数名分 析,是一个只含有正切的式子,解三角形的两工 具为正余弦定理,于是想到切化弦;蔷+鲁 一— sinC .— co — sB— sim4+sinB— c— osA . 从结构分析符COSLS1nAS1n' 合二角和正弦公式特征得 . s . in( c ;? ,从 角分析得A+B一不一c.于是得1. 象和问题,对于学生而言,既是增加了内心的情 感体验,同时,也可以激发对于数学学习的热 情. 二,设计类比式问题,促进学生的知识迁移 学习的过程是把新知识纳入到旧知识系统 的认识过程.在每,节课的教学内容中,都贯穿 着由旧知识到新知识的演变.所以教师设计的 问题应能抓住新旧知识问的联系,通过提问铺 路搭桥,把学生的思维从对旧知识理解引导到 对新知识的学习. 【案例2】在等比数列的教学中,可借鉴等差 数列的已有公式进行推导.设计如下问题: 问题1:在等差数列中,有n一a,+(I"1l一") ,那么在等比数列中,项a与a的关系是否 有类似等式? 问题2:在等差数列中,当+一+q时, 有+n一a4-a,那么在等比数列中,这四项 的关系又有如何? 在等比数列通项公式知晓的情况下,学生 对于上述两个问题要解决的关系,可以进行白 行推导,并体验新知识的形成. 三,设计过程式问题,引导学生的思维生成 某些知识的教学或课堂问题的解决,不是 只凭一个问题能够单独解决的.教师在教学中, 有时需要把有待解决的知识或问题进行分解, ,从条件出发我们化简后得到一个只 含边的表达式,于是上式继续化成边I_去 .: . 将前面得到的.+一'——a~+b—2_c2?将日u向得剑的(22十b一一 2R2R 等代人得_一4.—c