变系数Leslie模型在污染环境下生存问题的研究

变系数Leslie模型在污染环境下生存问 题 快递公司问题件快递公司问题件货款处理关于圆的周长面积重点题型关于解方程组的题及答案关于南海问题 的研究 变系数Leslie模型在污染环境下生存问题的 研究 第16卷第3期 2006年6月 长春大学 JOURNALOFCHANGCHUNUN?ERSrI Vo1.16No.3 June2006 文章编号:1009—3907(2006)03—0001—07 变系数Leslie模型在污染环境下 生存问题的研究 高海音,郭珊珊 (长春大学理学院,吉林长春130022) 摘要:研究了具有变系数Leslie模型在环境污染下种群的生存问题.利用微分方程的定性理论 及比较定理,给出了种群弱持续生存和灭绝的条件. 关键词:Leslie系统;污染;毒素;弱持续生存;灭绝 中图分类号:0175.21文献标识码:A 0引言 随着当今世界经济的飞速发展,科技的日新月异,随之而来的环境污染问题也越日趋危急.由于生物种 群通常暴露在这种污染的环境中,从而致使毒素直接或间接地作用在生物种群上,因而使得研究毒素对生物 种群的影响就显得尤为重要,于是应运而产生了生态毒理动力学.它是一种用动力学的方法建立数学模型 进行研究的学科,开始于20世纪80年代.一些学者把环境污染对种群影响的数学模型做了一系列的推广, 总结 初级经济法重点总结下载党员个人总结TXt高中句型全总结.doc高中句型全总结.doc理论力学知识点总结pdf 出许多有意义的结论,但有些也隐含着不完善性.本文在文献[1][2]基础上,充分考虑到由于种群死 亡,生物体内毒素回归环境,对环境毒素浓度的影响,建立了在环境污染下具有变系数的Leslie型模,给出了 种群弱持续生存和灭绝的条件. 1模型的建立 假设某生物种群生存在一给定的空间,种群个体不区分大小,密度均匀分布,没有成员从此空间迁出和 迁入,在时间,,此种群在此空间内的全体成员数为(,),资源量为口(,),环境中毒素浓度为s.(,),生物体内 毒素浓度为c.(t),则推广的Leslie模型如下:? (P) dx = (,)[6(,)一d(,)一r,(,)c.(,)一n(,)(,)/口(,)], =t)-f(,)n?), dc0 d, dc. d, = k(t)c.(,)一[g(t)+m(t)+b(t)一n(t)x(t)/a(t)]c.(t), =一 kl(t)c.(,)(t)+[gl(t)一d(t)+rl(t)]co(t)x(t)一h(t)c.(,)+u(t). (1) (2) (3) (4) 设毒素致死量为D,则co(,)<D.系统初值为(0)=o>0,口(0)=口o>0,0? co(0)<1,0?c.(0)<1. 方程(1)表示生物种群(,)数量变化,其中6(,),d(,),r(,),n(,)均为[0,+.o]上非负连续有界函 数,6(,),d(,)分别表示t时刻种群的出生率和死亡率.rI(,)c.(,)表示t时刻种群个体体内毒素浓度对种群 收稿日期:2006—04—12 基金项目:吉林省教育厅科研项目(2006211) 作者简介:高海音(1961一),女,吉林省长春市人,长春大学理学院副教授,博士,主要从事微分方程及应用的研究. 2长春大学第l6卷 规模的影响,n(t)(t)/a(t)表示t时刻资源的存在与环境容纳量对种群规模的影响. 方程(2)表示资源量的变化.其中,(t),Z(t)均为[0,+?]上非负连续有界函数,f(t)表示资源的自然 增长率,Z(t)口(t)表示t时刻种群对资源量的影响. 方程(3)表示种群个体体内毒素浓度的变化.k(t),g(t),m(t)亦为定义于[0,+?)上非负连续有界函 数,式中第一项表示t时刻个体对环境中毒素浓度的吸收率,第二项表示个体自身解毒能力.其中g(t)c.(t) 表示t时刻个体体内毒素的排泄率,m(t)c.(t)是由于新陈代谢等因素个体体内毒素浓度的净化率. 方程(4)表示环境毒素浓度的变化.(t)为定义于[0,+?]非负连续有界函数,表示t时刻外界对环 境的毒素输入率.其余函数均为定义于[0,+?]上非负连续有界函数.第一项k(t)c..(t)(t)表示t时刻 生物体吸收环境毒素而减少的量.[g;(t)+d(t)+r(t)]c.(t)(t)是由于种群排泄和死亡等回归环境而 引起的,(t)C.(t)为环境自身毒素的损失率. 2主要结果 为方便说明,设(t)为[0,+?]上非负连续有界函数,且定义=maxx(t),XL=minx(t). rERrER 定义1若0<<liminf(t)<limsup(t)<<+?,则种群(t)一致持续生存. 定义2若limsup戈(t)>0,则种群弱持续生存. 定义3若limsup戈(t)=0,~llimx(t)=0,则种群(t)走向灭绝. 引理1对(P),区域D{(,口,c0,c.)Ix>0,口>0,c0>0,c.>0}是不变集. 证明显然(t)是(P)的解,只要.>0,就有(t)>0,t?O. I删=t)>0, .?0, lc|=olc0>0.=g1())+?+[)+rl()]c0?)>0. 所以(M)的轨线不能穿越区域D. 定理1若』Ds)<?,则系统不能一致持续生存. 证明若liminf(t)=>0,则3A>0,Vt?A,有 (t)>要, 所以当t?A时,由(2)有 口,(t)?t)一2, 即, 口,(f)+口(t)?t). 不等式左右两边同乘争 口,(t)争+争'口(t)?,(')争, 有 ,.(口(t)e)?厂(t)e ,(5) 又因为上s)<?,则对V>0,3t.>0,使 I.,(s)ds<詈, 第3期高海音,等:变系数/~sl/e模型在污染环境下生存问题的研究3 <詈0l,,'e' 将(5)式由t.到t积分,则t>M时,有 口(f).争?口(to ).譬+).譬, )?+e, ?+, <詈+詈=. 由方程(1)得 <(t)[n 口 L x ( ( ) t)'], 故当f_+?时,口(f),有 )X0e(bit-alL)(t-to)?e(bM-dL)(t-to) . 故 ?=-o, 这与假设iIlf(f)=矛盾,结论得证. 定理2对(P)'~l_+iminff(f)=t~,Co(f)<D,upu(f):,且<去,则种群I—?Ol—?r埘 田.'.''' (t)弱持续生存. 证明反证设sup(f)=0 因为? !iminff(f)=>0,?一oo 则对V?>0,3B?,Vf??lf)>譬,且由假设知(f)<El, 则由方程(2)知 ?口+譬一口一, 乎d(a-/3) ?(口一2E. z1只. —————— _二一?一1(口一.J=_).', . 考虑常微分方程d d r f=一?),,初值),(?1)=口(?1)一, 解此方程得 Y(t)=y(N1)e一-''一-. 由比较定理知,当f??l时,有 4长春大学第l6卷 当t?,且占.为一定值时 故3N2>N.,Vt>N2,有 .(t)一?(.(』,r.)一) Z占,Z占, e-sl(?? . )?(.(一fl--)e(1_?1)+砉, (.(』,r.)一).()--~0. Z占. I(.(?1)一fl--)e(1_?1)I<畚, 从而,当t??2B'-t,a(t)?.又由占.的任意性知,当t?时,.(t)?. 对于方程(4),m:]=!imsup,'(t)=,则V占>0,j?3>?2,当t??3 有 ,'(t)<占2+M, 且 [gl(t)+d(t)+rl(t)]C0(t)(t)?(gf+d+,)(t)<占2. 于是有 即 不等式左右两边同乘e 故 警? dee +. +?2占 (dee+htc,)e?(2占+)e, 将(7)式由?3t积分,并由比较定理得 不等式左右两边同乘e 当t+?,有 再由占任意性 (c.e)?(2e2+)e. c.e?c.(?3)e肛+ 3 e'hL(2占+)出, ...?..(?3).+(.一.). 凡 .(t)?..(?3).,+(1一.地'), 凡 limsupc,(.卜..?h一 由方程(2)及(8),对V占3>0,占3<,3?4 limsupC.(t)l—'? >N3,使t?肌 C.(t)?M+83 (6) (7) (8) 一 ?时 第3期高海音,等:变系数Leslie模型在污染环境下生存问题的研究5 ?. dco ?-(g)c0?, 一 (gt+mL+bL_63)[c0(z)_]. 由比较定理知,当t??4时 c.(t)?c.(,V)e一(+m,+6,一3)('一4)+|j}i;—:. 当f+?时,由3任意性可知 … limsupco(t)?- 4--4- . I—nImn—.J 由(6)及(9),对V>0,3N5>?4,t?N5时, . 且由(6) ?, 口(f)口(f),.4' 则由方程(1)知 dxbL _dM_ 告. 又由已知<及任意性, bL_dM>, 贝0可设=6一d肼一一>.. 于是当f?时,回到方程(1),有 ?[bL_du_一=豇. 当f+?时,(f)+?,这与假设矛盾,则定理得证. 定理3对(P),若』*厂()<?,liminf(f):?,J7,r>羔, 则种群(t)必走向灭绝. 证明由方程(2)知 ?厂(f),df )?s?",(s=M o, f?0. 由方程(1)知 警意)). (9) 6长春大学第16卷 由比较定理知 limu)?卜?n一 =Mx. 由已知liminf"(t)=N,则V1>O,N1,Vt>?1,有 (t)<Mx+1, "(t)<N一1. 由方程(4)知 c.?一M ., M+1c. 一 hMc.+^^,c+(?一1), =一 (|i}+|i}+hMc.+(?一). 于是有 ' +[cc(?1)一].e?. 当t一+..时,由任意性可知 liminfc, 南.?—??一,U『.L^一 则V2>O,2充分小,?2>?l,当t??时 . 由方程(3)知 -(g)c0, =一 (g+m+6)[c.一|i}__], Co(t)?[C0(N2)一kN一2 当t一+..时,由任意性可知 liminfC0(t)?kf—?? 则V3>O,3充分小,N3>N2,当t??3时有 C0(t)?k 此时考虑方程(1) ]e一(m('一?2'+后N一2 . ?一2 . ?一3 可而. 警?)[6一r, ?(t)[bM_dL_kL(N-83)rlL 而]. ~=aM_dL_kL(N-e3)r~ ,由已知条件 有 又知可选取适当,,使叼<O, ?>|i})(6一dL)(+m+bM) .———广————一, b一d<kL?r 可. 第3期高海音,等:变系数leslie模型在污染环境下生存问题的研究7 即 故种群灭绝,结论得证. 参考文献: 警?<o. 张镜,王克.Leslie系统在污染环境下有关生存问题的分析[J].生物数学,2006,待发表. 何泽荣,马知恩.污染环境中Leslie系统的生存分析[J].生物数学,1999,14(3):281—287. T.G.Hallam,C.E.Clark,R.R.Lassider,Effectsoftoxicantsonpopulations.Aqualitative.app roach1.Equilibriumenvironmen- talexposure[J].Eco1.Modelling,1983,8:291—304. 马知恩.种群生态学的数学建摸与研究[M].合肥:安徽教育出版社,1996:168—211. 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