高等数学下册试题及答案解析

高等数学下册 试题 中考模拟试题doc幼小衔接 数学试题 下载云南高中历年会考数学试题下载N4真题下载党史题库下载 及答案解析 高等数学(下册)试卷(一) 一、填空题(每小题3分，共计24分) 22log(x，y)(a,0)1、 =的定义域为D= 。 za 22、二重积分的符号为 。 2ln(x，y)dxdy,,|x|，|y|,1 3、由曲线及直线，所围图形的面积用二重积分表示y,lnxx，y,e，1y,1 为 ，其值为 。 ,x,(t),4、设曲线L的参数方程表示为则弧长元素 。 (,,x,,),ds,,y,(t),, 22x，y,95、设曲面?为介于及间的部分的外侧，则z,0z,3 22 。 (x，y，1)ds,,,, dyyy,，tan6、微分方程的通解为 。 dxxx (4)y,4y,07、方程的通解为 。 ,18、级数的和为 。 ,n(n，1),n1 二、选择题(每小题2分，共计16分) (x,y)1、二元函数z,f(x,y)在处可微的充分条件是( ) 00 (x,y) (A)f(x,y)在处连续; 00 ,,f(x,y)(x,y)(B)，在的某邻域内存在; f(x,y)x00y 22,,(,x)，(,y),0(C) 当时，是无穷小; ,z,f(x,y),x,f(x,y),yx00y00 ,,zfxyxfxyy,,(,),,(,),0000xy(D)。 lim,0,,0x22xy(,)，(,),,0y 22xy,u,uu,yf()，xf(),2、设其中f具有二阶连续导数，则等于( ) x，y22yx,x,y y(A); (B)x; (C); (D)0 。 x，y 222,x，y，z,1,z,0,I,zdV3、设:则三重积分等于( ) ,,,, 1 ,,1322(A)4; d,d,rsin,cos,dr,,,000 ,1,22(B); d,d,rsin,dr,,,000 ,2,132(C); d,d,rsin,cos,dr,,,000 2,,13D)d,d,rsin,cos,dr。 (,,,000 222222x，y，z,4ax，y,2ax4、球面与柱面所围成的立体体积V=( ) ,2cosa,222 (A); 4d,4a,rdr,,00 ,2cosa,222 (B); 4d,r4a,rdr,,00 ,2cosa,222 (C); 8d,r4a,rdr,,00 ,2cosa,222 (D)。 d,r4a,rdr,,,0,2 、设有界闭区域D由分段光滑曲线L所围成，L取正向，函数5P(x,y),Q(x,y)在D Pdx，Qdy,()上具有一阶连续偏导数，则 ,L ,,,,PQQP()dxdy()dxdy,, (A); (B); ,,,,,y,x,y,xDD ,,,,PQQP()dxdy()dxdy,, (C); (D)。 ,,,,,x,y,x,yDD 6、下列说法中错误的是( ) 2,,,,,xy，2y，xy,0(A) 方程是三阶微分方程; dydyB) 方程是一阶微分方程; (y，x,ysinxdxdx 23222(x，2xy)dx，(y，3xy)dy,0(C) 方程是全微分方程; dy12y，x,(D) 方程是伯努利方程。 dx2x 2 7、已知曲线经过原点，且在原点处的切线与直线平行，而 y,y(x)2x，y，6,0y(x) ,,,y,，则曲线的方程为( ) 满足微分方程y,2y，5y,0 xxe(sin2x,cos2x) (A); (B); ,esin2x xxe(cos2x,sin2x) (C); (D)。 esin2x , u8、设 , 则( ) limnu,0,nnn,,n,1 (A)收敛; (B)发散; (C)不一定; (D)绝对收敛。 三、求解下列问题(共计15分) 1、(7分)设均为连续可微函数。，求f,gu,f(x,xy),v,g(x，xy),u,u,。 ,x,y x，t,u,uu(x,t),f(z)dz2、(8分)设，求。 ,,x,t,x,t 四、求解下列问题(共计15分)。 222y,I,dxedy1、计算。(7分) ,,x0 2222,，y,2z,z,1及z,2I,(x，y)dV2、计算，其中是由所围成的空间x,,,, 闭区域(8分)。 xdy,ydxxoyI,五、(13分)计算，其中L是面上的任一条无重点且分段光滑不经，22,Lx，y 过原点O(0,0)的封闭曲线的逆时针方向。 f(x)，f(y),f(x，y),x,y,f(x)f(0)六、(9分)设对任意满足方程，且存在，求1,f(x)f(y) f(x)。 3 2n1，,(x,2)n七、(8分)求级数(,1)的收敛区间。 ,2n，1n1, 高等数学(下册)试卷(二) 一、填空题(每小题3分，共计24分) ,z,z，,1、设，则 。 2sin(x，2y,3z),x，2y,3z,x,y xy3,9，2、 。 ,limx,0xyy,0 22xI,3、设I,dxf(x,y)dy，交换积分次序后， 。 ,,0x 1224、设为可微函数，且则 。 f(u)f(0),0,limf(x，y)d,,,,3，,t0t,222，,xyt 22x，y,45、设L为取正向的圆周，则曲线积分 xx 。 y(ye，1)dx，(2ye,x)dy,,L ,,,222A,(x，yz)i，(y，xz)j，(z，xy)kdivA,6、设，则 。 x,2xy,ce，ce7、通解为的微分方程是 。 12 ,,,,,1,x0,a,8、设，则它的Fourier展开式中的 。 ,f(x),n1,0,x,,, 二、选择题(每小题2分，共计16分)。 2,xy22xy,，,0,24xy，fxy(,),1、设函数 ,则在点(0，0)处( ) , ,22xy0,，,0, (A)连续且偏导数存在; (B)连续但偏导数不存在; (C)不连续但偏导数存在; (D)不连续且偏导数不存在。 2、设u(x,y)在平面有界区域D上具有二阶连续偏导数，且满足 222,uu,,u， 及 ， ,0,022,x,x,y,y 则( ) (A)最大值点和最小值点必定都在D的内部; (B)最大值点和最小值点必定都在D的边界上; 4 (C)最大值点在D的内部，最小值点在D的边界上; (D)最小值点在D的内部，最大值点在D的边界上。 2223(x,2)，(y,1),13、设平面区域D:，若I,(x，y)d,，I,(x，y)d, 12,,,,DD则有( ) (A)I,I; (B) I,I; (C)I,I; (D)不能比较。 121212 23,4、设是由曲面及 所围成的空间区域，则xyzdxdydz z,xy,y,x,x,1z,0,,,, =( ) 1111 (A); (B); (C) ; (D)。 361362363364 ,x,(t),5、设在曲线弧L上有定义且连续，L的参数方程为 ，f(x,y)(,,t,,),y,,(t), 22,,,(t)，,(t),0其中在上具有一阶连续导数，且， 则曲线积,(t),,(t)[,,,] 分( ) f(x,y)ds,,L ,,22,,f(,(t),,(t))dtf,((t),,(t)),(t)，,(t)dt(A) ; (B) ; ,,,, ,,22,,f,((t),,(t)),(t)，,(t)dtf(,(t),,(t))dt(C) ; (D)。 ,,,, 222,x，y，z,16、设是取外侧的单位球面， 则曲面积分 xdydz，ydzdx，zdxdy =( ) ,,, (A) 0 ; (B) ; (C) ; (D)。 ,2,4, y,yy，y7、下列方程中，设是它的解，可以推知也是它的解的方程是( ) 1212 ,,,, (A) y，p(x)y，q(x),0; (B) y，p(x)y，q(x)y,0; ,,,,,,(C) y，p(x)y，q(x)y,f(x); (D) y，p(x)y，q(x),0。 , a8、设级数为一交错级数，则( ) ,nn,1 (A)该级数必收敛; (B)该级数必发散; (C)该级数可能收敛也可能发散; (D)若，则必收敛。 a,0(n,0)n 三、求解下列问题(共计15分) 22u,ln(x，y，z) 1、(8分)求函数在点A(0，1，0)沿A指向点B(3，-2，2) 的方向的方向导数。 5 2f(x,y),xy(4,x,y) 2、(7分)求函数在由直线所围成的闭x，y,6,y,0,x,0 区域D上的最大值和最小值。 四、求解下列问题(共计15分) dv,I, 1、(7分)计算，其中是由及 x,0,y,0,z,0x，y，z,13,,,(1，x，y，z), 所围成的立体域。 222F(t),[z，f(x，y)]dv 2、(8分)设为连续函数，定义， f(x),,,, dF222,,,,(x,y,z)|0,z,h,x，y,t其中，求。 dt 五、求解下列问题(15分) xx 1、(8分)求，其中L是从A(a，0)经I,(esiny,my)dx，(ecosy,m)dy,L 2到O(0，0)的弧。 y,ax,x 222222,x，y,z(0,z,a)I,xdydz，ydzdx，zdxdy 2、(7分)计算，其中是 ,,, 的外侧。 6 六、(15分)设函数具有连续的二阶导数，并使曲线积分 ,(x) x2,,与路径无关，求函数。 ,(x)[3,(x)2,(x)xe]ydx,(x)dy,，，,L 高等数学(下册)试卷(三) 一、填空题(每小题3分，共计24分) yz2,utu,edt1、设， 则 。 ,,xz,z 2、函数在点(0，0)处沿的方向导数 f(x,y),xy，sin(x，2y)l,(1,2) ,f= 。 (0,0),l 22,z,1,x,y,z,0 3、设为曲面所围成的立体，如果将三重积分 yI,f(x,y,z)dv化为先对z再对最后对三次积分，则I= 。 x,,,, 1I,limf(x,y)d,, 4、设为连续函数，则 ，其中f(x,y)2,,，t,0t,D 222D:x，y,t。 22222L:x，y,a 5、 ，其中。 (x，y)ds,,L , 6、设是一空间有界区域，其边界曲面是由有限块分片光滑的曲面所组成，如果,, ,函数P(x,y,z)，Q(x,y,z)，R(x,y,z)在上具有一阶连续偏导数，则三重积分与 第二型曲面积分之间有关系式: ， 该关系 式称为 公式 小学单位换算公式大全免费下载公式下载行测公式大全下载excel公式下载逻辑回归公式下载 。 2*,,,y,6y，9y,x,6x，9y, 7、微分方程的特解可设为 。 n1,,(,1)p 8、若级数发散，则 。 ,pnn1, 二、选择题(每小题2分，共计16分) fxabfaxb(，,),(,,),f(a,b) 1、设存在，则=( ) limxx,0x 1,,,f(a,b)f(a,b)f(a,b) (A);(B)0;(C)2;(D)。 xxx2 2yz,x 2、设，结论正确的是( ) 2222,z,z,z,z(A); (B); ,,0,,0,x,y,y,x,x,y,y,x 7 2222,z,z,z,z(C); (D)。 ,,0,,0,x,y,y,x,x,y,y,x y3、若为关于的奇函数，积分域D关于轴对称，对称部分记为D,D，f(x,y)f(x,y)x12在D上连续，则f(x,y)d,,( ) ,,D (A)0;(B)2;(C)4; (D)2。 f(x,y)d,f(x,y)d,f(x,y)d,,,,,,,DDD112 222222,x，y，z,R4、设:，则(x，y)dxdydz=( ) ,,,, 816485555 (A); (B); (C); (D)。 RR,,R,,R331515 xoy5、设在面内有一分布着质量的曲线L，在点处的线密度为，则曲线(x,y),(x,y)弧,的重心的坐标x为( ) x 11 (,)x=; (B)x=; x,(x,y)dsx,(x,y)dx,,LLMM 1(C)x=; (D)x=, 其中M为曲线弧,的质量。 xdsx,(x,y)ds,,LLM 22,x，y,1,、设为柱面和在第一卦限所围成部分的外侧，则 x,0,y,0,z,1 22yzdxdy，xzdydz，xydxdz曲面积分,( ) ,,, ,,,5 (A)0; (B); (C); (D)。 ,4244 ,,,,、方程y,2y,f(x)的特解可设为( ) xxAf(x),e (A)，若; (B)，若; f(x),1Ae 2432f(x),x,2x(C)，若; Ax，Bx，Cx，Dx，E (D)x(Asin5x，Bcos5x)，若f(x),sin5x。 ,,,,,1,x0,a,、设，则它的Fourier展开式中的等于( ) ,f(x),n10,x,,, 241n,, (A); (B)0; (C); (D)。 [1(1)]n,n,n, x,y三、(,,分)设为由方程 F(x,y,t),0 确定的的函数，其中f,Fy,f(x,t),t dy具有一阶连续偏导数，求。 dx 8 22x，4y,4四、(,分)在椭圆上求一点，使其到直线的距离最短。 2x，3y,6,0 2222x，y,2yz,x，y五、(,分)求圆柱面被锥面和平面割下部分的面积,。 z,0 222,x，y，z,1I,xyzdxdy六、(,,分)计算，其中为球面 的x,0,y,0部分 ,,, 的外侧。 df(cosx)2,1，sinx七、(10分)设，求f(x)。 d(cosx) 23f(x),ln(1，x，x，x)八、(10分)将函数展开成x的幂级数。 9 高等数学(下册)试卷(四) 一、填空题(每小题3分，共计24分) 2221、由方程xyz，x，y，z,2所确定的隐函数在点(1，0，-1)处z,z(x,y) 的全微分 。 dz, 222x，2y，3z,62、椭球面在点(1，1，1 )处的切平面方程是 。 22y,x,y,x，23、设D是由曲线所围成，则二重积分I,(1，x)dxdy, 。 ,,D 22,x，y,4,z,0,z,44、设是由所围成的立体域，则三重积分 22I,(x，y)dv= 。 ,,,, 22,z,x，y5、设是曲面介于之间的部分，则曲面积分 z,0,z,1 22I,(x，y)ds, 。 ,,, 2xds,6、 。 ,2222,x，y，z,a,xyz0，，,, 7、已知曲线y,y(x)上点M(0,4)处的切线垂直于直线x,2y，5,0，且y(x)满足微 ,,,分方程y，2y，y,0，则此曲线的方程是 。 8、设f(x)是周期T=的函数，则f(x)的Fourier系数为 。 2, 二、选择题(每小题2分，共计16分) y1、函数的定义域是( ) z,arcsin，xyx (A),,; (B),,; (x,y)|x,y,x,0(x,y)|x,y,x,0 ,,:(x,y)|x,y,0,x,0(C),,; (x,y)|x,y,0,x,0 ,,,,(x,y)|x,0,y,0:(x,y)|x,0,y,0(D) 。 22z,4,x,y2、已知曲面在点P处的切平面平行于平面2x，2y，z,1,0，则点 P的坐标是( ) (A)(1，-1，2); (B)(-1，1，2);(C)(1，1，2); (D)(-1，-1，2)。 10 22y,xy,2,x3、若积分域D是由曲线及所围成，则=( ) f(x,y)d,,,D 2212,x1xdxf(x,y)dydxf(x,y)dy (A) ; (B) ; 22,,,,,12,x,1x 21y2,x1dyf(x,y)dxdyf(x,y)dx(C) ; (D)。 2,,,,02,y,1x 22222222,:x，y，z,R,z,0;,:x，y，z,R,x,0,y,0,z,04、设 ， 则21 有( ) (A); (B); xdv,4xdvydv,4ydv,,,,,,,,,,,,,,,,1212 (C); (D)。 xyzdv,4xyzdvzdv,4zdv,,,,,,,,,,,,,,,,1212 22z,1,z,x，y5、设为由曲面及平面所围成的立体的表面，则曲面积分 22(x，y)ds=( ) ,,, 1，22,,, (A); (B); (C); (D)0 。 222 2222,x，y，z,a,、设是球面表面外侧，则曲面积分 333xdydz，ydzdx，zdxdy,( ) ,,, 41212123555,,,a,aa,a (A); (B); (C); (D)。 5555 xlnxk,,,、一曲线过点(e,1)，且在此曲线上任一点M(x,y)的法线斜率，则x，ylnx此曲线方程为( ) xx(A); (B); y,，xln(lnx)y,，xlnxee x(C)y,ex，xln(lnx); (D)。 y,，ln(lnx)e ,n(n，1)x,、幂级数的收敛区间为( ) ,,n1 (,,,，,)(A)(-1，1); (B); (C)(-1，1); (D)[-1，1]。 xyu,yf()，xg()f,g 三、(,,分)已知函数，其中具有二阶连续导数，求 yx 11 22,u,u 的值。 x，y2,x,y,x 3xyz,c(c,0) 四、(,,分)证明:曲面上任意点处的切平面与三坐标面所围成立体的体积为一定值。 22z,4，x，y 五、(,,分)求抛物面的切平面，使得与该抛物面间并介于柱面 ,, 22(x,1)，y,1内部的部分的体积为最小。 xx2 六、(,,分)计算，其中,为y,,4,xI,(esiny，y)dx，(ecosy,x)dy,L 由,(,，,)至,(,,，,)的那一弧段。 22,,,y，y 七、(,分)求解微分方程=0 。 1,y n,xS(x) 八、(,分)求幂级数的和函数。 ,nn,1 12 高等数学(下册)试卷(五) 一、填空题(每小题3分，共计24分) z,y,xz,y,x，xe,01、设是由方程所确定的二元函数，则 z,f(x,y) 。 dz, 222,，，,3,0xyzx,、曲线在点(,，,，,)处的切线方程是 。 ,2x,3y，5z,4,0, z222,x，y，z,1,、设是由，则三重积分, 。 edv,,,, ay()ma,xa,mdye,f(x)dx,、设为连续函数，是常数且，将二次积分 f(x)a,0,,00 化为定积分为 。 ,、曲线积分与积分路径无关的充要条件为 。 L(AB)Pdx，Qdy,L(AB) 222222,z,a,x,y(x，y，z)ds,,、设为，则 。 ,,, 2x,y，3y,e,、方程的通解为 。 ,,, ab(a，b),、设级数收敛，发散，则级数必是 。 ,,nn,nnn,1n,1,n1 二、选择题(每小题2分，共计16分) 2,xy,(x,y),(0,0),22f(x,y),,、设，在点(,，,)处， xy，, ,0,(x,y),(0,0), 下列结论( )成立。 (,)有极限，且极限不为0; (,)不连续; ,, (,); (,)可微。 f(0,0),f(0,0),0xy 2,f,,、设函数z,f(x,y)f(x,0),1f(x,y)有，且，，则=( ) f(x,0),x,2y2,y 2222221,xy，y1，xy，y1,xy，y1，xy，y(,); (,); (,); (,)。 13 22221,x，y,4,、设,:，在D上连续，则在极坐标系中等ff(x，y)d,,,D于( ) 222 (,)2,rf(r)dr; (,)2,rf(r)dr; ,,11 21212222(,)2,[rf(r)dr,rf(r)dr]; (,)2,[rf(r)dr,rf(r)dr]。 ,,,,0000 ,,、设是由及所围成，则三重积分x,0,y,0,z,0x，2y，z,1 xf(x,y,z)dv,(),,,, 1,y11,x,2y2(,) ; dxdzxf(x,y,z)dy,,,000 111,x,2ydxdyxf(x,y,z)dz(,) ; ,,,000 1,x11,x,2y2(,) ; dxdyxf(x,y,z)dz,,,000 111dxdyxf(x,y,z)dz(,) 。 ,,,000 ,,、设是由x,0,y,0,z,0,x,1y,1,z,1所围立体表面的外侧，则曲面积分 xdydz，ydzdx，zdxdy,() ,,, (,)0; (,)1; (,)3; (,)2。 ,、以下四结论正确的是( ) 42225()(,) x，y，zdv,,a; ,,,32222x，y，z,a 2224(,) ，，x，y，zds,4,a;,,2222x，y，z,a 2224(,) ; (x，y，z)dxdy,4,a,,2222x，y，z,a外侧 (,) 以上三结论均错误。 ,、设g(x)具有一阶连续导数，g(0),1。并设曲线积分 yg(x)tanxdx,g(x)dy,L ,,(,)44与积分路径无关，则 yg(x)tanxdx,g(x)dy,(),(0,0) 14 2222,,,,,,(,); (,); (,); (,)。 2828 n1,,(1),,、级数的和等于( ) ,n1,2n1, (,)2/3;(,)1/3; (,)1; (,)3/2。 三、求解下列问题(共计,,分) z,u,u,uy,,、(,分)设求。 u,x,,x,y,z xyu,f(,),、(,分)设，具有连续偏导数，求。 fduyz 四、求解下列问题(共计,,分) ()，()afxbfy222D:x，y,RI,d,,、(,分)计算，其中。 ,,()，()fxfyD 2222,:x，y，z,RI,(x，y，z，1)dv,、(,分)计算，其中。 ,,,, 五、(,,分)确定常数，使得在右半平面上， ,x,0 42,242,与积分路径无关，并求其一个原函数u(x,y)。 2xy(x，y)dx,x(x，y)dy,L 15 1，x六、(,分)将函数展开为的幂级数。 f(x),x3(1,x) ,,,七、(,分)求解方程。 y,6y，9y,0 高等数学(下册)试卷(六) 一、单选题(共15分，每小题3分) Pxy(,)fxy(,)1(设函数在的两个偏导， 都存在，则 fxy(,)fxy(,)00x00y00( ) PPA(在连续 B(在可微 fxy(,)fxy(,) lim(,)fxylim(,)fxylim(,)fxy C( 及 都存在 D(存在 00xx,yy,(,)(,)xyxy,0000 lnxz,y2(若，则等于( )( dz lnlnxxlnxyyyylnlnyylnB. A.，xxy lnlnxxlnxyylnyyyxlnlnlnxCyydxdy.ln， Ddxdy.，xxy 22,xyx，,23(设是圆柱面及平面所围成的区域，则zz,,01, f(x,y,z)dxdydz,( )( ,,,, ,21cos,2Addrfrrzdz.(cos,sin,),,, ,,,000 ,21cos,2Bdrdrfrrzdz.(cos,sin,),,, ,,,000 ,21cos,2Cdrdrfrrzdz.(cos,sin,),,, ,,,,,002 ,21cosx Ddrdrfrrzdz.(cos,sin,),,,,,,000 16 ,nax(1),4( 4(若在处收敛，则此级数在处( )( x,,1x,2,n1n, A( 条件收敛 B( 绝对收敛 C( 发散 D( 敛散性不能确定 xyz,，,2,5(曲线在点(1，1，2)处的一个切线方向向量为( ). ,22zxy,，, A. (-1，3，4) B.(3，-1，4) C. (-1，0，3) D. (3，0，-1) 二、填空题(共15分，每小题3分) ，则1(设xyxyz，,,220 ' . z(1,1),x exlnI,2(交 换的积分次序后，_____________________( Idxfxydy,(,),,10 2u,2xy,z3(设，则u在点处的梯度为 . M(2,,1,1) n,xx4. 已知，则,e,!nn,0 ,x . xe, 3322zxyxy,，,,335. 函数的极小值点是 . 三、解答题(共54分，每小题6--7分) ,zy,z1.(本小题满分6分)设, 求,. zy,arctan,yx,x 222239xyz，，,2.(本小题满分6分)求椭球面的平行于平面的切23210xyz,，，,平面方程，并求切点处的法线方程 1322zxy,，lij,，3. (本小题满分7分)求函数在点(1,2)处沿向量方向的方向导22数。 17 14. (本小题满分7分)将展开成的幂级数，并求收敛域。 f(x),x,3x 2222x，2y，z，8yz,z，8,05((本小题满分7分)求由方程所确定的隐函数 的极值。 z,z(x,y) 2226((本小题满分7分)计算二重积分(x，y)d,,D由曲线x,,1,y,y,,1,y,1,,D 及围成. x,,2 22222Lx，y,a7.(本小题满分7分)利用格林公式计算，其中是圆周(按xydy,xydx,L 逆时针方向). 22,xydxdydzx，y,18.(本小题满分7分)计算，其中是由柱面及平面,,,, 所围成且在第一卦限内的区域. z,1,x,0,y,0 18 . 四、综合题(共16分，每小题8分) ,,,2uv,()uv，1((本小题满分8分)设级数都收敛，证明级数收敛。 ,,,nnnn11nnn1,,, ,f22((本小题满分8分)设函数在内具有一阶连续偏导数，且,2x， Rf(x,y),x 2(,)xydxfxydy，t证明曲线积分与路径无关(若对任意的恒有, L (,1) (1,)tt，求的表达式( 2(,)2(,)xydxfxydyxydxfxydy，,，f(x,y),, (0,0) (0,0) 19 高等数学(下册)试卷(一)参考答案 22220,x，y,1x，y,1一、1、当时，;当时，; a,10,a,1 ey1，1,223,,2、负号; 3、; 4、,(t),(t)dt; ，;d,,dydxy,,,,2e0D y5、180; 6、; ,sin,Cxx 2x,2x7、; 8、1; y,Ccos2x，Csin2x，Ce，Ce1234 二、1、D; 2、D; 3、C; 4、B; 5、D; 6、B; 7、A; 8、C; ,u,u,,,,xg(x，xy)三、1、;; ,f，yf12,y,x ,u,u2、;; ,f(x，t),f(x,t),f(x，t)，f(x,t),x,t 222y22221,y,y,y,4四、1、; dxedy,dyedx,yedy,(1,e),,,,,0x0002 柱面坐标2,,2222214332、I,,ddrrdz，d,drrdz,,; 12,,,,,,r0010232 22,Py,x,QyxP,,,Q,五、令则，; (x,y),(0,0),,2222222x，yx，y,y,x()x，y ,P,Q,于是?当L所围成的区域D中不含O(0，0)时，在D内连续。所以由Green,y,x ,P,Q,公式得:I=0;?当L所围成的区域D中含O(0，0)时，在D内除O(0，,y,x 222*，x，y,,(0,,,1)0)外都连续，此时作曲线为，逆时针方向，并假设D为l ，,L及所围成区域，则 l ,Q,PI,,，,，Green公式(,)dxdy，,2,，，，，,，,,,,,,,,LllL，ll,x,y*222Dx，y,, 六、由所给条件易得: 2f(0)f(0),,f(0),0 21,f(0) 20 fx，f,x()(),fx()fx，,x,fx,fxf,x()()1()(),又 = fx,lim()lim,x,0,x,0,x,x 21()()(0)，fxf,x,f2,lim,,,f(0)[1，f(x)] ,x,01,f(x)f(,x),x ,f(x),即 ,f(0) 21，f(x) ,, 即 ？arctanf(x),f(0),x，cf(x),tan[f(0)x，c] , 即 又f(0),0c,k,,k,Z？f(x),tan(f(0)x) 2n1，,tn 七、令，考虑级数(,1) x,2,t,2n，1n1, 2n，3t 2，2n3,limt ？ 21n，n,,t 2n，1 2？当即时，亦即时所给级数绝对收敛; t,1t,11,x,3 当即或时，原级数发散; t,1x,3x,1 ,1n1，(,1)当即时，级数收敛; t,,1x,1,2n，1n1, ,1n(,1)当即时，级数收敛; t,1x,3,2n，1,n1 ？级数的半径为R=1，收敛区间为[1，3]。 高等数学(下册)试卷(二)参考答案 2y422,dyf(x,y)dx，dyf(x,y)dx一、1、1; 2、-1/6; 3、 ; 4、; f(0),,,,02yy/2/23 ,,,5、; 6、2(x，y，z); 7、y，y,2y,0; 8、0; ,8, 二、1、C; 2、B; 3、A; 4、D; 5、C; 6、D; 7、B; 8、C; 22u,ln(x，y，z)三、1、函数在点A(1，0，1)处可微，且 21 ,u1,; ,1/2A(1,0,1)22,x，，xyz ,u1y,,,0; A(1,0,1)2222,yx，y，zy，z ,u1z,,,1/2 A(1,0,1)2222,zx，y，zy，z ,221l,AB 而所以,故在A点沿方向导数为: l,(,,,)l,AB,(2,,2,1),333 u,u,u,,u,cos, ++ ,cos,,,cos,AAAA,y,x,zl, 12211 ,,，0,(,)，,,1/2.23323 ,f,2xy(4,x,y)，xy(,1),0,x,M(2,1),2、由得D内的驻点为且， f(2,1),4,02fxxy,(4,,2),0,y, 又 f(0,y),0,f(x,0),0 32f(x,y),2x,12x(0,x,6) 而当时， x，y,6,x,0,y,0 32,(2x,12x),0x,0,x,4 令得 12 y,6,y,2 于是相应且 f(0,6),0,f(4,2),,64.12 ？f(x,y)在D上的最大值为f(2,1),4，最小值为f(4,2),,64. 0,x,1, ,,,:0,y,x,1四、1、的联立不等式组为 , ,0,z,1,x,y, 11,,xy1,xdzI,dxdy所以 ,,,3000(1，，x，y，z) 11,x111,dx[,]dy ,,20024(1，x，y) 1113x15,()dxln2 ,,,,,02x14216， 2、在柱面坐标系中 t2,th12322 ,2,[hf(r)r，hr]drF(t),d,dr[z，f(r)]rdz,,,,00003 22 所以 dF112322 ,2,ht[f(t)，h],2,[hf(t)t，ht]3dt3 , 五、1、连接，由公式得: OAGreen I,，,,,,,,,,LOAOAL，OAOAGreen公式xx (ecosy,ecosy，m)dxdy，0,,,22x，y,ax,y,0 12 ma,,8 ,za,2、作辅助曲面 ，上侧，则由Gauss公式得: ,:,1222，,xya, I, += ,,,,,,,,,,,,,,,,，,,1111 2 = 2(x，y，z)dxdydz,adxdy,,,,,222222xa，,y,z,0,z,ax，y a4 = 2dzzdxdy,,a,,,0222，,xyz a13442zdzaa ,,,,,,,,02 2x,,,3,(x)2,(x)xe,(x),，,六、由题意得: 2x,,,,(x),3,(x)，2,(x),xe即 2r,1,r,2特征方程，特征根 r,3r，2,012 x2xy,ce，ce对应齐次方程的通解为: 12 *2xy,x(Ax，B)e又因为是特征根。故其特解可设为: ,,2 1代入方程并整理得: A,,B,,12 1*2x即 y,x(x,2)e2 1x2x2x故所求函数为: ,(x),ce，ce，x(x,2)e122 高等数学(下册)试卷(三)参考答案 23 22211,1,,xxy2222yzxz5一、1、; 2、; 3、; dxdyf(x,y,z)dzye,xe2,,,,1,1,0x ,P,Q,R3f(0,0);5、2,a(，，)dv,Pdydz，Qdzdx，Rdxdy4、; 6、， ,,,,,,x,y,z，,,, 2公式; 7、 8、。 Ax，Bx，CP,0Gauss 二、1、C; 2、B; 3、A ; 4、C ; 5、A ; 6、D ; 7、B ; 8、B ,,,,,dy,f(x,t)dx，f(x,t)dt， 三、由于Fdx，Fdy，Fdt,0xtxyt ,,,,f,F,fFdyxttx由上两式消去，即得: ,dt,,,dxF，fFtty 22x，4y,4四、设为椭圆上任一点，则该点到直线的距离为 (x,y)2x，3y,6,0 6,2x,3y222L,(6,2x,3y)，,(x，4y,4)d, ;令，于是由: 13 ,,Lxyx,,4(6,2,3)，2,0x, Lxyy,,6(6,2,3)，8,0,,y ,22Lxy,，4,4,0,, 83838383得条件驻点: M(,),M(,,),M(,,,),M(,,)123435555555 623,,xy13 依题意，椭圆到直线一定有最短距离存在，其中即为所求。 ,,dminM11313 22,z,x，y,yoz五、曲线在面上的 ,22,x，y,2y, 2,,2(0,,)zyyz投影为 ,x,0, yoz 于是所割下部分在面上的投影域为: 0,y,2,,D:y， ,yz02,z,y,, 由图形的对称性，所求面积为第一卦限部分的两倍。 ,x,x22A21()()d,,，， x ,,,,yzDyz y22dydzdzdy ,2,2,8 ,,,,1022yyyy2,2,Dyz 24 2222,六、将分为上半部分,:z,1,x,y和下半部分,:z,,1,x,y， 12 22xoy 在面上的投影域都为: ,,,D:x，y,1,x,0,y,0,12xy 22xyzdxdy,1,x,ydxdy于是: ,,,,,D1xy 极坐标,11222 sincos1; ,d,,,,,,,,,d,,,,0015 122(1)() ， xyzdxdy,xy,,x,y,dxdy,,,,,15,D2xy 2 = ？I,，,,,,15,,12 df(cosx)22,,1,sinxf(cosx),1，sinx七、因为，即 d(cosx) 123,f(x),2,x()2 所以 ？fx,x,x，c3 22？f(x),ln[(1，x)(1，x)],ln(1，x)，ln(1，x)八、 n1,,(,1)nln(1，u),u,u,(,1,1] 又 ,nn1, n1n1,,,,(,1)(,1)n2nf(x),x，x,x,(,1,1]？ ,,nnnn11,, n1,,(,1)nn,x(1，x),x,(,1,1] ,nn1, 高等数学(下册)试卷(四)参考答案 2153,一、1、;2、x，2y，3z,6; 3、; 4、; 5、; dx,2dy32,220 2,x3y,2(2，x)e6、; 7、; ,a3 ,,121a,f(x)dx8、; a,f(x)coskxdxk,1,2,？n,？0k,,,,,,,2, ,1 b,f(x)sinkxdxk,1,2,？n,？k,,,, 二、1、C; 2、C; 3、A; 4、D; 5、A; 6、B; 7、A; 8、C 25 ,uxyyy,,？,f()，g(),g()三、 ,xyxxx 22,uxyyyy1yy,,,,,,？,f(),g()，g()，g() 2223yyxx,xxxxx 2yy1x,,,,f()，g() ,3yyxx 2yy,uxxyy11,,,,,, ,g (),,f，g,g()()()22x,x,yyxxxxxy yyxx,,,,,,f() ,g()22yyxx 22,u,u 故 x，y,02,x,y,x 33M(x,y,z)F,xyz,c,0四、设是曲面上的任意点，则， xyz,c000000 在该点处的法向量为: 333c111cc3,,,(yz,zx,xy)n,(F,F,F),(,,),c ,(,,)000000xyzMxyzyxz000000 111M(x,x)(y,y)(z,z)于是曲面在点处的切平面方程为:++=0 000xyz000 xyz即++=1 3x3y3z000 因而该切平面与三坐标面所围成的立体的体积为: 1993V,3x,3y,3z,xyz,c 000000622 这是一个定值，故命题得证。 2222z,4，x，y(x,1)，y,1五、由于介于抛物面，柱面及平面之间的立体体积z,0 22(x,1)，y,1为定值，所以只要介于切平面,，柱面及平面之间的立体体积z,0V 为最大即可。 22z,4，x，yP(x,y,z) 设与切于点，则的法向量为n,(2x,2y,,1)，且,,00000 222x(x,x)，2y(y,y),(z,z),0，切平面方程为: z,4，x，y00000000 26 22 即 z,2xx，2yy，4,x,y0000 ,222V,,zd极坐标,(2x,cos,，2y,sin,，4,x,y)d, 于是 0000,,,,,222x,，y,(1)1 22 ,,(2x，4,x,y)000 ,V,,,(2,2x),00,,x,0 则由，得驻点(1，0) ,,V,2,y,,0,,y0, V,5,,z,5. 且 (1,0)0 由于实际问题有解，而驻点唯一，所以当切点为(1，0，5)时，题中所求体积为最小。 此时的切平面为: ,z,2x，3 BABA六、联接，并设由L及所围成的区域为D，则 xxI,，,,,Green公式,(ecosy,1,ecosy,1)dxdy,0,,,,,,,LBABAL，BABAD 12 ,2,,,2,4,2 dz2dz2,,,z，z,0y,z七、令，则，于是原方程可化为: y,z(y)dydy1,y 2,dy,dz221,y，,0z,ce,c(y,1) 即，其通解为 11dy1,y dydy2cdx, 即 ？,c(y,1)112(y,1)dx 1y,1,故原方程通解为: cx，c12 八、易求得该幂级数的收敛区间为(,1,1). nn,,,x1xn1,,,,x,,x,(,1,1)SxSx，令，则 (),(),(),,,1,xnnn1,n11,n, xxdx,注意到S(0),0？S(x),， S(x)dx,,,ln(1,x),,001,x 高等数学(下册)试卷(五)参考答案 27 z,y,xadx，(1，xe)dyx,1y,1z,1()ma,x一、1、;2、;3、;4、ef(x)(a,x)dx; ,,2,z,y,x,01，xe169,1 ,P,Q, 5、对任意闭曲线，或或使得; Pdx，Qdy,0，u(x,y),du,Pdx，Qdyl,l,y,x 14,3x2x 6、; 7、,，; 8、发散 ycee2,a5 二、1、C; 2、B; 3、A; 4、C; 5、C; 6、B; 7、D; 8、A zzz,u,u,uyz,1zy,1zy,xyzlnx三、1、;; ,yx,yxlnx,lny,y,z,x ,u1,ux1,uy,,,,2、 ？,f,,f，f,,f112222,xy,yz,zyz ,u,u,u1x1y,,,,？du,dx，dy，dz,fdx，(,f，f)dy,fdz 。 112222,x,y,zyzyz y,x四、1、因为积分域D关于对称，所以 ()，()()，()afxbfyafybfx,,Id,d, ,,,,()，()()，()fxfyfyfxDD ，，1af(x)bf(y)af(y)bf(x),，I[d,d,]故 ,,,,，，2f(x)f(y)f(y)f(x)DD 112(a，b)d,(a，b)R,, = ; ,,22D 222I,(x，y，z)dV，2x(y，z，1)dV，2yzdV2、 ,,,,,,,,,,,, 2ydV，2zdV，dV+ ,,,,,,,,,,,, , 因为关于三个坐标轴都对称，而2xy,2yz,2zx,2x,2y,2z都(至少)关于某个变量为奇函数，故以这些项为被积函数的三重积分都等于0。于是: 423222,3zdV，RI,(x，y，z)dV，dV, ,,,,,,,,,3,,, R442332 ,6dzzdxdy，,R,,R(1，R)。 ,,,0332222x，y,R,z 42,242,P,2xy(x，y),Q,,x(x，y)五、令 28 ,P42,22,,1,2x(x，y)，4xy(x，y), 则 ，4,y ,Q42,52,,1 ,,2x(x，y),4,x(x，y)4,x ,Q,P42(x，y)(,，1),0, 由已知条件得，即有，所以 ,,,1,x,y 所求的一个原函数为 : 2(x,y)xyx2 uxydxdy(,),,,4242(1,0)xyxy，， 2xyxy dxdy,0,,,arctan422,,10xyx， 1，x2,(1,x)21,,,六、易知 3332(1,x)(1,x)(1,x)(1,x) ,1n,x(,1,x,1) 又 ,1,xn0, ,11n,1,？,(),nx ,21,x(1,x)n,1 ,,11n,2n,1,,(),n(n,1)x,(n，1)nx ,,32(1,x)(1,x)n,2n,1 ,,,1，xn,1,2n1n,1nx,nx？,(n，1)nx,(,1,x,1) ， 其中 ,,,3(1,x)n,1,n1n,1 2r,r,3七、方程的特征方程为:，其特征根为， r,6r，9,012 3xy,(c，cx)e故方程的通解为: 12 高等数学(下册)试卷(六)参考答案 一、单选题(共15分，每小题3分):1.C 2 D 3 C 4B 5 A 二、填空题(共15分，每小题3分) nn，1,,,,1e(1),xI,,2i，4j,2k1.-1 2. 3. 4 5. (2,2) dyfxydx(,),y,,0en!n,0 29 三、解答题(共54分，每小题6--7分) 2,zy1(解:; (3分) ,,22,xx，y y,zxy=+ ( 6分). arctan22,yx，yx (,,)xyz2. 解:记切点 则切平面的法向量为满足:nxyz,2(2,3,)000000 23xyz000 ，切点为:或 (3分)，切平面: ( 4(1,1,2),(1,1,2),,23299xyzor,，,,,,232, xyz，,，112xyz,，,112分)， 法线方程分别为:或者 ( 6分) ,,,,232,232, ,f(1,2)3. 解: ( 3分), ( 7分) ,，123,,f(1,2)(2,4) ,l 111f(x),4. 解:=,, ( 2分) x,33，(x,3)31，()3 ,1nn(,1)x,因为 ，,所以x,(,1,1),1，xn0, ,,11113x,x,3nn1nnn，(,1)()(x,3)=,其中 ，即(1)(),,,,,1,,1,,3x,33333n0,n0,1()，3 .( 5分) 0,x,6 ,,11n,,(1)当时，级数为发散;当时，级数为发散,故x,0x,6,,33n,0n0,,11nn1n，(,1)()(x,3)=，， ( 7分) x,(0,6),3xn0, ,zx4,,,0,,,,xzy128,5. 解:由, 得到与, ( 2分) y，2z,0x,0,,，zyz4(2),,,0,,,,yzy128, 822227z，z,8,0 再代入，得到即。 z,,1,2x，2y，z，8yz,z，8,07 16由此可知隐函数zzxy,(,)的驻点为(0,2),与。 ( 4分) (0,)7 30 222,z4,z,z416由，，，可知在驻点与有。( 5分) ,,0,(0,2),(0,)H,022,,,xzy128,,,yzy128,,xy7 2,z4z,1z,1在点，，因此 ，所以为极小值点，极小值为;( 6,,0(0,2),(0,2),2,x15 分) 2,z4168168在点，，因此 ，所以为极大值点，极大值为， ,,,0(0,)(0,)z,,z,,2,x157777 ( 7分) 2,,2,x,0,,1,y,x,0,D,D,D6. 解:记D:D:，则.(2分) 故 ,,1212,1,y,1,,1,y,1,, 222222 ( 4分) (x，y)d,,(x，y)d,,(x，y)d,,,,,,,DDD123,10120,2232 (7分) (),dyx，ydx,d,rdr,,,,,,,,,120432 22222LDx，y,a7. 解:所围区域:,由格林公式，可得= xydy,xydx,L 22π2πa,,,(xy)(xy)2224drrdra(x，y)dxdy,==.(7分) ()dxdy,,,,,,,,,002,,xyDD 0,z,1,, ,π8. 解:如图，选取柱面坐标系计算方便,此时，,,所以:0,,,,O…………O…………O…………O…………O装…………O订…………O线…………O…………O…………O…………O 2z ,0,r,1,,1 π11xydxdydz,dzd,rcos,,rsin,,rdr ( 4分) 2,,,,,,000O ,1 y π14π2cos211r,31x ==(). (7分) ,,,sin2,d,rdr2,,00448200 四、综合题(共16分，每小题8分) 1(证明:因为，(2分) lim0,lim0uv,,nn,,,,nn ,2222()uv，故存在N，当时，，因此收敛。(8nN,()23uvuvuvu，,，，,,nnnnnnnnnn1, 31 分) ,f,()2xy2(,)xydxfxydy，2(证明:因为，且,2x，故曲线积分与路径无关((4,2x, L,y,x 分) 2因此设，从而 f(x,y),x，g(y) (,1) 11tt22，(5分) 2(,)0[()]()xydxfxydydxtgydytgydy，,，，,，,,,, (0,0) 0 00 (1,) 1 ttt，(6分) 2(,)0[1()]()xydxfxydydxgydytgydy，,，，,，,,,, (0,0) 0 0 0 1 t2由此得对任意成立，于是，即 tg(t),2t,1tgydy，(),，tgydy(),, 0 0 22((8分) f(x,y),x，g(y),x，2y,1 32