理论力学 第六章 分析力学基础

理论力学 第六章 分析力学基础 第六章 分析力学基础 本章是动力学问题的引深～将介绍解决刚体和刚体系统动力学问题中经常采用的分析方法～这些方法将在某个方面使动力学问题的解决得以方便或简化～有的方法将直接涉及到动力学分析的计算机应用～这些方法包括达朗贝尔原理、虚位移原理、第一类拉格朗日方程和第二类拉格朗日方程。 第一节 达朗贝尔原理 达朗贝尔原理(有的 书 关于书的成语关于读书的排比句社区图书漂流公约怎么写关于读书的小报汉书pdf 称之为达朗伯原理)的核心是引入惯性力和惯性力矩的概念，从而将动力学问题转化为静力学问题解决。 (一) 达朗贝尔惯性力 我们已经知道，牛顿第二定律描述了一个质点的运动规律，即 ,,，， (6.1.1) mr,F ,,F这里， 表 关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf 示该质点在惯性参考基中的位置，则表示该质点所受外力的主矢量。 r 如果将上式改写为 ,,，， F,mr,0 (6.1.2) 再定义 ,,,，， (6.1.3) F,,mr 称为该质点的达朗贝尔惯性力，则牛顿第二定律可以改写为如下形式: ,,, F，F,0 (6.1.4) 上式可以这样理解:质点的达朗贝尔惯性力与该质点所受到所有真实的外力的矢量和等于零，或者说，质点的达朗贝尔惯性力与该质点所受到所有真实的外力组成一个平衡力系。这个结论称之为质点的达朗贝尔原理。 150 下面就(6.1.4)式作出讨论: ? 所谓所有真实外力包括主动力和理想约束力。 ? 达朗贝尔惯性力与非惯性基下的牵连惯性力和科氏惯性力是有区别的，后者 仅仅是为了将非惯性基下的动力学方程写成类似于惯性基的形式而采用的，显然， 它们取决于惯性基的运动，而达朗贝尔惯性力与非惯性基存在与否没有关系，达 朗贝尔惯性力的定义为了将相对惯性基的动力学方程改写为另外一种形式，即一 种力的平衡形式。 ? 达朗贝尔原理也称为动静法，即动力学问题的静力学处理方法。 ? 达朗贝尔惯性力是描述相对惯性基的运动，所以，它也直接简称为惯性力。 对于一个由n个质点组成的质点系统，每个质点的外力中显然包含了系统内其他质点的作用力，但是对于整个系统而言，它们之间的作用力相互抵消，因此，该质点系的外力仅仅是系统外部的作用力，当然包括主动力和理想约束力。于是，质点系统的达朗贝尔原理可以表述为 nn,,,F，F,0 (6.1.5) ,,kkk,1k,1 nn,,,,，，，，MF，MF,0 (6.1.6) ,,OkOk11kk,, (6.1.6)式的存在是因为对于一个质点系来讲，其外力系是一个任意力系，既有主矢量又有主矩。 [例6-1-1] 单摆的摆长为l，摆锤质量为m，参见图6-1-1，试确定单摆的运动微分方程及绳的张力。 [解]: ? 建立参考基: 如图6-1-1，在支座O建立惯性基和单摆连体基。 运动分析: 151 单摆绕O点做定轴转动，其牵连加速度只有: ,by ，，a,l,切向牵连加速度 ，方向如图 ,C,yO2，a,l,法向牵连加速度 ，方向如图 ,C,a,φ,Ca? 受力分析: ,C,CFT主动力为重力mg ,,,F,,x,,理想约束力为绳索拉力F bTF,x,mg ,，，F,ma,ml,惯性力有切向惯性力 ,,C 方向与切向加速度相反 图 6-1-1 ,2，F,ma,ml, 法向惯性力 方向与法向加速度相反 ,,C ? 建立摆锤力的平衡方程: ,F，mgsin,,0由 (1) F,0,,, ,F，mgcos,,F,0 (2) F,0,T,n 由(1)可得单摆运动微分方程 g，， ,，sin,,0l 由(2)可得绳的张力 2，F,ml,，mgcos, T [例6-1-2] 在图6-1-2中，小球P、P通过细杆与铅垂轴AB固连，设两个小球质12 量均为m，不计细杆质量，求轴AB以ω做匀角速转动时轴承A与B处的受力。 [解]: 以A点为基点建立惯性基和连体基，刚体绕铅垂轴AB做定轴转动，两个参考基的y轴重合。 考虑某瞬时，根据牵连加速度分析，小球仅有法向牵连加速度，它们的大小为: 152 ,2a,a,,bsin, y12ω,BFBx方向指向AB轴。 P1,, 因此，小球的惯性力大小为 Fb,1a1,mg,,2F,F,m,bsin, b12l,rP21θ,方向均离开AB轴。 ,F,2a,,2,,Frmg 对整个系统作受力分析，小球除惯性力外， Ax2x ,还有重力。A视为固定铰支座，B视为活动铰 AFAy 支座，利用动静法，在该瞬时连体基xy基平面 上建立平面一般力系的平衡方程如下: 图 6.1.2 F，F,0 (1) F,0AxBx,x F,2mg,0 (2) F,0Ay,y ,Fl，F,2bcos,,0 (3) M,0Bx1,Az 由(3)求得: 22,mbF,,sin2, Bxl 代入(1)，求得: 22,mbF,sin2, Axl 由(2)求得: F,2mg Ay 以上为转动轴的受力，轴承受力与之大小相等方向相反。 153 (二) 平面运动刚体的动静法 正如第五章中所描述的，由于刚体的理想约束力往往是未知的，我们可以将刚体的外力分解为主动力和理想约束力，这里我们采用相同的方法。对于某简化中心O， ,,anF,F主动力和理想约束力的主矢量仍采用表示，主动力和理想约束力的主矩记为,,anM,M。如果简化中心为刚体的质心，由静力学知识可知，主动力和理想约束力OO 的主矢量将不改变，记号也不改变;但是主矩将由于矩心的改变而改变，此时我们将 ,,anM,M主动力和理想约束力对质心的主矩记为。 CC 根据质点系的达朗贝尔原理(6.1.6)式，刚体的达朗贝尔原理可以表示为: ,,,an, (6.1.7) F，F，F,0 ,,,an,M，M，M,0 (6.1.8) CCC 上述方程中隐含了加速度的信息，因此是动力学方程的静力学表示，如果考虑上述方程的分量形式一共有6个方程，可以求得6个未知量。需要指出的是，力矩平衡方程的使用具有一定的灵活性，即矩心可以根据需要任意选取，只要注意到:矩心不在质心时，要增加主矢对新的矩心的附加力矩，可见，采用动静法具有其方便性。 正确应用动静法的关键在于惯性力和惯性力矩的计算，下面讨论平面运动刚体惯性力和惯性力矩的计算问题。 ,,r, 如图6-1-3，设刚体上任一质点P相对定点O和质心C的矢径分别为和，kkk ,,,Fr刚体的质心C相对定点O的矢径为，质点P的惯性力为，与静力学中真实力kkC 简化方法一样，将刚体上所有质点的惯性力向质心简化，可以得到过质心的惯性力主 ,,,,,,F,FM矢量和一力偶矩，其中， CC nn,,,,,,，，，，F,F,,mr,,mr (6.1.9) ,,kkkCk,1k,1 154 ,，，r这里，m为整个刚体的质量，为刚体质心的绝对加速度。 C ,,M力偶矩为刚体所有质点惯性力对质心的主矩，即 C ,n,,,,F,,,,,k,,,zM,，FF,F,CkkCPk,1k,n,,,M,C，，,,,，mr ,,kkkk,k,1r,knnC,,dd,,,k，，r，，,,，mr，，mr,C,,,kkkkkyOdtdtkk,1,1,x(6.1.10) 由矢量关系 图6.1.3 ,,,rr, ,， (6.1.11) kCk 根据质心的定义(参见静力学部分)，由于 n,m,,0 (6.1.12) ,kkk,1 (6.1.10)式右边第二项为 ,nn,d,,,,k，，，，,,，mr,，mr，，，,,kkkkCkdtk,1k,1 (6.1.13) n,,，，,,r，m,,0,Ckkk,1 参照刚体关于质心动量矩的定义(4.3.2)式，有 n,,,，L,,，mr (6.1.14) ,Ckkkk,1 因此刚体惯性力相对其质心的主矩(6.1.10)可改写为 ,,dL,CM,, (6.1.15) Cdt 对于平面运动刚体，由于平面的法线方向始终为z轴，因此 155 ,,,,M,Mz (6.1.16) CC ,,，M,,JCC (6.1.17) ，，,,J,C 这里，J为刚体对过其质心的z轴的转动惯量(用连体基表示)，, 为姿态角。 C (6.1.9)式所表达的惯性力还可以写成分量形式为 ,，，F,,mxxC (6.1.18) ,，，F,,myyC 至于动静法所表达的力的平衡方程(6.1.7)和(6.1.8)，由于刚体受力为平面力系，共有3个有效方程，可以求得3个未知量。 讨论: ? 如果刚体只做平动 刚体只做平动时，姿态角, 为一常量，由于其角速度、角加速度均为零，惯性主矩为零，此时仅仅存在作用于质心的惯性力主矢量。 ? 如果刚体只做定轴转动 刚体只做定轴转动时，假设定轴过O点，其角速度和角加速度分别为 , 和,，此时，刚体上任意一点只有牵连切向加速度和牵连法向加速度，因此，存在牵连切向惯性力和牵连法向惯性力，参见图6.1.4。 将刚体上所有惯性力向O点简化，可得 ,y,,,F,ka,k惯性力主矢量，考虑到主矢量与简化中心 P,k,,,F,,k,Fa,C,Ca,k,无关，因此，计算惯性力主矢时可以利用 ,aCr,Ck,,,,FFC,质心的加速度。刚体质心加速度同样只有 ,C,rCα,,ωMOz,切向和法向牵连加速度: Ox,,FO,,,,，，,r,a，aFC,CCC,, (6.1.19) ,,,2 ,,z，r,,rCC 于是，惯性力主矢为 图6.1.4 156 ,,,，，F,,mrC,,,2,，，,,,mz，r,r (6.1.20) CC,,,,,F，F,C,C 其中， ,,,,,F,,mz，r,CC (6.1.21) ,,,2F,m,r,CC 为惯性力主矢的两个分量，分别称为刚体的牵连切向惯性力和牵连法向惯性力。 此时，刚体所有惯性力对O点的惯性力主矩则为 n,,,M,rF,,Ozkk,1k n2,,,mr (6.1.22) ,kk,1k ,,J,O [例6.1.3] 一边长为b的正方形板，质量为m，可在铅锤平面内绕固定铰支座A转动，E角用一绳索系于H点，如图6.1.4(a)所示，如果将绳索剪断，求该瞬时支座A处的反力。 [解]: ,,F 对方形板作受力分析，主动力为重力，作用于质心C，A处有约束反力和，FAxAy参见图6.1.4(b)。如果我们采用动静法求解本问题，需要确定质心惯性力和惯性力矩，为此，要确定质心加速度和方形板对质心的转动惯量。 方形板在绳索剪断的瞬时，将绕A点做定轴转动，但角速度为零，设角加速度为,，方向逆时针。质心加速度仅有切向牵连加速度 2ea,a,b,, CC,2 其方向如图6.1.4(b)所示。于是，方形板的惯性力主矢量、即质心惯性力为 157 2,Fmb,, C2 , yH DDD,EEE,F ,,,MCCC,F,,Ay,,Faa ,,AyCC,xmgmgFαα ,,A, BAAB,FFBMAxAxA (a)(b)(c) 图 6.1.4 方向与质心加速度相反。 方形板对质心惯性力矩为: ,,MJ,CC 12mb,,6 根据动静法，建立如下力的平衡方程: ,,F,Fcos45,0 (1) X,0Ax, ,, (2) Y,0F，Fsin45,mg,0,Ay bb, ，,,,,0 (3-a) MFFM,0CAxAy,C22 从解方程角度看，惯性力简化中心选在A点较C点好，参见图6.1.4(c)。此时， 惯性力主矢量大小方向均不变，对A点惯性力矩为 ,,MJ,AA 2,,,,122,,,,, ,mb，mb,,,,62,,,, 22,,mb3 158 再利用动静法建立力的平衡方程，(1)、(2)式不变，第三式由于避开未知的约束反力改为 b, (3-b) ,,,0MmgM,0A,A2 由(3-b)，可求得 3g ,,4b 代入(1)、(2)式，可分别求得 35,, Fmg,FmgAxAy88 [例6.1.4] 质量为m，长为l的均质杆AB的一端A与半径为r的圆盘的边缘固结，圆盘在水平面上以角速度, 和角加速度, 绕O点转动。求图6.1.5(a)所示瞬时杆AB在A处的约束反力。 [解]: 在支座O建立惯性基。 采用动静法求解约束反力，需要确定AB杆的质心加速度，杆AB绕O做定轴转动，角速度和角加速度均不为零，因此，具有切向牵连加速度和法向牵连加速度，它们的大小分别为 rree22,,,,,,,,,, aOCaOC,,CCsinsin,, , ,,,y,,FFFAy,CC,CCA AB,,,M,Aθ,,F ,aαAxMa,CrCmg,C, OxωO (b) (a) 图6.1.5 159 方向如图6.1.5(a)所示。 ,对AB杆进行受力分析，参见图6.1.5(b)，主动力为重力;理想约束力为固mg ,,, 定端A的3个约束反力;质心惯性力、惯性力矩大小分别为 F,F,MAxAyA rr1,,2,2Fm,Fm,MJml ,,,,,,,,,C,CCCsinsin12,,方向如图。 下面建立平衡方程 ,,F，Fcos,,Fsin,,0 X,0Ax,C,C, ,, Y,0F，Fsin,，Fcos,,mg,0,Ay,C,C M,0,A ll,,, ，，,,,，,,,,0MMFrcosFcosmgAC,C,C22 求解上述3个方程，可得 12,,F,mr,mlAx2 12,,F,mg,mr,ml Ay2 11122M,mgl,ml,,mlr,A232 [例6-1-5] 两根质量为m、长为l的均质杆OA和AB以铰链相连，铰链与机座O连 接。求在图示位置无初速开始运动时两杆的瞬时角加速度。 [解]: 这是刚体系统问题，若采用动静法进行动力学分析，同样首先要确定各个刚体的 惯性力和惯性力矩，为此需要分析各个构件的运动。 , 运动分析 参见图6-1-6(a)，OA杆显见作定轴转动，而AB杆做平面一般运动。 对于OA杆，在O点建立连体基，其质心为C，根据定点加速度表达式 1 160 ,,,,eee (1) aaaa,，，,,CtCCC1111 ee其中，由于基点不动和初速为零，，如果假设OA杆角加速度为，,a,a,01,tCC11 可得该杆质心加速度为 l,eOy (2) a,a,,,,1CC112α1对于AB杆，在A点建立其连体基，其质心为C， 2ψC,,1aa,C,C11其加速度表达式为 αC22,,,,AeeeB (3) aaaa,，，,,CtCCC22212,,,,aeaA,C2a,atCA,2其中，移动牵连加速度就是A点的加速度。由OA x杆可以得到 (a) a,l,, (4) 图 6-1-6 A1 参见图(a)。 , 假设AB杆角加速度为，其牵连切向加速度则为， 2 le a,a,,, (5) ,2CC222 同样由于初速为零，其牵连法向加速度也等于零，因此，可得AB杆质心加速度为 ,,,e (6) aaa,，,CAC221 , 惯性力分析 对于OA杆，质心惯性力与其加速度方向相反，大小为 l, ,,, (7) Fmam1C112 对质心惯性力矩为 12,M,J,,ml, (8) CC111112 方向与其角加速度方向相反。 对于AB杆，为了方便分析质心惯性力，我们可以将其加速度投影到惯性坐标系 161 方向，参见图(b)，投影值为 l,,,alsin,，Cx122,O (9) 2y al,cos,,,Cy12,FC1ψ,,于是可得AB杆质心惯性力为 ,aMCCC111,,,laF,CyCx,,,22Fmlsinm,，Cx122A2B (10) ,,,,CM,F2C2Cy,2Fml,cos,,Cy12aCx2,xAB杆质心惯性力矩为 (b)1 2, (11) M,J,,ml,CC222212 方向与其角加速度方向相反。 图 6-1-6 , 建立静力平衡方程 系统除了各杆的惯性力外，还有主动力、即各杆的重力，铰支座O的约束反力，为了避开未知的理想约束力，我们将合力矩简化中心选为O。 M,0,OZ ll,,,, (12) M,M,F,,F,l,cos,，mg,,sin,,0CCCCy211222 又对于A点，建立AB杆力矩平衡方程 M,0,AZ l,,，，，,,,0 (13) MFmgCCx222 ,,,30考虑到初始时刻，并将(7)、(8)、(10)、(11)代入上面两式，解得 18g69g,,,,, 1255l55l 162 第二节 虚位移原理 (一)虚位移的概念 如图6-2-1所示，假设一个质点在外力作用下的运动轨迹用实线表示，经过某dt时刻，其位移的无限小增量为dq，然而，该质点还存在可能的运动轨迹，因为，在保证约束条件不破坏的前提下，外力作用(大小、方向)发生改变时， 该质点的运动发生变化，我们用虚线表示这种可能运动，显见这种可能运动有无限多。我们将某个时刻可能运动与真实运动之间的无限小差值称为虚位移。准确地定义是: 系统从真实位形过渡到任何相邻近的可能位形 可能位形过程中，系统各质点所具有的与真实运动无关 真实位形,q的、为约束所容许的无限小位移称为虚位移。 dqt + Δt虚位移采用符号δq表示。是微分的概念，是变 分的概念，虽然概念不同但是它们都具有无限小 t 时刻 的意义，因此它们具有相同的数学运算规则。 图 6-2-1 设某一完整系统，其中任一质点M的矢径用广义坐标表示，可以记为 i ,,，，，，r,rq,q,？,q,ti,1,2,？,N (6-2-1) ii12n 该矢径的微分是 ,,n,,rr,ii， ,， (i = 1 , 2 , ？ , N) (6-2-2) drqdt,ij,,qt,1jj 其变分、即虚位移则为 ,n,r,i (i = 1 , 2 , ？ , N) (6-2-3) ,,r,q,ij,q,1jj ,,rit,0,这里，根据虚位移的定义，对于某个时刻， ,t 根据以上定义，可见虚位移具有无限小、可任意取值的性质。 163 对于整个系统，假设系统位形的坐标阵为 TTTT (6-2-4) q,，，rr？r12N T这里，为第k点在惯性系中的坐标阵。可见系统位形的坐标阵q，，r,xyzkkkk 为3N个分量组成的列阵。系统位形还可以写作广义坐标的形式: T (n = 3N) (6-2-5) ，，q,qq？q12n 对于完整系统、即对于只有位形约束而没有速度加速度约束的系统，其约束方程 可以写作下面的通式: ，，Φq,t,0 (6-2-6) 式中，Ф为s个约束方程组成的列阵 T (6-2-7) ，，Φ,ΦΦ？Φ12s 根据微分的定义，约束方程的微分形式为 Φdq，Φdt,0 (6-2-8) qt Φ这里，称为约束方程的雅克比，是所有s个约束方程分别对3N个坐标的偏导数组q 成的矩阵; ,Φ,Φ,Φ，，111？,,,q,q,q12n,,,Φ,Φ,Φ222,,？ (6-2-9) Φ,,,,q,q,qq12n,,？？？,,,Φ,Φ,Φsss,,？,,,q,q,q12n，， Φ 则为所有s个约束方程分别对时间t的偏导数组成的列阵: t T,Φ,Φ,Φ,,12s ,？ (6-2-10) Φ,,t,t,t,t,, 164 (6-2-6)式的变分形式由于δt = 0则为 Φ,q,0 (6-2-11) q 这里，δq就是虚位移。这与(6-2-3)式是一致的。 约束方程反映了系统内各个质点位形间存在作某些制约关系，因此，3N个位形坐标间并不是完全相互独立，如果约束方程有3个，则独立坐标的个数只有 (6-2-12) ,,3N,s δ就是前面提到的系统的自由度。 有时，我们可以将3N个坐标分成独立坐标和不独立坐标两部分，如果将δ个独立坐标存入列阵w，而将s各不独立坐标存入列阵u，于是，系统的位形坐标阵可以记为 TTT (6-2-13) ，，q,uw 这样，约束方程的雅克比也可以分解为独立与不独立两部分 ，，Φ,ΦΦ (6-2-14) quw Φ当不独立部分的雅克比满秩(可逆)时，利用(6-2-11)式可以确定不独立坐标u 虚位移与独立坐标虚位移间的关系 1,,u,,ΦΦ,w (6-2-15) uw 于是，系统位形的坐标阵中的所有坐标可以表示为独立坐标的函数，即 ，，q,qwt (6-2-16) 上式隐含了系统的约束方程(6-2-6)式，独立坐标w完全确定了系统的位形。 由微分关系: dq,qdw，qdt (6-2-17) wt 可以得到虚位移与独立坐标虚位移间的关系为 ,q,q,w (6-2-18) w 165 在实际解题过程中，独立坐标并不一定非要在位形坐标中选取，有时可以另外选取相互独立的 参数 转速和进给参数表a氧化沟运行参数高温蒸汽处理医疗废物pid参数自整定算法口腔医院集中消毒供应 作为独立的位形坐标，只要可以建立不独立坐标与独立坐标之间的关 Φ系、描述系统的位形即可，这样做，可以回避不独立部分的雅克比需要满秩的条u件。因此，往往称独立坐标w为广义坐标。 ,Oy[例6-2-1] 图6-2-2为一单摆，摆长为l，求摆的虚位移。 l[解]: φ在惯性参考系中，摆的位形坐标为 P(x,y) T，，q,xy (1) ,x 约束方程为 222Φ,x，y,l,0 (2) 图6-2-2 因此，系统为一个自由度。假设选取x为独立坐标，则y为不独立坐标，即 ，，，，w,x,u,y (3) 于是求得摆的虚位移为 T，，,q,,x,y (4) ,y 下面考察和之间的关系。由约束方程的雅可比，有 ,x ，，，，Φ,ΦΦ,2y2x (5) quw Φy,0时，为满秩。代入(6-2-15)式，可得 u x,y,,,x (6) y 于是有 1,,,x,,,,x,,，，,q,,,xy,0 (7) ,,,,,y,,,y,, 正如前面提到的，我们也可以另外选取独立坐标，比如选φ为广义坐标，此时摆 166 的位形坐标与φ的关系可知为 (8) x,lcos,,y,lsin, 上式x、y分别取变分得到 (9) ,x,,lsin,,,,,y,lcos,,, 最后可得摆的虚位移 ,,x,lsin,,,, ,,,, (10) q,,,,,,,,,ylcos,,,,,, 上述两种选取广义坐标的方法，各有其优点，究竟采用那种方法应该依问题的具体情况来定， 原则 组织架构调整原则组织架构设计原则组织架构设置原则财政预算编制原则问卷调查设计原则 是，应该使问题变得简单。 [例6-2-2] 一曲柄滑块机构，如图6-2-3，曲柄长r，连杆长l，已知该机构只有一个自由度，如果选取曲柄的转角φ为广义坐标，求A、B点的虚位移与广义坐标虚位移δφ的关系。 [解]: ,yA 建立惯性基。由于A点的坐标与 连杆曲柄滑块,广义坐标的关系为 φxθOB x,rcos,,y,rsin, (1) AA 取变分可得虚位移 图 6-2-3 ,x,,rsin,,,,,y,rcos,,, (2) AA 要确定B点的坐标需要引入角θ，利用几何关系，有 x,rcos,，lcos,,y,0 (3) BB 对它们取变分可得 ,x,,rsin,,,,lsin,,,,,y,0 (4) BB 由于系统只有一个自由度，独立广义坐标为φ，因此，需要找出θ与φ的关系，即 167 (5) rsin,,lsin, 其变分关系为 ,rcos , (6) ,,,,lcos, 代入(4)式，得到B点的虚位移为 ,,，，rsin，，，,,,x,, (7) B,,cos,，， 其中，θ由(5)式确定。 (二)理想约束 在静力学部分，我们已经有了理想约束的概念，建立了虚位移的概念后，理想约束还可以这样定义:其约束反力在系统的任何虚位移上所作的元功之和等于零的约束。工程实际中结构或构件的约束大多可以近似地认为是理想约束， 如刚性连接、滚动接触、光滑接触等。 ,R根据以上对理想约束的定义，如果系统中第i个质点所受的约束反力为，其虚i ,,r位移为，则有 i N,,R,,r,0 (6-2-19) ,iii,1 上式的投影形式为 n ，，R,x，R,y，R,z,0 (6-2-20) ,ixiiyiizii,1 (三)虚位移原理及其应用 在静力学部分我们已经知道，一个质点系统处于静力平衡时，系统中任一质点所受的外力之和等于零，即 168 ,,F，R,0 (6-2-21) ii ,,FR式中，表示作用于i质点上主动力合力，表示i质点上约束反力的合力。如果给ii ,,r该质点一个虚位移，则有 i ,,,，，F，R,r,0, (6-2-22) iii 对于整个系统有 N,,,，，F，R,,r,0 (6-2-23) ,iiii,1 若系统为理想约束，根据(6-2-19)式，可得 N,,F,,r,0 (6-2-24) ,iii,1 上式说明，对于一个理想约束系统，其静平衡的充要条件是:作用于系统上的主动力在任何虚位移上作的元功之和等于零。我们称之为虚位移原理。上式的展开形式为: N ，，F,x，F,y，F,z,0 (6-2-25) ,ixiiyiizii,1 利用虚位移原理可以求得约束反力，特别对于复杂的机构，虚位移原理在求未知力方面具有较大的优越性。 [例6-2-3] 图6-2-4为一简易压榨机的示意图， ,,yFA在A处施力可在C处产生较大压力。假设滑道 lB和铰链均为光滑，机构各部分尺寸如图所示， ,,θ,FF试确定系统平衡时主动力及阻力的关系。 OCAx[解]: 根据虚位移原理，对于一个理想约束系统， C,dFC 其静平衡的充要条件是:作用于系统上的主动力 在任何虚位移上作的元功之和等于零。 图 6-2-4 169 因此，首先要判断系统自由度，选取广义坐标，确定沿各力作用方向的虚位移。 该系统为一个自由度，选取θ为广义坐标，在O点建立参考基。于是，可确定A点的坐标为 (1) x,lcos,,y,lsin,AA 由于C点沿y方向的位移与B点相同，因此，可以通过B点的虚位移来确定C点的虚位移。 y,dtg, (2) B 对(1)(2)两式取变分，有 ,,,,,,,,xlsin,ylcos,,,AA (3) d,y,,,B2cos, ,y,,y (4) CB 根据(6-2-25)式，系统所有主动力的虚功为 ,,,,,，，WFxFyFyAxAAyACyC d,,,,,，FsinlsinFcoslcosF ,,,,,,,,,, (5) AAC2cos, ,0 整理可得 d,,,Fl，F,,,0 (6) ,,AC2cos,,, 利用，最后可求得C处的阻力与A处的压力间的关系为 ,,,0 l2 F,cos,,F (7) CAd [例6-2-4] 椭圆规工作原理如图6-2-5所示，滑块A和B与长为l的杆AB铰接，如 ,,FF果略去机构各个构件的自重和摩擦，求该机构在图示位置平衡时主动力和的关12系。 170 [解]: ,y 解法一，解析法，通过坐标变分求虚位移。 ,,FF 由于主动力和仅分别沿滑块A的y方向和 A12 B的x方向做功，因此，只需确定A的y坐标和B的 ,F1 x坐标及其变分: θ,,,,,y,lsin,y,lcos,AAO, (1) Fx2x,lcos,,,x,,lsin,,,BBB代入虚功方程(6-2-25)式，得到 图6-2-5 (a) ,,,Fy,Fx12AB (2) ,,Flcos,,,，Flsin,,,,012 由于，可得主动力间的关系为 ,,,0 F2,ctg, (3) F1 解法二，速度法，所谓速度法是根据变分运算与微分运算的一致性，速度是坐标对时间的一次微分，因此，如果知道了某点速度的表达式，就可以得到该点的坐标变分，即该点的虚位移。这种方法对于由于机构复杂而难以确定某点坐标位置、但是易 ,于其确定速度的情况具有明显的优点。 y ,yA 本例中，明显存在机构的速度瞬心S，因此， ，,,, SA点和B点的速度分别为 A ，，，，y,,,lcos,,x,,,lsin, AB,F1 于是，A、B两点分别沿y和x方向的虚位移为 θ,xB,y,lcos,,,,,x,lsin,,, AB,O,Fx2 方相如图6-2-5(b)。 B 图6-2-5 (b)代入虚功方程后，同样可以得到 171 ,Flcos,,,，Flsin,,,,012 最后同样求得主动力间的关系为 F2,ctg, F1 ,[例6-2-4] 图6-2-6(a)为一三铰拱结构，假设该拱结构的自重不计，试求其在力F ,和力偶矩的作用下铰B的约束力。 M [解]: 三铰拱是一种完全约束的结构，即自由度为零，因此，采用虚位移原理是首先要解除某 个约束赋予其运动自由度。既然要求分析铰B的约束力，我们可以解除铰B的水平 ,F约束并代之以约束反力，注意，此时应将 Bx, FCD该约束力视为主动力，参见图6-2-6(b)。 a,M 系统具有一个自由度，可以给曲杆AC AB 一个微小转动、即虚角位移δθ，此时，曲杆 aaBC的瞬心位于S，这样，各个力作用点的虚 图6-2-6 (a) 位移分别为 S ,,,x,a,,,,,x,2a,,, (1) DB , F系统主动力的虚功为 x,,CDD,,，,，,,WM,,F,xF,xMDBxBa,r (2) C,x,0,,,BFABBx即 aa ，，,M，Fa，2Fa,,,,0 (3) Bx图6-2-6 (b) 于是可得 172 MF F (4) ,,Bx2a2 解除铰B的垂直约束，代之以约束力 , F,，参见图6-2-6(c)，同样给曲杆AC FBy,rCD,D,raCFBy,一个微小转动、即虚角位移δθ，此时，曲 MAB 杆BC的瞬心位于A，这样，各个力作用点 ,yB 图6-2-6 (c)的虚位移分别为 ,x,a,,,,,y,2a,,, (5) DB 系统主动力虚功为: ,,,，,,,,WM,,F,xF,yDByB (6) ,0 即 ，，,M，Fa,2Fa,,,0 (7) By 最后可得: MFF (8) ,,，By2a2 173 第三节 动力学普遍方程 如图6-3-1，研究非自由系统中任一质点M的运动，假设该质点的质量为m ，ii ,,FR在约束条件下沿某一轨迹运动，任一时刻所受的主动力为，约束反力为，其加ii ,a速度为，由牛顿第二定律，有: i,,Ri,,,,F，R,ma (6-3-1) iiiiFi ,,,Fma如果我们将主动力分解，使其一个分力等于， iii,maiiRi由于该分力使质点的运动状态发生变化，可称之为有 ,,效力;另一个分力设为，其表达式为 图6-3-1 Ri ,,,,R,F,ma (6-3-2) iiii 显然，这是主动力与有效力之差，故且称之为损失力。同时，我们不难看出，有效力与损失力大小相等方向相反，为一对平衡力，即 ,,,R，R,0 (6-3-3) ii 对于N个质点组成的质点系统，则有 N,,,，，R，R,0 (6-3-4) ,iii,1 若系统为一理想系统，根据理想约束的定义，即(6-2-19)式，可得 N,,,R,,r,0 (6-3-5) ,iii,1 由损失力的定义，有 N,,,，，F,ma,,r,0 (6-3-6) ,iiiii,1 与动静法(6-2-24)式比较可以看出，如果在上式中令加速度等于零，就是(6-2-24) 174 式。因此，上式实际上是虚位移原理在动力学问题中的推广。我们称之为达朗伯—拉格朗日原理，或称为动力学普遍方程。该原理可以表述为:在任一时刻，所有损失力在系统的任何虚位移上的元功之和等于零。也可以说，在任一时刻，所有主动力和惯 ,，，,ma性力在系统的任何虚位移上的元功之和等于零。 ii 175 第四节 第二类拉格朗日方程 直接应用动力学普遍方程解决工程问题时，由于方程本身形式上的局限性往往存在一定的困难。于是，人们研究如何将动力学普遍方程进行某种改造以得到适用于工程需要的的形式。其中，第二类拉格朗日方程是以广义坐标为变量、以能量形式表示的动力学方程，由于其为标量方程，并且方程数较少(等于自由度数)以及方程中不包含约束反力等优点，被广泛用于各类机构动力学模型的建立。 (一)第二类拉格朗日方程 设某一理想、完整的力学系统由N个质点组成，系统自由度为n，广义坐标为，，qj,1,2,？,n。第i个质点的矢径为 j ,,，，，，r,rq,q,？,q,ti,1,2,？,N (6-4-1) ii12n 由虚位移的概念可知，该质点的虚位移为 ,n,r,i (i = 1 , 2 , ？ , N) (6-4-2) ,,r,q,ij,q,1jj 将其代入动力学普遍方程(6-3-6)式，可得 ,Nn,,r,i ，， (6-4-3) F,ma,,q,0,,iiij,qi,,11jj ,,，，ra改变求和顺序，并将加速度写作，于是，上式可以改写为 ii ,,nNN,,,,r,r,ii，，,,F,,mr,,q,0, (6-4-4) ,,,iiij,,,q,qj,,,111iijj,, 上式左边括号内第一项称为对应于广义坐标的广义力，记为 ,N,,ri (6-4-5) F,,Q,ij,q,1ij 176 ,,r,i，，括号内第二项中的可以按照分部微分写作如下变式 r,i,qj ,,,,,,,,r,r,rdd,,,iii，，，，,,,,r,,r,,r,iii,,,,,qdt,qdt,qjjj,,,, (6-4-6) ,,，,,,r,rd,,ii，，,,,r,,r,ii,,dt,q,qjj,, 根据(6-2-2)式，有 ,,n,,rr,ii ， (i = 1 , 2 , ？ , N) (6-4-7) ,，drqdt,ij,,qt,1jj ，q将上式两边对求偏导，可得 j ,,，,r,rii (6-4-8) ,，,q,qjj 代入(6-4-6)式，得到 ,,,，，,,,r,r,rd,,,iii，，，，,,r,,r,,r, (6-4-9) iii,,，,qdt,q,qjjj,, 于是，(6-4-4)式左边括号内第二项为 ,,,NNN，，,,,,,r,r,rd,,,iii，，，，,,,,,mr,,,mr,,mr,,,,iiiiii,,,,，qdtqq,,,i,,,111iijjj,,,, NN，，11d,,,,,,,,,,，，，，,,mr,r,mr,r (6-4-10) ,,,,,,,,iiiiii，22dt,q,qi,1i,1,,,,,,jj，， ，，,,d,T,T,,,,,,,,,，dtqq,,,,jj,,，， N1,,，，T,mr,r式中，，即系统的动能。 ,ii2,1i 将(6-4-5)和(6-4-10)代入(6-4-4)式，可得 177 n，，,,d,T,T,,Q,,,q,0 (6-4-11) ,,,jj,,，dt,q,qj,1,,jj,,，， n Q,q上式即为用广义坐标表示的以能量形式出现的动力学普遍方程。其中，表,jjj,1 n,,,,dTT,,,,q示作用于系统上的主动力的虚功之和，,表示系统中所有惯性,j,,，,,dtqq,1jjj,, 力虚功之和。 对于完整系统，由于虚位移相互独立且具有任意性，由(6-4-11)可得 ,,d,T,T,,，，Q,,,0j,1,2,？,n (6-4-12) j,,，dt,q,qjj,, 或写作 ,,d,T,T,,，，,,Qj,1,2,？,n (6-4-13) j,,，dt,q,qjj,, 上式称为第二类拉格朗日方程。这是以n个广义坐标为变量的二阶常微分方程组，方程数等于系统的自由度数，时间t为参变量，因此，如果知道系统的动能T和主动力的广义力Q，就可以建立该系统的动力学模型。 j (二)广义力的计算 正如前面的分析，采用第二类拉格朗日方程时关键在于确定系统的动能T和主动力的广义力Q，系统动能的分析计算我们已经熟悉了，下面讨论广义力的计算方法。 j 主动力的广义力的计算通常有以下几种方法 1( 按照广义力的定义计算 根据主动力的广义力的定义，即(6-4-5)式，我们可将该式改写成投影的形式 n,,,x,y,ziii,,，，Q,F，F，Fj,1,2,？,n (6-4-14) ,jixiyiz,,,q,q,q,1ijjj,, 178 显然，系统主动力较多或者自由度较多时，这种计算方法比较繁琐。 2( 利用系统的虚功计算 ,q,,q,？,q由于完整系统的广义坐标及其变分(虚位移)彼此独立，我们可12n ,q以给定某个虚位移而令其余的n-1个虚位移等于零，这样，作用于系统上的所有j m ，，,Aj主动力(假设共有m个)对应于该虚位移上的元功之和应该满足 ,ki,1 m ，，，，,Aj,Q,qj,1,2,？,n (6-4-15) ,kjj,1i ,q于是，可求得对应于广义坐标的广义力为 j m ,Aj，，k,i,1 (6-4-16) ，，Q,j,1,2,？,nj,qj 3( 主动力为保守力的广义力 若作用于系统上的主动力为保守力，可通过势函数V求得保守力的广义力。需要指出的是，此时，系统的势函数应该用广义坐标表示，即V = V(q，t)。于是，有 i ,V，，Q,,j,1,2,？,n (6-4-17) j,qj 下面看一个例子。 ,y[例6-4-1] 一平面双摆机构，参见图6-4-1，设摆锤 O l1A、B的重分别为P、P，杆长分别为l、l，不计 θ12121A l杆重，选取θ和θ为广义坐标，确定系统的广义力。 122 θ2,,B[解]: Px1,P 1(按广义力定义计算 2 由于是平面问题，沿Z向的主动力的分力均为零，而 图 6-4-1 179 F,F,0,F,P,F,P (1) 1y2y1x12x2 A、B两点的坐标，用广义坐标表是为 ,,x,lcosy,lsin111111 (2) x,lcos,，lcos,y,lsin,，lsin,2112221122其微分形式为 ，，,,,,，，x,,lsin,y,lcos,11111111 (3) ，，，，，，，,,,,,,,,x,,lsin,,lsin,y,lcos,，lcos,21112222111222 因此，对应于广义坐标θ和θ的广义力分别为 12 2,,,x,x,x12i,,Q,F,F，F112,ixxx,,,,,q,,1i,111,, ,, (4) ,,Plsin,Plsin111211 ，，,,P，Plsin,1211 2,,,x,x,x12i,,Q,F,F，F212,ixxx,,,,,q,,1i,,,222 , (5) ,,P,,Plsin01222 ,,Plsin,222 2(利用系统的虚功计算 P,xP,x系统主动力为P和P，它们所作的虚功为和，由(3)式，可得A、121122B两点沿x方向的虚位移分别为 ,x,,lsin,,,,x,,lsin,,,,lsin,,, (6) 11112111222,,,0,,,,0令 12 则对应于广义坐标θ的系统虚功为 1 2,,,,A,Px，Px，，,11122i,1 ,,,,,,,,Plsin,Plsin (7) 11112111 ，，,,P，Plsin,,,12111 180 于是，对应于广义坐标θ的广义力Q为 11 2 ,,A，，,11i, (8) ，，Q,,,P，Plsin,11211,,1 同理，令，则 ,,,0,,,,021 2 ,,,,A,Px，Px，，,21122 (9) 1i, ,,Plsin,,,2222因此，对应于广义坐标θ的广义力Q为 22 2 ,,A，，,2i,1 (10) Q,,,Plsin,2222,,2 3(由于主动力P和P均为保守力，可由系统的势函数求广义力 12 系统的势能用广义坐标表示为 ，，V,,Plcos,,Plcos,，lcos, (11) 11121122 因此，利用式(6-4-17)，可以直接求得广义力 ,V,Q,,,,P，Plsin，，11211,,1 (12) ,VQ,,,,Plsin,2222,,2 (三)拉格朗日函数 由计算广义力的第三种方法可以看出，主动力为保守力时，广义力与系统势能间 的关系为 ,V，，Q,,j,1,2,？,n (6-4-18) j,qj 181 而势函数显然与广义坐标的微分、即广义速度无关，因此，下式为一恒等式 ,V,0 (6-4-19) ，,qj 将上面二式代入第二类拉格朗日方程(6-4-13)式，可得 ,,,,d,T,V,T,V,,,,，， ,,,,0j,1,2,？,n (6-4-20) ,,,,，，dt,q,q,q,qjjjj,,,, 即 ,,，，，，d,T,V,T,V,,，，,,0j,1,2,？,n (6-4-21) ,,，dt,q,qjj,, 如果令L = T – V，第二类拉格朗日方程(6-4-13)式可以改造为 ,,d,L,L,,，，,,0j,1,2,？,n (6-4-22) ,,，dt,q,qjj,, 这里，L称为拉格朗日函数。 (四)第二类拉格朗日方程应用举例 尽管第二类拉格朗日方程在建立系统的动力学模型时具有明显的优点，但是，方程中隐含的坐标的二阶微分使得方程的建立比较繁琐，推导过程冗长，同时，对方程的求解往往无法得到解析解而只能做数值解。 下面就建立系统的动力学模型举几个例子 [例6-4-2] 质量为m、半径为r的均质薄圆盘，沿径向焊接一质量为m、长为r的均质细棒，圆盘可以在水平面上作纯滚动，参见图 6-4-2，建立系统的运动微分方程。 [解]: 系统为单自由度，选取φ为广义坐标，系统的动能包括圆盘的动能和细棒的动能， 其中，圆盘、细棒对中心的转动惯量分别为 182 1122 Jmr,Jmr (1) ,,OC212 细棒质心C的速度为 ,vO,e,v,,,,,,cveeC， (2) v,v，v,v，,，OC,CtCCC,evφtc 利用余弦定理求得该速度平方 P 1122222，，，， (3) 图6-4-2 v,r,，r,,2r,,r,cos,C42 于是系统的动能为 11112222,,，，T,mv，J，mv，JOCC2222 (4) 110,,22，,mr,cos,,,,23,, 主动力均为保守力，其势能用广义坐标表示为 1 (5) V,,mgrcos,2 因此，拉格朗日函数 L,T,V (6) 1101,,22，,mr,cos,,，mgrcos,,,232,,代入拉格朗日方程(6-4-22)式，相应的微分结果为 ,L10,,2,,，,mr,cos,,,，,3,, ,,d,L10,,222,,,,，，，,,,mr,cos，mrsin, (7) ,,,,,，dt,3,,,, ,L1122，,mr,sin,,mgrsin,,22, 最后可得该系统动力学方程为 101g,,2，，，,cos,,，,sin,，sin,,0 (8) ,,322r,, 183 [例6-4-3] 如图6-4-3所示，一长为l的单摆B的一端铰接在一可沿光滑的水平直线轨2道平行移动的滑块B上，利用拉格朗日第二类方程建立系统的动力学方程。 1 ,,1[解]: yy,,1B,v,,1x11Ox建立惯性基与滑块B的连体基， ee1 ,系统有两个自由度。选取滑块B在x轴上 1mg1 ,,rφ，vv,l,的坐标x与单摆B偏离铅垂的偏角, 为广 222x义坐标。 B,,e2vv,21, 先对系统作运动分析: mg2 滑块B的绝对速度为 图6-4-3 1 ，v,x (1) 1 ,1摆球B相对动基为动点，因此，摆球的速度为 e2 ,,,rev,v，v (2) 222 ,rr，v,l,v其中，相对速度的大小为，方向如图垂直于摆杆; 22 ,ee，v,xv牵连速度的大小为，方向如图水平向右。 22 因此，摆球B的绝对速度为 2 2r2e2re222，，，，v,(v)，(v),2vvcos(,,,),l,，x，2l,xcos, (3) 22222 由上述运动学分析结果，可得系统的动能为 111222222，，，，，，，T,mv，mv,mx，ml,，mx，2ml,xcos, (4) 11221222222 主动力为有势力，以y = 0为零势面，系统的势能为 V,,mglcos, (5) 2 拉格朗日函数L = T – V，计算相关微分 ,L,L，，,(m，m)x，ml,cos,,,0 (6) 122，,x,x 184 ,L,L2，，，，,ml,，mlxcos,,,,ml,xsin,，mglsin, (7) 2222，,,,, 将式(6)与(7)代入式(6-4-22)，经整理，得到系统的动力学方程为 2，，，，，(，)，,cos,,,sin,,0mmxmlml (8) 1222 ，，，，l,，xcos,，gsin,,0 (9) 185 第五节 第一类拉格朗日方程 理论力学讨论的都是非自由系统，就是说，系统中各个部分的位形、运动状态存在着某种约束关系，如果将这种约束关系嵌入动力学普遍方程之中，可以得到动力学普遍方程的又一种形式，即拉格朗日第一类方程。下面我们将讨论拉格朗日第一类方程的表达形式及其应用。 (一)第一类拉格朗日方程 前面的学习中已经知道，由N个质点构成的质点系的位形坐标阵可以表示为 TTTT (6-5-1) q,，，rr？r12N 该系统共有3N个坐标，假设系统所受到的约束中，独立约束方程数为s个，即 ，，Φq,t,0 (6-5-2) 其中， T (6-5-3) ，，Φ,ΦΦ？Φ12s 因此，该系统的独立位形坐标、即系统的自由度只有 (6-5-4) ,,3N,s 如果约束方程中包含非完整约束，动力学普遍方程 N,,,，，F,ma,,r,0 (6-5-5) ,iiiii,1 ,,r的虚位移并不相互独立，就是说，该方程组共有3N个方程，其中只有δ个是独立i 的，因而方程无法求解。但是，如果将s个约束方程作某些改造并引入s个待定系数，然后加到动力学普遍方程中，通过适当选取待定系数，使得虚位移前的系数等于零，则该方程组可以求解。 由(6-5-1)式，动力学普遍方程，即(6-5-5)式可以改写成 186 ,,,a，，，，F,mq,,q,0 (6-5-6) ,,aF这里，表示系统所受主动力的集合，而(6-5-5)式中，为某个质点所受主动力; Fi ,,r 表示系统所有位形坐标的集合，而(6-5-5)式中，为某个质点的位形坐标。 qi上式的坐标阵形式为 Ta，，，，,q,mq，F,0 (6-5-7) 式中，m是N阶对角阵，其主对角线元素是由各个质点的质量组成的3阶子块，即 m,diagm？m，，N1 (6-5-8) ，，m,diagmmmiiii 对约束方程(6-5-2)式取变分，有 Φ,q,0 (6-5-9) q Φ式中，称为约束方程的雅可比，该矩阵由约束方程对所有广义坐标的偏导数组成: q ,,,,,,,,111？,,,,,qqq,,12n,,,,,,,,222,,,,,？,i,,,,,,,,,,, (6-5-10) qqqq12n,,,,,,qqj,,m，n？？？,, ,,,,,,,,mmm？,,,q,q,q12n,, ，，,i,1,？,s由于约束方程的个数为s，我们引入s个待定系数，称其为拉格朗日乘i 子，并构成如下列阵: T (6-5-11) ，，λ,,？,1s 将(6-5-9)式两边转置，并将拉格朗日乘子λ右乘(6-5-9)式两边，得到 TT (6-5-12) ,qΦλ,0q 将(6-5-7)与上式相减，可得 187 TTa，， (6-5-13) ,q(,mq,,,，F),0q 正如前面提到的，在3N个广义坐标的变分中，有s个不独立、δ个相互独立，因此，我们通过适当选取拉格朗日乘子λ，可以使得不独立坐标变分前的系数为零，而独立坐标变分前的系数本来就为零。于是，由于选取了拉格朗日乘子λ，由上式可以得到 Ta，， (6-5-14) mq，,,,Fq 上式即为带拉格朗日乘子的质点系动力学方程，也称之为第一类拉格朗日方程。 如果将上式左边第二项、即带拉格朗日乘子项移到等式右边，可得 aT，， (6-5-15) mq,F,,,q T，，比较牛顿第二定律mq,F，拉格朗日乘子项的物理意义为作用于质点系的内,Φλq 力或理想约束力。 由以上分析可以看出，第一类拉格朗日方程具有如下特点: 1( 求解所需方程数较多。除了3N个动力学方程外，还需要补充s个约束方程，所以方程总数为n + s。 2( 与矢量力学求解动力学问题的一般方法比较，不含理想约束力，可免去对约束力的分析。 3( 前面我们并没有要求约束必须是完整约束，因此，利用第一类拉格朗日方程可以求解非完整系统。 [例6-5-1] 图6-5-1所示一双质点摆，摆球P与P的质量分别为m与m，摆长分别1212 ,为l与l。试利用拉格朗日第一类方程建立该双质点摆 12xO l1的动力学方程。 P(x,y)111解: l2 ,P(x,y)222如图建立惯性基。双质点摆为两质点系统，系统的坐 mg1,,ymg2标阵为 TTTTqrr,,xyxy，， (1) 图 6-5-1 ，，121122 188 约束方程为 222,,x，y,l111,,,,=0(q,t) (2) 222,,(x,x)，(y,y),l21212,, 系统坐标数为4，约束方程数为2，故而系统自由度为2。 T引入拉格朗日乘子阵，可求得约束方程(2)的雅可比为 ，， ,,,,12 2x2y00,,11,,,, (3) q,,,2(x,x),2(y,y)2(x,x)2(y,y)21212121,,主动力只有重力，因此，主动力阵为 TTaTT (4) ，，，，F,FF,0mg0mg1212 将上述分析的结果代入式(6-5-15)，得到动力学方程 ，，m000x0,,22xxx,,(),,,,,,11121,,,,,,,,，，,000mymg22yyy,,(),,,,1111,,,,121,,，,,, (5) ,,,,,,,,，，000mx0,,02()xx,,22221,,,,,,,,，，000mymg,,,,,,02()yy,,,22221 或展开得 ,，，mxxxx，,,,220,,()1111212,，，myyyymg，,,,22(),,,11112121, (6) ，，mxxx，,,20(),22212, ,，，myyymg，,,2()222122,, 上述4个方程中有6个未知变量。需要与约束方程(2)一起求解。这是一微分-代数方程组，求解比较困难。通常作如下处理，将(2)式对时间求二阶导数，得到加速度约束方程，即 22，，，，，，xxyyxy，，，,0 (7) 111111 22，，，，，，，，，，，，()(xxxxyyyyxxyy,,，,,，,，,,)()()()()0 (8) 212121212121将这2个微分方程与动力学方程(6)一起求解。首先设法消去拉格朗日乘子，然后 189 进行积分。 (二)刚体做平面运动的第一类拉格朗日方程及其应用 刚体与质点的区别在于刚体的运动除了其连体基基点的作为质点的运动外，还有连体基绕过基点垂直轴的定轴转动。所以对于做平面运动的刚体，其第一类拉格朗日方程的表示与前面给出的质点系不尽相同。 ,y如图6-5-2所示，平面运动刚体的位形坐标为 P ,,bTTxT,P, (6-5-16) ，，q,，，r,,xy,bCy,φrPbc刚体上任意一点P的位置可以表示为 ,rc,,,,Orr,,， (6-5-17) PCPx P点的速度由运动学可知为 图 6-5-2 ,,,,，，,,rr,，，PCP (6-5-18) ,,,，r,z,,，，CP 上式也可以写作如下的微分形式 ,,,,，，drdrd,z,,，， (6-5-19) PCP 由于坐标变分具有与坐标微分相同的形式，可得P点的虚位移为 ,,,,，，,r,r,,z,,，， (6-5-20) PCP 代入动力学普遍方程(6-5-5)，有 NN,,,,,,,aa，，，，，，F,ma,,r，,,F,ma,z，,,0 (6-5-21) ,,PPPCPPPPP,1P,1 根据惯性力的定义以及矢量点积的交换性，上式可以改写为 NN,,,,,,,a*a*，，，，，，,r,F，F，,,z，,,F，F,0 (6-5-22) ,,CPPPPPP,1P,1 由矢量混积的轮换性，上式第二项中 190 ,,,,,,,,,a*a*，，，，，，z，,,F，F,z,,，F，,，F (6-5-23) PPPPPPP代回(6-5-22)式第二项，得到 NN,,,,,,,,,a*a*,,,,,,,z，,F，F,z,，F，，F，，，，，，,,PPPPPPP (6-5-24) PP,1,1,,,a*，，,,,z,M，MCC ,,a*MM这里，和分别为刚体主动力和惯性力对连体基基点之主矩。 CC 由主矢量的定义，(6-5-22)式第一项可以改写为 N,,,,,,a*a*,r,，，，，F，F,,r,F，F (6-5-25) ,CPPCP,1 这样，(6-5-22)式改造为 ,,,,,,a*a*，，，，,r,F，F，,,z,M，M,0 (6-5-26) CCC 考虑到主矩与z轴同向，因此，上式的坐标阵形式为 Ta*a*，，，，,rF，F，,,M，M,0 (6-5-27) CCC 或 Taa，，，，，，，，,rF,mr，,,M,J,,0 (6-5-28) CCCC 参照(6-5-7)式，上式两项可以写作更为紧凑的形式 Taˆ，，，，,qF,Zq,0 (6-5-29) 式中， a,,Fm00，，xa,,,,m0F，，,,aaˆ,,F,,F,Z,,0m0 (6-5-30) ,,y,,Ta,,,,0JM,,，，aC,,,,M00JCC，，,, 分别称之为增广主动力阵和增广质量阵。 下面对(6-5-29)式进行讨论 1(对于单个刚体，如果刚体是自由的，刚体的位形坐标相互独立，即刚体的自由度 191 等于3，那末，由(6-5-29)式可得 aˆ，，，，F,Zq,0 (6-5-31) 或 aˆ，，F,Zq (6-5-32) 展开式为 aa，，，，M,J, 和 (6-5-33) F,mrCC 上式即为刚体做平面一般运动的动力学方程。 2(如果刚体受到约束，3个位形坐标并不完全独立，因此并不完全独立，假设约,q 束方程数为s，当然s < 3。如同(6-5-2)式，设约束方程为 ，，Φqt,0 (6-5-34) 参照质点系第一类拉格朗日方程的做法，即参照(6-5-9)式到(6-5-13)式，可以得到刚体的带拉格朗日乘子的动力学方程为 TaTˆ，， (6-5-35) ,q，，F,Zq,Φλ,0q 同样，通过适当选取拉格朗日乘子，可使得上式括号内的和等于零，即有 aTˆ，， (6-5-36) F,Zq,Φλ,0q 或 aTˆ，， (6-5-37) FΦλZq,,q ,,,an，，将上式与动力学基本方程、即牛顿第二定律FFmr比较可以看出， 上式左，, 边第二项相当于系统的理想约束力项: nTˆ F,,Φλ (6-5-38) q 对于单个刚体，方程组(6-5-37)共有3个方程，但是未知量除了3个位形坐标外，还有s个待定的拉格朗日乘子，求解该方程组需要补充s个约束方程，因此，具 192 有约束的刚体的动力学模型是一微分代数方程组，形如 Taˆ，，Zq，Φλ,Fq (6-5-39) ，，Φq,t,0 一般来讲，对上述方程直接求解存在一定难度，目前的做法是，对约束方程二次求导得到加速度约束方程，也就是说，得到位形坐标二次微分间的关系，再与第一个方程联立求解。 约束方程(6-5-34)式的一次微分为 ，Φq,,Φ (6-5-40) qt 这里，Φ如前所述称为约束方程的雅可比，Φ表示约束方程对时间的偏导。 qt 约束方程(6-5-34)式的二次微分为 ，，Φq,γ (6-5-41) q 式中，γ包含了除加速度项之外的所有项，即 ，，， ，， (6-5-42) γ,,Φqq,2Φq,Φqqtttq 这样，可将(6-5-39)式改造为 Taˆ，，Zq，Φλ,Fq (6-5-43) ，，Φq,γq 上式还可以合并写作一个矩阵式 Taˆ，，，，,,ZΦq,,Fq,,,,, (6-5-44) ,,,,,,Φ0λγ,,q,,,,，， [例6-5-2] 如图6-5-3，一均质杆AB，长为l，质量为m，在铅锤平面内运动，两端分别在水平面和铅锤壁上作无摩擦的滑动。要求建立杆的动力学方程并确定其约束反力。 [解]: (1) 采用处理动力学问题的一般方法(第五章) 193 ,,F首先建立参考及连体基，参见图6-5-3，主动力为重力，约束反力分别为mgNA ,F和。 ,NBy 由质心运动定理，有 B，，mx,F,, (1) bCNB,byFxNBωφ，，my,F,mg (2) CNAC ,由定轴转动动量矩定理，有 mg,OAx2,mlll，，,,sin,,cos,FFF (3) NANANB 1222 以上3个动力学基本方程中，未知变量为杆的位 图 6-5-3 T，，q,xy,形坐标和约束力F与F。5个变量3个方程，无法直接求解，必NANBCC 须补充约束方程。由于杆AB在运动过程中受到地面和墙面的约束，位形坐标满足如下两个约束关系 llx,sin,,y,cos, (4) CC22 对约束方程(4)求二阶导数，得到两个加速度层次上的关系式 ll2，，，，，,cos,,,sin,,x (5) C22 ll2，，，，，,,sin,,,cos,,y (6) C22 这样式(1),(3)与式(5),(6)一起构成了杆AB封闭的动力学方程组。 从式(2)与(1)中解出F与F，代入式(3)，再将式(5)与(6)代入，消NANB ，，去与，可得到关于姿态角变量的动力学方程: y，，x 3g，，,,,,0sin (7) 2l 194 ，，,,,ddd，，，,,,,考虑到位分关系，利用分离变量法解上述的常微分方程。杆的初d,dtd, 始角为,，角速度为零;运动到,，角速度为,。有 , ,,3g，，,,,,d,sind (8) ,,2l0,0 得到角速度为 ，,,,,,,,3gl(coscos)/ 0 ，，，,,将式(7)的和式(8)的分别代入式(5)与(6)，将它们再分别代入式(1)与(2)，可解得约束反力为 3mgF,sin,(3cos,,2cos,) (9) NB04 33，，2，，,，,1,sin,cos(cos,cos)Fmymgmg,,,, (10) NA0,,42，，(2) 采用本章带拉格朗日乘子的动力学方程 由已知条件，杆AB的位形坐标间存在以下两个独立的约束方程(s = 2): l,,,xsin,,,2,,,,,0 (11) l,,ycos,,,,2,, 约束方程的雅可比与加速度约束方程的右项分别为 l,,2l，,,,,,sin,,,10,cos,,22,,,,,,,,， (12) qll,,2,,，01sin,,,,,,cos,,2,,2,, Taˆ，，F,0,mg0系统受到的主动力仅为重力，由增广主动力阵的定义，有， 12Jml,该杆关于质心C的转动惯量为。 C12 195 T，，λ,,,引入两个拉格朗日乘子，根据(6-5-44)式可写出杆的动力学方12 程为 m0010,,0,,,,，，,,x,,C0m001,,,,mg,2,,mlll,,，，y,,C,,,,,cossin000,,,,，，1222,,, (13) ,l,,2，,,l,,,,,sin,,,10,cos00,,,21,,2,,,,l2,,，,lcos,,,,,2,,,,sin0100,,,2,,2,, 展开前3式，有 ，， (14) mx，,,0C1 ，，my，,,,mg (15) C2 2mlll，，cossin0 (16) ,,,,,,，,121222 将上面三式与(1)(2)(3)式比较可知，理想约束力与拉格朗日乘子的关系为 ,,,F,,,,F 1NB2NA 3(对于一个刚体系统，其带拉格朗日乘子的动力学方程同样可以写作(6-5-44)式所 Taˆ，，，，,,ZΦq,,Fq,,,,,表达的形式，即 。但是，对于刚体系统，假设该系统共有N,,,,,,Φ0λγ,,q,,,,，， 个刚体组成，则系统共有n = 3N个位形坐标，有关参数的内涵是关于整个系统的: TTTTT，，，，q,qq？q,xy,xy,？xy, 12N111222NNN (6-5-45) aˆ,,Z0？0,,F11,,,,aˆ0Z？0,,F,,2a2ˆZF,～, (6-5-46) ,,,,？？？？,,,,,,a,,ˆ00？ZFN,,N,, 其中，增广质量阵和增广主动力阵中的每个子块的意义如同(6-5-30)式。 196 如果系统具有s个约束方程，则该系统的带拉格朗日乘子的动力学方程共有n + s、即3N + s个。 [例6-5-3] 如图6-5-4所示的机构由均质滑块和长为2l的均质杆组成。刚度为k的线弹簧如图连接滑块与墙面。滑块在光滑的水平面滑动，均质杆由转动铰悬挂在滑块的质心C上可在铅垂面内摆动。滑块和摆杆质量分别为m和m。试建立系统的动力学方程。 112 [解]: 1( 按一般方法求解 ,,12如图6-5-4(b)所示分别建立滑块与摆杆的连体基与， ee ,基点分别为它们的质心C与C。惯性基的基点O设定在弹 e12 簧的原长处。滑块与摆杆的位形坐标分别为 T ，，q,xy,1111 T图 6-5-4 (a) ，，q,xy, 2222 系统主动力包括: ,,mg1,y,滑块重力 mg,11,FyS,F1x,F2y,,1F,1yxx摆杆重力 Cmg,12FA2xO,,,,e,,F22N1vxv弹簧力 ,2AF,kxy2S1C2 ,2C理想约束力包括: 2,,2mg2,水平面约束力 FN1 图 6-5-4 (b) 转动铰的两对作用力反 ,,,,作用力分量、F与、F。由牛顿第一定律，有 FF1y2y1x2x F,FF,F ， (1) 2y1y2x1x 对于滑块，由质心运动定理和定轴转动的动量矩定理，可得如下的动力学方程组 197 ，，mx,,kx,F (2) 1111x ，，my,F,mg,F (3) 11N111y ，，J,,0 (4) 11 对于摆杆，有 ，，mx,F (5) 222x ，，my,F,mg (6) 222y2 12，， (7) ml,,,Flcos,,Flsin,222x22y23 方程组(2) , (7)的6个方程中有12个未知的变量。考虑到两个力的条件(1)，需再引 入4个运动学的关系式。 通过约束分析，对于滑块有，可得加速度约束关系 y,0,0,11 ，，，，,,0y,0， (8) 11 下面推导另两个运动学关系式。摆杆上铰点A为其的给定点，由式 (3-2-21)，铰点A 的速度为 ,,,,,,,,,ee，vvvv,z,v,z,,，,，，,，， A2tA2,A222A222A ,考虑到转动铰的约束，它与滑块质心速度应始终相同，有 v1 ,,,,vv,z,,，， 1222A ,该矢量关系可得到在基下两个标量关系式 e ，，，，，，,cos,x,x,l,sin,y,y,l， (9) 12221222将以上两式两边时间求导可得到所需要的加速度的关系式为 2，，，，，，，,cos,,sin,x,x,ll，l 122222 198 2，，，，，，，,sin,,cos,y,y,l,l (10) 122222 这样封闭的方程组(1),(10)构成了系统的动力学方程组。由此可解得12个变量的时间历程。 上述的方程组可进行如下化简:由于系统存在4个加速度约束关系，故6个位形坐 ，，，，标的二阶导数中只有两个是独立的，现取与为独立的加速度，其他4个位形坐标,x21 的二阶导数可表为它们的函数关系。将(8)的第一式代入 (10)的第二式，式(10)可整理得如下关系 2，，，，，，，,cos,,sin,x,x，l,l 212222 2，，，，，,sin,,cos,y,l，l (11) 22222 另外两个关系即为式(8)。将式(8)与(11)代入方程(2)与(7)，再消去理想约束力，可得到含两个独立变量封闭的动力学方程组，即 2，，，，，，，,cos,,sin,m，mx，ml,,kx，ml (12) 1212221222 4，，，，xcos,，l,,,gsin, (13) 12223 由上述方程可解出这2个变量的时间历程。由运动学关系可得到其他坐标的时间历程，再由方程组(2)与(7)也可解得理想约束力。 ,y,1y2( 采用第一类拉格朗日方程求解 ,,1xxC1参见图6-5-4(c)，滑块与摆杆的位形坐标 O ,,22分别为 xy TT，，，，q,xy,，q,xy, C222211112,2刚体系的位形坐标为 TTT图 6-5-4(c) qqq,() (14) 12 由系统的结构可得约束方程为 199 y,,1,,,,,1,,,0 (15) ,,,,,(xx)lsin212,,,,(,y,y),lcos,212,, 该约束方程的雅可比为 010000,,,,001000,,,, (16) q,,,,10010,lcos2,,,,0,100,1lsin,2,, T系统的约束方程有4个(s = 4)，引入拉格朗日乘子阵。系统受,,,,,,，，1234 到的主动力有重力和弹簧力，由增广主动力阵的定义(6-5-46)式，有 TTaaˆˆ，，，，F,,kx,mg0F,0,mg0与。代入(6-5-44)式，可得动力学方程11122 为 m00000,,1，，x00,10kx,,,,,,,11,,,,,,,,m00000,,,1，，y100,1mg,,,,,,,,,111,,,,J00000,,,,,,，，,,101000,,,,12,,,,,,，,,000m00,,,2,，，,,,,x0010,,023,,,,,,,,,,0000m0,,2，，,,,y000,1mg,242,,,,,,,,12,,,,,,,,，，00000mlll00,cossin0,,,,,2222,,,,,,3,, 上式展开可得: ，，mx,,,,kx (17) 1131 ，，my，,,,,,mg (18) 11141 ，，,，, ,0J (19) 112 ，，mx，,,0 (20) 223 ，，my,,,,mg (21) 2242 200 2ml2，，,,l,cos,,l,sin,,0 (22) 232423 将式(17),(22)等6个方程与式(2),(7)比较，可知乘子与理想约束力的关系 为 、、与 (23) ,,F,,F,,,F,,,M,,,F,,F42y1y31x2x1N121 式中的各约束力(矩)如例6-5-4(b)图所示。 201