控制系统各种传递函数离散化后的递推公式推导及结果

控制系统各种传递函数离散化后的递推公式推导及结果 一、凹口网络传递函数: 上式中参数: :凹口网络中心频率，; :二阶微分环节阻尼系数; :二阶振荡环节阻尼系数; 采用双线性变换公式对上式离散化: 代入H(S)表达式得到: 迭代公式: ; ; ************************************************************************************* 二、PI调节器 采用双线性变换公式对上式离散化: 代入H(S)表达式得到: 迭代公式: ************************************************************************************* 三、滞后,超前 调节器 采用双线性变换公式对上式离散化: 代入H(S)表达式得到: 迭代公式: ************************************************************************************* 四、PID 调节器(形式1) 参数::一阶微分环节时间常数(第二转折频率); :一阶微分环节时间常数; :一阶惯性环节时间常数; K:PID调节器放大系数。 采用双线性变换公式对上式离散化: 代入H(S)表达式得到: 迭代公式: ; ; ************************************************************************************* 五、PID 调节器(形式2) 采用双线性变换公式对上式离散化: 代入H(S)表达式得到: 迭代公式: ; ; ************************************************************************************* 六、I型系统期望特性 假设一系统的原始开环传递函数为: 它的波特图如下图: ,——系统截至频率(rad/s)L(w)(dB)c ——第三转折频率(rad/s)w3=1/T3,3-20dB/dec ,3 ,(rad/s),c -40dB/dec 现对其增加串联迟后校正(近似PI控制器)环节: 它的波特图如下: ,——一阶惯性环节频率(rad/s)1L(w)(dB)——一阶微份环节频率(rad/s),2 ,,12 ,(rad/s) -20dB/dec 校正后的系统开环传递函数为: 1(I型系统期望特性 I型系统特点:系统的正向通道(即主通道)包含1个纯积分环节。它 的典型开环传递函数的形式为: 式中 ——速度常数，即系统开环增益(); ——两个惯性环节的时间常数(s); ——一阶微分环节的时间常数(s)。 I型系统的期望特性如下图: ,——系统截至频率(rad/s)L(w)(dB)c-20dB/dec,——第一转折频率(rad/s)w1=1/T11 ,——第二转折频率(rad/s)w2=1/T22 ,——第三转折频率(rad/s)w3=1/T3320lgKv -40 -20,(rad/s) ,3,,v,,,1c12a -40dB/dec ,——速度频率(rad/s)v ,——加速度折频率(rad/s)a 根据直线斜率定义，由上图在范围内得到如下方程: 同理，在得到如下方程: 同理，在得到如下方程: 同理，在得到如下方程: 联立上述四个方程得到如下关系式: 根据Barton公式: 2(I型系统对各种输入信号的稳态误差 假设I型系统的动态结构图如下图: KS，1，，,KR(S)C(S)E(S)2pn ，，STS，1，，TS，131 - G(S)G(S)12 系统闭环传递函数为: 系统误差传递函数为: (1) 输入单位阶跃信号 =0 (2) 输入等速信号 (3) 输入等加速信号 ************************************************************************************* 七、II型系统期望特性 1(II型系统期望特性 II型系统的结构特点:系统的正向通道包含2个积分环节。典型开环传 递函数的形式为: 式中 ——加速度常数，即系统开环增益(); ——惯性环节的时间常数(s); ——一阶微分环节的时间常数(s)。 -40dB/dec II型系统的期望特性如下图: ,——系统截至频率(rad/s)L(w)(dB)c ,——第二转折频率(rad/s)w2=1/T22 -40dB/dec,——第三转折频率(rad/s)w3=1/T3320lgKa -20dB/dec ,(rad/s) ,3,,,1c2a ,——加速度折频率(rad/s)a 根据直线斜率定义，由上图在范围内得到如下方程: 同理，在得到如下方程: 同理，在得到如下方程: 联立上述三个方程得到如下关系式: 2(II型系统对各种输入信号的稳态误差 假设II型系统的动态结构图如下图: K，，KS,，1R(S)C(S)E(S)np2 ，，STS，1S3 - G(S)G(S)12系统闭环传递函数为: 系统误差传递函数为: (4) 输入单位阶跃信号 =0 (5) 输入等速信号 (6) 输入等加速信号 ************************************************************************************* 八、期望特性参数的选择和确定 期望特性设计，就是选择各频段的斜率;常数的确定及截至频率和转折频率的选择。 期望特性反映了系统的各项性能指标。低频段的斜率与系统的无静差阶次一致。对于I型系统，它反映了速度常数，决定了系统的静态误差 和速度误差;对于II型系统，它反映了加速度常数，决定了系统的加速度误差。中频段与性能指标的关系有: 1) 截至频率的大小反映了伺服带宽的宽窄; ,n 2) 相角裕量由中频段的长度和对称度确定; ,,()c 3) 当一定时，转折频率的大小反映了常数的大小。 ,K2a 高频段反映了系统限制高频干扰及防止机械结构谐振的能力。然而，实际系统最后确定的高频段转折频率，以及斜率应由闭环速度回路和反谐振回路的传递函数确定。这样，期望特性就将系统的位置回路和速度回路联系起来。 当系统的无静差阶次确定后，低频段的斜率是固定的，可变部分在中频段和高频段。这样，就形成了两类不同型式的期望特性。 1、 的选择 的选择受伺服带宽的限制。一般取: ,n 2、 ,的选择 2 ,K保证必须对加速度常数提出要求。一般取: rmsa 2,,a( 当;，有;这是nn 保守的取法。 2,,b( 当;，有;nn 这是一般能达到的水平。 2,,c( 当;，有;这nn 是经过努力可能达到的高水平。 3、 的选择 ,1 的选择在I型系统进行。一般小则大，反之亦然。但不是愈K,,,V111小则愈大。建议的最小值取在对应在500~1000处。 KK,VV1 4、 的选择 ,3 A、 根据选择:3。这种选择能保证至少为45?。 ,,,,()ccc B、 根据如下关系式: ************************************************************************************* 九、正割函数校正 正割函数校正用于单脉冲雷达跟踪下的方位伺服系统(俯仰机构叠加于方位机构式的天线座)。跟踪目标时的几何关系如下图: y 目标CB o x,Dxβε A z 由上图看出，在存在俯仰角ε时，目标由B点移动到C点，雷达天线轴线从AB线转动到AC线。这时，ABC平面转过的角度为。要使天线转过，伺服方位支路必须带动天线在AOD平面内转过角度。由于方位角和横扫角是在两个不同的平面内，因而存在坐标转换问题。可以证明，坐标转换的结果使得方位支路伺服系统的开环增益，随着俯仰角ε的余弦而变化。为保证在不同俯仰角ε跟踪时，方位伺服系统的开环增益保持不变，确保不断精确地跟踪目标就必须进行补偿。为此，要在方位伺服系统的位置回路的前向通路上，串接一个正割律的校正电位器。而正割律校正就称为正割函数校正。 由上图几何关系得到: 在天线正常跟踪目标的情况下，很小，也很小，则有， ，于是得到: ************************************************************************************* 十、前馈校正 (一) II型系统前馈校正 K,Sq G(S)3 + K，，,，1KSR(S)C(S)E(S)np1 ，，STS，1S1 - G(S)G(S)121(前馈环节的表达式推导 系统闭环传递函数为: 系统误差传递函数为: 假设: 由于二型系统对单位阶跃信号和等速信号的稳态误差为零，故这里仅讨论输入信号为等加速信号时的情况。等加速信号即: 那么系统的稳态误差为: 如果使，即系统对等加速信号跟踪误差为0，则需要的条件是: 所以前馈环节传递函数形式为: 2(前馈环节的表达式中的微分环节离散化形式讨论 1R(S)C(S),S Kn G(S)3 (1) 向后差商变换 那么离散化后的迭代方程为: (2) 向后三点位置二阶逼近 这是基于拉格朗日n次插值多项式得到的数值微分公式。拉格朗日n次插值多项式公式如下: 假设三个等距节点 ， ，则有如下关系: 那么通过这三点得拉格朗日2次插值多项式是: 那么的导数为: 那么在的导数为: 迭代: 这就是以后向等距三点位置表示的导数近似公式，利用该公式代替前馈 环节中的微分，其中T为采样周期。 同理， 可以得到以前向三点位置表示的导数近似公式: (3) 双线性变换 那么离散化后的迭代方程为: