孔耦合自由电子激光振荡器的数值模拟方法

孔耦合自由电子激光振荡器的数值模拟方法 计 算 物 理 第 15 卷 第 3 期 Vol . 15 ,No . 3 C H IN ES E J O U RNAL O F COM PU TA T IONAL P H YS ICS 1998 年 5 月 May , 1998 孔耦合自由电子激光振荡器的数值模拟方法 王元璋 ( )北京应用物理与计算数学研究所 ,100088 摘 要 针对孔耦合波导自由电子激光振荡器腔内光场横向特性 ,应用有限元法于慢变光场方 程 ,并对输出腔镜上孔耦合过程加以较准确的描述 ,而后通过对数值结果的分析比较 ,说明这一模 拟方法较好地描述了孔耦合引起的腔内光场横向结构的变化发展特性 ,改善了模拟结果 。 关键词 孔耦合 自由电子激光振荡器 有限元法 中图分类号 TN24816 O242 0 引言 ( ) ( ) 中国工程物理研究院 CA EP的远红外自由电子激光器 F EL 装置的振荡器部分采用线 ( ) 极化平面磁极摇摆器 wiggler,使电子束在 y 方向上聚束 ,同时在 y 方向用波导约束光束 ,使 之与电子束形成良好叠合 ,并在两端以镶嵌在波导内的圆柱面腔镜形成光腔 ,在下游腔镜上开 () 孔输出激光 见图 1。目前孔输出方式已在国内外 F EL 装置上广泛采用 。这一技术具有物 理上和经济上的诸多优点 。 孔耦合 F EL 振荡器的数值模拟 ,国外目前多采 1 ,2 用谱方法,即利用有限个横模函数展开光场复 振幅的方法 。这一方法的弱点是当横向光场具有 较强的不光滑性甚至间断时有限个光滑的模函数 常无法加以准确的描述 。 图 1 波导 F EL 振荡器示意图 由于 CA EP 的 F EL 振荡器的结构特点 ,光场在 Fig. 1 The F EL oscilator 波导方向可采用谱方法以少量波导模展开 。在输 出腔镜上因输出孔的存在光场横向结构发生很强烈的变化 ,并出现不光滑性 。在数值模拟中 , 光场的这一特性应得到较好的描述 ,不然会影响数值结果 。我们将有限元法应用于慢变光场 方程 ,以适度提高数值解的精度和光滑性 ,并对输出腔镜上孔耦合过程加以较准确的描述 ,取 得了很好的效果 。本文首先介绍孔耦合波导 F EL 数值模拟中的有限元法和孔耦合的处理 ,而 后给出一些数值结果用以比较说明方法的效果 。 本文限于定态问 题 快递公司问题件快递公司问题件货款处理关于圆的周长面积重点题型关于解方程组的题及答案关于南海问题 ,不考虑电子束与光束之间滑移效应 。 1 孔耦合波导 FEL 数值模拟 :有限元法和腔镜光场逼近 CA EP 的 F EL 振荡器采用平面波导 ,柱面腔镜的结构 。本文着重讨论这一振荡器结构之 收稿日期 :1996212227 ;修回日期 :1997208211 王元璋 ,男 ,54 研究员 北京 8009 信箱 下光场方程的数值模拟问题 。虽然整个数值模拟包括光场方程组和与之相耦合的模拟电子方 程组 ,但这里对电子方程组的问题不作讨论 。 ( ) 对平面波导 F EL 振荡器 , 可在波导方向上利用波导模{ f y } 表示光场矢势中 x 方向的 n [ 3 ] 慢变复振幅, 其中 π n ( )co s , n 为奇 y b ( ) f y = n π n ( ) Esin 泛L 振 意图, n 为偶 采用 技术 99 y b 计 算 物 理 第 15 卷 310 ω ω ω ω (ψ) (ψψ)φω ω (,, ωω c 在波l i 上, C= ,利C用= li 3 4 ω ω ω ω ω ω ω ω (φφ)(ψφ)ω ω , , ω ω = , , D =li Dli 1 2 ω ω ω ω ω ω ω ω (φ(ψω ψ)ω ψ)ω ω D = , , D , lli = i , 3 4 ω ω ω ω ( ) 则 4易写成 ααβ2 k i C+ D( )? = , n = 1 , 2 , 5 n n n n 其中 T ) ( α= a , b,, a , , b, n n , 1 n , L - 1 n , L - 1 n , 1 T( ψ) ) β( ( φ) ( φ) ( ψ) , S , = S ,,, S ,, S ,, n L - 1 n n 1 n L - 1 n 1 φψ这里要指出 , 由于{} 和{} 的局部基性质 , C 的四个子矩阵实际上都是三对角阵 , 矩阵 D 亦 l l 然 , 而且容易证明 , C 和 D 都是对称阵 。 ( ) ( ) 常微分方程 5可选用适当格式求解 。考虑到 5具有一定的刚性 , 一般多采用隐式格式 , 例如用隐式中点格式 , 即有 - 1 k +1 k k +1 k k +1/ 2 βαα) ( ) (αα)(( )2 k i h C - + 1/ 2D + = ,6 n n n n n n 其解为 k +1 k - 1 - 1 k +1/ 2 k α(βα( ( ) )α)( )= + 2 k i h C + 1/ 2D - D 7 n n n n n ( ) 离散方程 6具有守恒性质 。这一点在物理上是有意义的 , 为此下面简单加以证明 。 X2 A 定义 p d x , = nn ? - X T (φ并记 < = , 1 ψ) φψ,, ,,, L - 1 L - 1 1 2 3 T αA α 显然 , = <<, nn n 这里 3 表示共轭转置 , T 表示转置 , 于是 3 ααp = C n n n k + 1 k 3 3 (αα) ( ) α( ) ( ) αα 取 ?= + / 2 , 对方程 6作 6- 6?? ,?n n n n n 有 - 1 3 k +1 k k +1 k 3 T(ααα) (α) α)(2 k i h C - + - aC ??n n n n n n 3 3 T33(αααααα) β β+ D? - D ? / 2 = - ? ???n n n n n n n n T T 由 C = C , D = D , 即得守恒关系 - 1 k +1 k 33( ) αβ βα2 k i h p- p= - , ?? n n n n n n n k + 1 k 特别在无源时 , 由 S ?0 , 得 , p= p. n n n 光场在腔镜上一般有边缘衍射损失 , 在输出镜上又有孔耦合 。在镜面上可建立入射光场 和反射光场间的连接关系 Δ( )iΔ( x ) r - ix mn , m n , m χ ( ( ) ( ) ζ ) x e , n = 1 , 2 ,A x , z e = - A x , zn m n m n n m 6n χ 这里下标 m 表腔镜 ,为腔镜反射系数 ,m Δ包括光场第 n 阶波导模在腔镜上的相位快变部分和其它修正 。 n , m m ζ( ) x 为腔镜上第 n 阶和第 n 阶波导模之间的耦合函数 , 它由孔缝形状和腔镜的反射 n n ( ) 特性确定 参阅 [ 4 ]。 在离散形式下 , 入射光场 A 在 x 方向由分片三次多项式表示 , 则镜面上反射光场为n Δ( ) Δ( ) r ix + ix ,m n , m n , m ψ( ) χ( φ( ( )ζ( )) ) + b( )x , z = - x x x eA 8 a n , ln , ll l n n n m m 6 6 n l r 若假设反射光场 A 仍以分片三次多项式逼近 ,n ( ) φ( ) ψ( ) ( )A x , z = a x + b x ,9 n m n , ll n , ll 6 l r 这里用 A 表示 A 的逼近形式 。n n ( ) 可有两种方法确定 9中诸节点的 a , b 。 n , l n , l ( ) 第一种方法是直接利用 8, 使在节点上满足 r ( ) ( ) A x , z = A x , z , n l m n l m d d r ( ) ( ) x , z = x , z l = 1 , 2 ,A , , L - 1 An l m n l m d x d x ( ) ( ) 从这 2 L - 1个方程 , 确定 2 L 21个 a , b 的值 。 n , l n , l ( ) ( ) ( ) 第二种方法是在弱形式下使 9满足 8。即使 9满足 r ( ( φ) φ ) A ,= A ,, n l n l r ( ψ) ( ψ) A ,= A ,, l = 1 , 2 , 1 L - n l n l ( ) 由这 2 L 21个方程可确定出所有节点的 a , b。 n , l n , l r 这里要指出 , 上述两种方法确定的光场节点值和导数值一般不能保证反射光场 A 及其 n 逼近形式 A 之间仍保持守恒性质 。不过 , 相对守恒误差常很小 。 n 2 数值结果比较 孔耦合 F EL 振荡器数值模拟的困难是输出孔引起的 。由于孔的存在 ,输出腔镜上光场横模因孔输出发生耦合转换 ,结果使得腔内光场的横向结构发生强烈变化 。并出现较尖锐的不 光滑性 。为此 ,将有限元法应用于光场方程 ,以适度提高离散解的收敛性和光滑性 。同时 ,对 腔镜上光场作适当的逼近以较准确地描述孔耦合过程 。数值实践表明 ,这一方法取得了很好 的结果 。 为了说明方法所取得的效果 ,下面以 CA EP 的 F EL 振荡器的一个 设计 领导形象设计圆作业设计ao工艺污水处理厂设计附属工程施工组织设计清扫机器人结构设计 模型为例 ,在完全 (() ) 相同的物理参数 表 1和计算条件 空间网格剖分 ,步长下 ,对用本文所述方法和用有限差分 () 法离散慢变波导光场方程 2所得数值结果进行分析比较 。为简单计 ,分别把这两个结果称为 F EM 和 FDM 。计算取三个波导模 。 计 算 物 理 第 15 卷 312 ( ) 1 从 物 理 上 讲 , 当 表 1 数值模拟所用参数 F EL 振 荡 器 的 腔 内 功 率 饱 Ta ble 1 Para meters of the model 和时 , 腔内光场横模结构变 电 子 束 摇 摆 器 光 腔 化趋于稳定 ,此时 ,腔内各阶 μγ 磁场 6000 G 光波长 m 504能量419658 波导模的分功率均趋饱和 , 116cm 138cm 电流 10A 周期 摇摆器腔长 腔镜曲率同时 , 从输出腔镜上输出的 821043cm 长度 48cm 半径 输出孔半功率也趋于稳定 。图 2 给出 径 波导间隙 011cm ( 了输出比率曲线比较 输出 015cm 比率为输出腔镜上输出功率 ) 占入射功率的比例。很明显 ,在饱和阶段 F EM 输出平缓并渐趋稳定 。而 FDM 输出虽然也 呈现一定的稳定趋势 ,但远未达到稳定 。图 3 给出三个波导模分功率随 pass 数的变化曲线比 () 较 光在光腔内往返一次称一个 pass。F EM 的第三阶波导模没有被激发 ,饱和时其分功率仅 占总功率的 1 %左右 ,而 FDM 的这一比例高达 815 % ,表明第三阶波导模已在一定程度上被 的分析结果相悖 。 激发 ,这与文 3 图 2 输出比率曲线 Outp ut ratio versus pass number Fig. 2 上述两个结果显示不同方法对系统整体量的影响 。 () 2孔耦合造成光场横向结构的强烈变化 ,并使之呈现较尖锐的不光滑性 。若把每次经腔 () () 镜反射的光场分布看成是方程 2新的初始条件 一个不光滑的初始条件,光场在其随后的发 () ( ) 展中依据方程 2求解 ,应该有适当的光滑性 。图 4 是作用前期 第 7pass和饱和阶段输出腔 ( 镜上反射后的波导基模强度分布比较 。这些分布图都是根据节点值用折线连接而成的 , ) F EM 结果并未按分片三次多项式绘图 。从图中 FDM 的结果可以看到孔耦合使数值模拟变 图 3 1,3 阶波导模分功率 Power of t he 1,3 order waveguide modes as a f unctio n of pass number Fig. 3 ) (() () 图 4 上作用前期 第 7pass和 下饱和期输出镜上反射光场 x 方向强度分布 () ( )Fig. 4 Op tical field intensity af ter hole coupling at t he 7t h pass lowerand power sat uratio n upper 计 算 物 理 第 15 卷 314 照 , F EM 更好地描述了腔内光场的性态 ,对光场光滑性和最终结果的改善是十分显著的 。 () 此外 ,对上节所述的腔镜反射光场 8的两种逼近方法 ,分别作了数值试验 。结果表明 ,在 相同条件下用弱形式逼近所得结果并不如节点逼近的结果好 。究其原因可能在于节点逼近更 好地保留了局部性态从而有利于形成稳定变化的光场横向结构 。这里要指出 ,由于每一 pass 腔镜反射光场的逼近情况关系到能否给出一个较好的“初始条件”,逼近方法在数值模拟中有 着重要的作用 ,不可轻视 。 3 结语 以往 F EL 振荡器的激光输出多采用腔镜均匀透射的方式 。在这种方式下腔内光场的横向结构比较简单 ,数值模拟中光场有相当光滑的横向分布形态 。孔耦合输出大大改变了腔内 光场的横向结构 ,在输出腔镜上横模之间发生耦合转换 。光场呈现变化剧烈且很不光滑的分 布形态 。这种特性要在数值模拟中很好地加以描述 ,否则某些横模有可能被人为地激发而得 到发展 ,影响数值结果 。本文通过分离波导模 ,适度提高光场的光滑性和较好地描述孔耦合引 起的腔镜上光场的变化 ,以期克服这种困难 。数值实践表明这些方法取得了很好的结果 。 参考文献 1 G H C van Wer khoven ,et al . N ucl I nst r A n d M et h ,1995 ,A358 :304 . 2 Huang Y C ,et al . N ucl I nst r A n d M et h , 1995 ,A358 :315 . 束小建 ,王元璋 . 强激光与粒子束 . 1997 ,9 :277 . 3 王元璋 ,束小建 . 波导自由电子激光振荡器光场横向结构特性 ,强激光与粒子束 ,1997 ,9 :501 . 4 THE NUM ERICAL M ETHOD OF SIM UL ATI NG THE HOL E2CO UPL I NG FEL OSCILL ATO R Wang Yuanzhang ( )T he I nst i t ute of A p pl ied Physics an d Com p ut at ion al M at hem at ics , Beiji n g 100088 ABSTRACT Since t he p resence of a out2coupling hole alters t he t ransverse st ruct ure of t he int ra2cavit y light in a F EL oscillator ,t he finite element met hod is used to t he op tical field equatio ns and a good p ro ximatio n is made for t he out2coupling p rocess in t he mirror , and t hen so me numerical result s are given. It is shown t hat t he feat ures of t he t ransverse st ruct ure of t he int ra2cavit y field are well described and t he numerical result s are significantly imp roved. KEY WO RDS hole2coupling ; F EL oscillator ; finite element met hod.