坐标表示的焦半径公式

坐标 表 关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf 示的焦半径公式 圆锥曲线知识提要 一( 坐标表示的焦半径公式 1、 椭圆(一类) F1 =r1= c 由y=b?22b2x2a r1= ax +2cx+a2= =a+ex , P 同理， PF2 =r2= =?=a?ex 可以假想点P在y轴右边，r1>r2且x>0 帮助，显然总有r1+r2=2a符合椭圆定义。 公式常见应用: (1) 椭圆上点到焦点最远距离a+c,最近距离a-c (2) 椭圆上三点A x1,y1 ,B x2,y2 ,C x3,y3 ，若x1 ,x2 ,x3成等差数列，则到同一个焦点 的焦半径rA ,rB ,rC 也成等差数列。 (3) 定义直线 x=?c为椭圆a+b=1 的左右准线。 由焦半径公式，椭圆上任意一点 P(x,y) 到对应焦点和对应准线的距离之比 d1=d2=e 12a2x2y2rr总等于离心率e. 2. 双曲线?ax2y2b=1 b2x2 a PF1 =r1= 由y2= c?b2代入整理得 r1= ax +2cx+a2= = a+ex , 由双曲线上点 x ?a , 若点P在右支上，r1=ex+a . 同理，r2=ex?a .总有r1?r2 若点P在左支上，r1=ex?a . 同理，r2=ex+a .总有r2?r1公示的应用: (1)若双曲线上同一支上的三点A x1,y1 ,B x2,y2 ,C x3,y3 ，有x1 ,x2 ,x3成等差数列，则 它们到同一个焦点的焦半径rA ,rB ,rC 也成等差数列。 (2)定义直线 x=?c为双曲线a?b=1 的左右准线。 由焦半径公式，双曲线上任意一点 P(x,y) 到对应焦点和对应准线的距离之比 d1=d2=e 总等于离心率e. 12a2x2y2rr 3.抛物线 y2=2Px MF =r=x+ 2 公式的应用:抛物线上三点A x1,y1 ,B x2,y2 ,C x3,y3 ， 若x1+x3=2x2，则rA+rC=2rB 。 二( 1、 统一定义:平面上到定点F与定直线l 距离之比等于 常数e的点轨迹。若0<e<1,轨迹为椭圆。 若e=1，则轨迹为抛物线。 若e>1，则轨迹为双曲线。 p (2)公式:r=eP 对于椭圆，双曲线，eP=. 1?ecosθba e:离心率， (3)公式的应用: 焦点弦长公式 MN =rM+rN=eP 1?ecosθ?eP 1?ecos(θ+π)=2eP 1?e2cos2θ 说明: (1)焦点弦长公式中，方向角θ以平方形式出现， 不影响计算，可将方向角改为焦点弦和对称轴 夹角:θ?(0，]. 2π (2)有对称性θ(3)对于双曲线当1?e2cos2θ=0时，θ 所决定的焦点弦与渐 近线平行，在实际上不存在。 若θ 较小，使1?e2cos2θ<0 时，此时公式应 表为 MN = 个端点分在两支上。 (4)对于抛物线y2=2Px ，?e=1 , MN =2P 1?cos2θ2eP1?ecosθ ，此时焦点弦的两=2P 1?sin2θ 2P.θ 为焦点弦与对称轴夹角。 (5)通径:垂直对称轴的焦点弦称通径，在 MN =1?cosθ中，令θ=900，得通径的统一 表示2eP. 对于椭圆，双曲线: 2eP=2b2 a ;对于抛物线: 2eP=2P. (6)以上结论容易推广到二类圆锥曲线，比如x2=Ky 焦点弦与对称轴夹角θ ， 则有 MN =sinθ . 三(相交弦长公式 将直线y=Kx+d 代入椭圆b2x2+a2y2=a2b2 b2+a2K2 x2+2aKdx+a2d2?a2b2=0.若?=4a2b2 a2K2+b2?d2 >0 存在相交弦A x1,y1 ,B x2,y2 , AB = 1212= x1?x2 在 b2+a2K2 x2+2aKdx+a2d2?a2b2=0中，由求根公式 x1?x2 = b+aK K ， AB =b+aK 在具体问题，只要已知直线斜率和求得的代入后方程可直接写出相交弦长表达式，完全可以略去中间过程。 上面的观点对于双曲线，抛物线和直线产生的相交弦长也完全用类似的 方法 快递客服问题件处理详细方法山木方法pdf计算方法pdf华与华方法下载八字理论方法下载 推导。只是对于双曲线，直线不能与渐近线平行;对于抛物线，直线不能与对称轴平行。 圆锥曲线知识提要 四( 焦点三角形问题 对于椭圆和双曲线存在焦点三角形 对于焦点三角形问题，应注意两条: 一是用定义:椭圆:r1+r2=2a ;双曲线: r1?r2 =2a 。 二是用正余弦定理: (a>,>0) ，点P位其上一点，点P对F1,F2张 举例:已知椭圆a+b=1 ， 角 (即?F1PF2=θ) ，试求S?PF1F2的θ 表示式。 解:由余弦定理:4c2=r12+ r22?2r1r2cosθ= r1+r2 2?2r1r2?2r1r2cosθ =4a2?2r1r2 1+cosθ =4a2?2r1r2?2cos22 移项，消去4:r1r2cos22=a2?c2=b2 又 S?PF1F2=2r1r2sinθ=r1r2sin2?cos2=r1r2? 1 θ θ θcos22 θ θ x2 y2 ? θ2cos 2 sin =b2 说明:上面这个例子完全适用双曲线中的焦点三角形。 请你推导右面双曲线的图，若?F1PF2=θ，求S?PF1F2 。 五(其他有关知识点: 1. 椭圆中的基本Rt?OBF:BF=a,BO=b,FO=c . 令?BFO=θ,则cosθ==e. ac 可以通过三角函数对椭圆中的a,b,c,e进行相互转换。 比如:由e= 可推知2 θ=300 ，a=2b .椭圆的方程便可以假设为: 4b + b=1 2. 双曲线中的基本矩形: x2a2 ? y2b2 =?1称为是相互共轭两条双曲线，作 x=?a ,y=?b ,四条直线构成一个矩形，称作 是这两条双曲线的基本矩形(如图): 基本矩形的对角线定是这两条双曲线的渐近线。 基本矩形中Rt?OAD是 a2?b2=1的一个基本Rt?: OA=a ,AD=b, OD=c .令?DOA=θ,则θ就是其一条渐 x2 y2 圆锥曲线知识提要 近线的倾斜角。设斜率K，则tanθ=K . 由e= 知cosθ== 或e= a c e ca11cosθ 可以利用三角函数在双曲线的a,b,c,e,K之间进行过渡。 对于 x2a2 ? y2b2 =?1，则Rt?OBD是它的基本Rt?: OB =实半轴b， BD = 1 ?BOD=θ?，则e?=cosθ 。 虚半轴a, OD =c . 令 θ与θ?互余，在共轭双曲线之间e与e?有关系 + =1. ee3. 双曲线? ax2 y2b12 12 =m ,(m?0)渐近线 m>0为一类双曲线，m<0为二类双曲线，不论一类，二类，令m=0得到的两条直线定为双曲线的渐近线，具体运作时，移项，开方:a=b ?y=?ax 。这一结果可以使双曲线方程和它的渐近线方程，两者相互反馈。 例:已知双曲线以坐标轴为对称轴，一条渐近线的方程为y=?x，且过点(6，?4)。 43 x2 y2 b 试求该双曲线方程。 由y=?4x 可得3x+4y=0及3x?4y=0.于是9x2?16y2=K 。代入 6,?4 求K 得68? 9x2 16y2683 =1 . 4. 有关抛物线的知识点: (1)四类抛物线:y2=?2Px ,x2=?2Py 可以简化为两大类:y2=Kx ,x2=Ky . 焦点 4,0 , 0，4 ,准线x=?4 ,y=?4 。 (2)焦点弦端点坐标公式 如图，A x1,y1 ,B x2,y2 为y2=2Px 的焦点弦，则有: x1?x2= P24 K K K K y1y2=?P2 练习题:由焦点弦的一个端点B做准线x=?的垂线，2P 垂足E。证明:A,O,E三点共线。 的性质可以推广到其他类型的抛物线。 上面 x=? 2(3)抛物线上两点连线斜率公式 对于一类抛物线 y2=Kx 上两点A x1,y1 ,B x2,y2 ，KAB=y 关于圆锥曲线的切线 1. 椭圆 2P 1+y2 圆锥曲线知识提要 1) 若点P x1,y1 为椭圆a+b=1上一点，则椭圆过点P的切线方程为a1+同一 法证明:由 x12ax2y2 xx y1yb=1 + ) 知点P x1,y1 为椭圆与直线的公共点，若椭圆与直 y12b=1 (1 x22a线还有一个公共点Q x2,y2 ， 则 (1)+(2),2(3):即 x1?x2 2 a2 x12a+ y22b=1 (2) x1x2ax1x2a+ y1y2b=1 (3) + y12b+ x22a+ y22b?2 + y1y2b=1+1?2=0 + y1?y2 2 b2 =0，即P=Q ，直线与椭圆仅有一个公共点，故为切线。 2) 椭圆切线的一般表示 点P acosθ,bsinθ 为椭圆2+ a xcosθa x2 y2b2 =1上点的一般表示，代入上面的切点公式得 + ysinθb =1 . 此为椭圆切线的一般表示。 x2 y2 练习题:求椭圆9+16=1上点与直线距离的最大值。 设椭圆切线 xcosθ43 + ysinθ3 =1 ，令其斜率 3 π 5π4 K=?4?sinθ=?4 得θ=4，3) 切点弦直线 点P x0,y0 为椭圆+ ax2 y2bcosθ 。得dmax=6 =1 外一点，由P 两条切线PA，PB，切点A,B。直线AB称为切点弦直线。 容易证明点P x0,y0 的切点弦直线方程为设切点A x1,y1 ,B x2,y2 ，则 切线PA: a12+切线PB: x2xaxx y1yb2y2ybx0xa+ y0yb=1 。 =1，由切线过P x0,y0 ，则 x1x0a2x2x0a++ y1y0b2y2y0b=1 。 (2) + =1，由切线过P x0,y0 ，则+ y0yb由(1)，(2)，直线2. 双曲线 x0xa=1 过 A x1,y1 ,B x2,y2 。故为切点弦直线。 (1) 若点P x1,y1 为双曲线a?b=1上一点，则双曲线过点P的切线方程为a1? x0xa2 y0yb2 x2y2 xx y1yb=1 。 (2)若点P x0,y0 为双曲线拱形外一点，则由P可引双曲线的两条切线PA， PB，切点A,B，切点弦直线AB方程为 ? =1。 3. 抛物线 (1)若点P x1,y1 为抛物线y2=2Px上一点，则抛物线y2=2Px在点P x1,y1 处的切线方程为 y1y=P x1+x . 完全类似于椭圆时情形，用同一方法进行证明。 圆锥曲线知识提要 若抛物线方程为y2=Kx，其上一点P x1,y1 ，则点P处切线方程为 y1y=K x1+x 。 2 1 若抛物线方程为x2=Ky，其上一点P x1,y1 ，则点P处切线方程为 x1x=K y1+y 2 1 (2)若点P x0,y0 为抛物线y2=2Px拱形外一点，则由P可引抛物线y2=2Px的两条切线PA，PB，切点A,B，则切点弦AB所在直线方程为 y1y=P x1+x 。 练习题:(08山东理) M为y=?2P 上任意一点，MA,MB为 x2=2Py 求证:A,M,B三点横坐标成等差。 证明:设A x1,y1 ，由求导公式得过点A的抛物线切线为 x1x=P y1+y ,同理点B x2,y2 处切线为x2x=P y2+y 若这两条直线是由点M x0,?2P 所引的两切线， x1x0=P y1?2P ,x2x0=P y2?2P .这一结果表明直线 x0x=P y?2P 过点A x1,y1 ，点B x2,y2 ，故直线 x0x=P y?2P 即为直线AB ? 3. 圆 1) 若点P x1,y1 为圆 x2+y2=r2 上一点，则方程x1x+y1y=r 为圆在点P处的切线。 2) 若点P x1,y1 为圆 x?a 2+ y?b 2=r2 上一点，则方程 x1?a x?a + y1?b y?b =r2 为圆在点P处的切线。 3) 若点P x0,y0 为圆 x2+y2=r2或 x?a 2+ y?b 2=r2 上一点，则方程 x0x+y0y=r2或 x1?a x?a + y1?b y?b =r2为切点弦直线。 练习题: 1. 由P(3,4)向圆x2+y2=1引两条切线PA，PB，切点A,B，求?PAB外接圆方程。 解:由P(3,4)向圆x2+y2=1所引切点弦直线方程为3x+4y?1=0 方程x2+y2?1+λ 3x+4y?1 =0 为过A,B两点的圆系方程，代入P(3,4)， 24+λ?24=0，λ=?1 ，外接圆方程为x2+y2?3x?4y=0 . 2.(09山东)圆x+y=t 在椭圆8+ 2 2 2 x2 y24 =1内部，求t使圆x2+y2=t2上任意一点处的 切线与椭圆交于点A,B两点，都有OA?OB。 解:设 x1,y1 为圆x2+y2=t2上一点，此点切线为x0x+y0y=t2. 取y=得x1x2= t2y1 ? x1y1 x代入椭圆x2+2y2?8 =0得 2x12+y12 y1x2? 4t2x1y1x+ 2t4?8y12 y1=0， 2t4?8y122x12+y12 . t2x1 再将切线x0x+y0y=t2 写成x=得y1y2=2x 2t4?8x12 1+y1 ? y1x1 y ，代入椭圆得 2x12+y12 x12 y2? 2t2y1x12 y+ t4?8x122x12+y12 =0， . 8 由OA?OB知x1x2+y1y2=0，即3t4?8 x12+y12 =0得t=3. 5.有关切点弦直线的 统一结论: 在准线上任一点的切点弦直线必过对应的焦点。 圆锥曲线知识提要 1) 椭圆+ax2y2b=1，左准线x=?上一点 ?ca2a2c，y0 的切点弦直线?a2c?x a+y0by=1 . 代 入左焦点F1 ?c,0 ,方程成立。 对于双曲线，抛物线同样证明。 2) 抛物线y2=2Px准线上一点的切点弦直线，不仅过焦点，且两条切线垂直。 可以直接证明: 设过点M(?2,y0)的直线y?y0=K x+2 代入y2=2Px ，得一代入后方程:(请自己写结果) 由这一方程的?=0得一斜率为K的二次关系式，视为K的一元二次方程。由韦达定理K1K2=?1. 间接证明: 先证切点弦直线必过焦点，再由焦点弦端点坐标公式，证明所引的两条切线必定垂直。 关于圆锥曲线焦点弦一个有关角度的结论: 如图，AB为圆锥曲线任意一条焦点弦，点E 为准线和对称轴焦点(亦 AEF=?BEF证明:设点C,D为点B,A在准线上的射影，由称准点)，则定有? 圆锥 曲线统一定义:BF BCPP= CEAFAD=离心率e，即BFBCCEBCAD=BFAF 。 由BC?EF?AD有ED=FA ,故AD=ED， 即?BCE~?ADE,知?BEF=?AEF . 练习题:椭圆+4x2y23=1，过点P(4,0)做斜率K直线交椭圆于A,B两点，再过P做斜率 ,K 直线交椭圆于C，D两点。(如图) 求证:AB与CD交于定点。 证明:利用上面定理(要先证明引理) ?点P(4,0)为准点，设椭圆右焦点F。连接DF角椭圆 与A0，则A0FD为焦点弦。 ??A0PF=?CPF . 又由假设KPA=?KPC知?APF=?CPF。 ?A与A0同为椭圆上一点，?只能是A=A0 . 也即AD连线过右焦点F，同理，BC连线过右焦点F?AB与CD交于定点F 。