三余弦（正弦）定理的妙用三余弦定理（又叫最小角定理或爪子定理）（1）定理：设点A为平面a上一点，过A点的斜线在平面a上的射影为BO,BC为平面TOC\o"1-5"\h\za上的任意直线，那么ZABC,ZOBC,ZOBA三角患的余弦关系为：X/cosZABC=cosZOBC•cosZOBA/即斜线与平面一条直线夹角P的余弦值等于斜线与平面所成角a的余弦值乘以射影与平面内直线夹角°的L—、_/余弦值。COsP=COSOL-COS0（为了便于记忆，我们约定：8为斜线角，a为线面角，0为射影角）….cBCABBOBC（2）定理证明：如上图，、、OBC、AABC均为直角三角形，cosp=—,cosa=,cos0=，易知cosP=cosa-cos0，得证。ABBO（3）定理说明：这三个角中，角P是最大的，其余弦值最小，等于另外两个角的余弦值之积。斜线与平面所成角a是斜线与平面内所有直线所成的角中最小的角。三正弦定理（最大角定理）：（1）定理：设二面角M-AB-N的度数为Y，在平面M上有一条射线AC，它和棱AB所成的角为p，和平面N所成的角为a，则sina=sinp-siny为了便于记忆，我们约定：p为线棱角，a为线面角，y为二面角（2）定理证明：如图，CO±平面N，OB±AB，BC±AB，AOBC、AOAC、AABC…，•OCBC均为直角三角形，siny，sinp，BCAC-rOCACsina=，易得：sina=sinP-siny。（3）定理说明：由sina=sinP-siny且sinP<1知:sina
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第16题）如图，在侧棱垂直于底面的三棱柱ABC-ABC中，尸是棱BCh111的动点o记直线AP与平面ABC所成的角为,与直线BC所成的角为。2,则1,气的大小关系是（）A0B0>0C0<0D.不能确定121212【解析】：因为1是线面角，气是线线角，由最小角定理知"*2,又心是Y在底面的射影，故1〈％选C。例2.（2018年全国数学大联考试题第9题）已知二面角ot-Z-p是直二面角,Aea,Bep,设直线菌与a,0所成的角分别为叩则（）A.0+9=90。b0+0>90°c,O+0<90°d0+0<90°TOC\o"1-5"\h\z12121212【解析】：如图，过点A,8分别作/的垂线，分别交于点。，D,则AC1P,BD顼,AABC,/BAD=0,由最小角定理知:129SO得：tan0>tan0例4.（2017年浙江省数学高考调研试题第9题）如图，易知三棱锥D—ABC，记二面角C—AB—D的平面角是0，直线DA与平面ABC所成的角是01，直线DA与BC所成的角是0，则（）2A.0>0]B.0<0]C.0>02D.0<02【解析】：由最大角定理知:0>01，故选A。例5.（2014年浙江省高考理科试题第15题）如图，某人在垂直于水平地面ABC的墙面前的点A处进行射击训练。易知点A到墙面的距离为AB，某目标点P沿墙面上的射线CM移动，此人为了准确瞄准目标点P，需计算由点A观察点P的仰角0的大小。若AB=15cm，AC=25cm，ZBCM=30。，则tan0的最大值是仰角0为直线AP与平面ABC所成角）。5,的【解析】：记二面角M-AC-B为01，由最大角定理知:0<01，易求tan1=丁。例6.（2018年全国重点中学数学联考试题第8题）从点P出发的3条射线PA，PB，PC，每两条射线的夹角是60。，则直线PC与平面PAB所成角的余弦是.【解析】如图，在PC±取点。作D01.平面PA8,垂足为0,P0为PC的射影，则ZCPO是尸。与平面PA8所成角，由题意知：P0为4PA的交平分线，根据三余弦定理得：cosZCPA=cosZCPO-cosZOPA,即cos60°=cosZCPO-cos30°,故cosZCPO=*例7.（I理科试题第18题）如图，四边形ABCD为正方形，点E,F分别为AD，BC的中点，以DF为折痕把TOC\o"1-5"\h\zADFC折起，使点C到达点P的位置，且：\PF1BF。上套亍三（1）证明：平面PEF1平面ABFD；/大（2）求DP与平面ABFD所成角的正弦值。彳【解析】（1）略（2）作PH1EF，垂足为H，由（1）知：PH1平面ABFD，DE1PE。不妨设DP=2，33则DE=1，从而PE=v3，又PF=1，EF=2，故PE1PF。于是PH=--，EH=-，ED2、.13__故斜线角P=6。，射影角e=ZHDE，且cos6=E=亏。设DP与平面ABFD所13成角为a，则由三余弦定理知：cos以cos6=cosP=cos60°，从而cosa=一二，即43sina=——。4例8.（2018年全国数学高考卷II理科试题第20题）如图，在三棱锥P-ABC中，AB=BC=2、歹，PA=PB=PC=4，O为AC的中点。（1）证明：PO1平面ABC；（2）若点M在棱BC上，且二面角M—PA—C为30。，求PC与平面PAM所成角的正弦值。【解析】:证明：略由题意知：线棱角ZCPA=60°,二面角M-PA-C^j3Q°,由三正弦定理得:..,.J3sina—sm60sm30———。4例9.（2004年浙江省数学高考理科试题第12题）如图，在正三棱柱ABC-ABC中，已知AB=1,D在棱BB上，且1111BD=1,若AD与平面AACC所成的角为a，则a=（）11【解析】:由题易知：二面角D-AA1-C的大小为ABAC=60。，线棱角P=ZDAA^=45。，由三66正弦定理得：sina=sin60。sin45。=——，从而a=arcsin——。44例10.（1994年全国数学高考理科试题第23题）如图，已知ABC-ABC是正三棱柱，D111是AC的中点，若AB11BC1，求以BC1为棱、TOC\o"1-5"\h\zDBC与CBC为面的二面角的度数。11【解析】：取AC的中点E，连接AE，BE，1BEABC=H，则BE为AB在平面BBCC上的射影，从而BE1BC。设AB=2，11111111则BB=12，从而BD与平面BCC所成角a=ADBC=30。，线棱角P=ADBC，射111影角0=ZCBC，1八催3孟巨八.一因为cos6=，由三余弦定理知：cosP=cosacos0=—-^—-=—-，故P=45。。再由三正弦定理知：siny=^ina=W，所以y=45。。sinP2例11.（2017年全国数学高考卷II理科试题第19题）如图，在四棱锥P-ABCD中，侧面PAD为等边三角形且垂直于底面ABCD,AB=BC=^AD,ZBAD=ZABC=90°,E是PD的中点。（1）证明：直线CE//平面PAB；（2）点M在棱PC上，且直线BM与底面ABCD所成锐角为45。，求二面角M-AB-D的余弦值。【解析】（1）略；（2）如图，作PH±AD于点H，则PH±平面ABCD，即HC是PC在平面ABCD内的射影。记点M在平面ABCD内的射影为N，二面角M-AB-D的大小为Y，设AB=1，CN_MN~CH—~PHCN=t，由于直线BM与底面ABCD所成锐角为45。，则MN=BN，从而:TOC\o"1-5"\h\z顼+t2）…<23，即t=一，解得t=M，故cosZABN=亍。由三余弦定理知:cos/MBA=cos45。cos/ABN=—，从而sin/MBA=W0，再根据三正弦定理得:6615.10sin45。=sinysin/MBA，解得siny=—^，故cosY=—5—例12.（2019年6月浙江高考数学第8题）设三棱锥V-ABC的底面是正三角形，侧棱长均相等，P是棱VA上的点（不含端点）。记直线PB与直线AC所成角为a，直线PB与平面ABC所成角为P，二面角P-AC-B的平面角为y，则（）A.p
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