高一数学应用导数研究三次函数图像的对称性及切线条数-[doc]
应用导数研究三次函数图像的对称性及切线条数
[教学目标]
知识与技能:(1)掌握三次函数对称中心的求法;(2)掌握三次函数切线方程的求法;(3)了解过
一点作三次函数图像切线条数的结论.
过程与方法:(1)应用导数研究三次函数的方法;(2)由特殊实例猜想一般结论，然后证明的思想;
(3)利用函数对称性，多种情形通过分析减少讨论种类. 情感与态度:(1)通过自主深入探究，增强学生学生学习数学的兴趣，独立思考的能力;(2)让学
生感数学结论的完整美，数形结合的统一美.
[教学重点]三次函数图像的对称中心、切线条数的探究，三次函数切线方程的求法. [教学难点]特殊到一般的归纳方法，切线条数的判断方法.
[教学方法]探究式教学.
[教学手段]多媒体辅助教学.
[教学过程]
1 三次函数图像的对称性
1.1 创设情景，提出问题
3三次函数是奇函数，它的图像的对称中心是(几何画板展示)，那么一般的三(0,0)fxx(),
次函数是否有对称中心呢,
32观察函数的图像(几何画板展示)，它也有对称中心(1，1)，那么怎gxxxx()321,,，，
样求三次函数的对称中心,
1.2 回归通法，探究发现
研究三次函数我们最常用的就是通过研究其导函数来研究它本身，我们分别画出fxgx(),()的导函数图像(几何画板展示)，和原函数的对称性联系起来，通过归纳得到，三次函数有唯一的对称中心，对称中心的横坐标与其导函数顶点的横坐标相同.
1.3 追根索源，理解本质
为什么会有这样的结论,因为三次函数在两个相互对称的点处的切线是平行的(几何画板展
32示)，所以对于任意三次函数，它的图像有唯一的对称中心fxaxbxcxda()(0),，，，,
bbi(,()),,f. 33aa
2 过一点作三次函数图像切线条数的探究
2.1 因势利导，引出问题
bb(,()),,f三次函数过对称中心的切线是如何的,通过实例来探33aa
32究.在对称中心(1，1)处的切线方程为，这和我们以前形成xy，,,20gxxxx()321,,，，
的切线的印象不同，但它就是三次函数的切线，因为它符合切线的定义.我们注意这样的切线只有一条，那么当这一点在别的地方，切线有多少条,
2.2 恰当分类，实例探索
因为三次函数是中心对称图形,因此对称部分的情形应该是一样的，过对称中心的切线和三次函数的图像把平面分成四部分，所以上下是一种情形，左右是一种情形，三次函数图像上的点(除对称中心)是一种情形，过对称中心的切线上的点(除对称中心)是一种情形.我们选择三次函数
32为例来探究.先选右边的点，设切点，列方程，有多少条切线，对应(3,0)gxxxx()321,,，，
有多少个切点，对应方程有多少个根.对于三次方程，有少个根，对应它的图像与x轴有多少个交点，可应用导数分析.其他情形，让学生分组计算，讨论作答.
2.3 归纳
总结
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，得到结论
C设三次函数图像在其对称中心处的切线为l，M是三次函数图像所在平面上的一点，则
(1)过点M能且仅能作C的一条切线，当且仅当点M位于C和l所夹的上下两个区域内(边
界除外)，或点与点重合. NM
(2)过点能且仅能作的两条切线，当且仅当点位于或上(点除外).CCNMMl
(3)过点能且仅能作的三条切线，当且仅当点位于和所夹的左右两个区域内(边CCMMlii界除外).
根据三次函数首项系数的正负画出相应的示意图如下:
3 小结
知识点1 对称中心，三次函数有唯一的对称中心，对称中心的横坐标与其导函数顶点的横坐标相同.
知识点2 切线条数，用图表示.
数学思想方法 数形结合，特殊与一般，化归转化.
4 思考
(1)对称中心我们是通过观察导图像得到的，对于对称问题，我们在函数中讲到了很多，你能用其他方法求三次函数图像的对称中心吗,
(2)过一点作三次函数图像切线条数的结论，我们是通过具体例子归纳得到的，你能给出对
32一般函数的证明吗, fxaxbxcxda()(0),，，，,
5 作业
32,设的极小值为，其导函数的图像是经过点开,2yfx,()(1,0),(1,0),fxaxbxcx(),，，
口向上的抛物线.
(1)求的解析式; fx()
(2)若过点可作曲线的三条切线，求实数的取值范围. (1,)myfx,()m
i 管宏斌.三次函数对称中心初探.数学通讯.2004(15). ii 贺斌.过一点作三次函数图像切线条数的完备结论. 数学通讯.2008(3).
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