【强烈推荐】椭圆的第二定义、参数方程、直线与椭圆的位置关系知识精讲

高一化学学习资料一. 本周教学 内容 财务内部控制制度的内容财务内部控制制度的内容人员招聘与配置的内容项目成本控制的内容消防安全演练内容 ： 椭圆的第二定义、参数方程、直线与椭圆的位置关系 ［ 知识点 高中化学知识点免费下载体育概论知识点下载名人传知识点免费下载线性代数知识点汇总下载高中化学知识点免费下载 ］ 1. 第二定义：平面内与一个定点的距离和它到一条定直线的距离之比是常数 c e,,,()01eM的动点的轨迹叫做椭圆，定点为椭圆的一个焦点，定直线为a 椭圆的准线，常数e是椭圆的离心率。 22xy 注意：?对对应于右焦点，的准线称为右准线，，,,,100()()abFc 222ab 22aa方程是，对应于左焦点，的准线为左准线x,,,,Fcx()0 1cc ?e的几何意义：椭圆上一点到焦点的距离与到相应准线的距离的比。 2. 焦半径及焦半径公式： 椭圆上一个点到焦点的距离叫做椭圆上这个点的焦半径。 22 xy对于椭圆，设，为椭圆上一点，由第二定义：，,,,10()()abPxy ,2ab r2cca左 rexaex左焦半径?? ,,，,，左002aacax，0c rc右 raex右焦半径 ,,,,右02aax,0c 3. 椭圆参数方程 问 题 快递公司问题件快递公司问题件货款处理关于圆的周长面积重点题型关于解方程组的题及答案关于南海问题 ：如图以原点为圆心，分别以a、b（a>b>0）为半径作两个圆，点B是大圆半径OA与小圆的交点，过点A作AN?Ox，垂足为N，过点B作BN?AN，垂足为M，求当半径OA绕O旋转 用心 爱心 专心 119号编辑 1 时点M的轨迹的参数方程。 设点的坐标是，，是以为始边，为终边的正角，取为Mxy(),,Ox,, 参数。 xa,cos,那么xONOA,,||cos,, ?()1,yb,sin,yNMOB,,||sin,, 这就是椭圆参数方程：为参数时，称为“离心角”,, 说明：<1> 对上述方程（1）消参即 x,,cos,22,xy,a 1普通方程,，, 22,yab,,sin,,b, <2>由以上消参过程可知将椭圆的普通方程进行三角变形即得参数方程。 4. 补充 名称 方程 参数几何意义 直线 xxt,，cos,,,倾斜角,tPP,Pxy()，定点，，00000()t为参数 ,yyt,，sin,0,P（x，y）动点 圆 A（a，b）圆心，r半径， xar,，cos,,,(),为参数, P（x，y）动点，旋转角 ybr,，sin,, 椭圆 a长半轴长，b短半轴长 xa,cos,,(),为参数, yb,sin,,离心角不是与的夹角()OMOx , ,,,、取，[]02一般地， 5. 直线与椭圆位置关系： （1）相离 用心 爱心 专心 119号编辑 2 22xy ，,,，1ykxb 22ab 22,xy1，,,22 ?相离无解,ab, ,ykxb,，, ?求椭圆上动点P（x，y）到直线距离的最大值和最小值，（法一，参数方程法；法二，数 形结合，求平行线间距离，作l'?l且l'与椭圆相切） ?关于直线的对称椭圆。 （2）相切 22,xy 1，,,22 ?相切有一解,ab, ,ykxb,，, xxyy00 ?过椭圆上一点，的椭圆的切线方程为Pxy()，,100022ab 22,xy，,1,22 ()3相交有两解,ab, ,ykxb,，, ?弦长公式： 22||()()ABxxyy,,，, 1212 22 ,，，,14kxxxx() 1212 用心 爱心 专心 119号编辑 3 2 ,，,1kxx||12 ,2 ,，1k?||a ?(中点：斜率),作差法 22xy 例1. 已知，，是椭圆的右焦点，点在椭圆上移动，当AF(),，,231M 1612 |MA|＋2|MF|取最小值时，求点M的坐标。 结合图形，用椭圆的第二定义可得|||||||||'|MAMFMAMPAA，,，,2 这里|MP|、|AP|分别表示点A到准线的距离和点M到准线的距离。 ||MF1 设直线是椭圆的右准线，?，垂足为，则，lMPlP,,eMP|| ||MPe 11 ||||||MFabceMP，由已知方程得，，?，，由此得,,,,,,4232MF2e2||MF，从而得 |||||||||'|MAMFMAMPAAMAPMAP，,，,2，即当点、、三点共线且是内分点 时，等号成立，此时取得最小值，点的坐标为，||||()MAMFM，2233 22xy 例2. 椭圆的焦点为、，点为其上的动点，当?为钝角FFPFPF，,1 121294 时，点P横坐标的取值范围是_______________。（2000年全国高考题） 可先求?FPF＝90?时，P点的横坐标。 12 5 在椭圆中，，，，依焦半径公式知，abcPFx,,,,，3253|| 13 5222||||||||PFxFPFPFPFFF,,,，,,3，由余弦定理知?为钝角 21212123 用心 爱心 专心 119号编辑 4 559332222 ()()()3，，,,,,,,,xxxx325，应填33555 22 设，，则当??时，点的轨迹方程为，PxyFPFPxy(),，,905 12 3由此可得点的横坐标?，点在轴上时，?；点在轴上PxPxFPFPy,,0 125 33时，?为钝角，由此可得点横坐标的取值范围是FPFPx,,, 1255 本题考查椭圆的方程、焦半径公式，三角函数，解不等式知识及推理、计算能力。 22xy 例3. 过椭圆内一点，引一条弦，使弦被点平分，求这条MM，,121() 164 弦所在的直线方程。 本例的实质是求出直线的斜率，在所给已知条件下求直线的斜率方法较多，故本例 解法较多，可作进一步的研究。 设所求直线方程为，代入椭圆方程并整理，得ykx,,,12() 2222()()()412421160kxkkxk，,,，,,,，又设直线与椭圆的交点为 282()kk,AxyBxyxxxx()()，、，，则、是方程的两个根，于是，，, 11221212241k， 2，xx42(),1kk12又为的中点，?，解之得，故所求直线方MABk,,,,2 22241，k 程为xy，,,240 设直线与椭圆的交点为，、，，，为的中点，AxyBxyMAB()()()21 1122 2222?，，又、两点在椭圆上，则，xxyyABxyxy，,，,，,，424164 12121122 2222,,，,,1640，两式相减得()()xxyy 1212 ,，yyxx11212 ?,,,, ,4()，2xxyy1212 1 即，故所求直线为kxy,,，,,240 AB2 设所求直线与椭圆的一个交点为A（x，y），由于中点为M（2，1）， 则另一个交点为，Bxy()42,, 用心 爱心 专心 119号编辑 5 2222?、两点在椭圆上，?有?，?ABxyxy，,,，,,41644216()() ??得：,，,,xy240 由于过、的直线只有一条，故所求直线方程为ABxy，,,240 xt,，2cos,, 直线方程为,yt,，1sin,, 22 代入椭圆得：(cos)(sin)241160，，，,,tt,, 2222 ?44484160，，，，，,,ttttcoscossinsin,,,, 222 ?(sincos)(sincos)48480,,,,，，，,,tt 84sincos,,， ?，?tt，,,0,012224sincos,,， ?820sincos,,，, 1 ?，82sincostan,,,,,,,2 1 即，故所求直线为kxy,,，,,240AB2 22 例4. 已知椭圆，在椭圆上求一点，使到直线：xyPPlxy，,,，,8840 的距离最小并求出距离的最小值（或最大值）？ 设，由参数方程得P(cossin)()22,, |cossin||sin()|224,,,,,，34,, 则d,, 22 ,12 其中，当时，tan,,,,,,,,22dmin222 221 此时，cossinsincos,,,,,,,,,, 33 81 即点坐标为，PP(), 33 因与椭圆相离，故把直线平移至，使与椭圆相切，则与的距离，llllll''' 即为所求的最小值，切点为所求点最大('')l, 用心 爱心 专心 119号编辑 6 xym,，,0, 设：，则由消得lxym',，,0x,22xy，,88, 2222 928044980ymymmm,，,,,,,,，令?,() 解之得?，为最大，由图得mm,,,,333() 812 此时，，由平行线间距离得Pl(),, min332 22xy 例5. 已知椭圆：，，是椭圆上一点EPxy，,1() 2516 22 ()1求的最大值xy， （2）若四边形ABCD内接于椭圆E，点A的横坐标为5，点C的纵坐标为4，求四边形ABCD的最大面积。 222 题（1）解题思路比较多。法一：可从椭圆方程中求出y代入x+y，转化为 22xxyxy的二次函数求解。法二：用椭圆的参数方程，将、代入，转化为三角， 2222问题求解。法三：令，则利用圆与椭圆有公共点这一条件求的最xyrr，, 值，解题时可结合图形思考。得最大值为25，最小值为16。 题（2）可将四边形ABCD的面积分为两个三角形的面积求解，由于AC是定线段，故长度已定，则当点B、点D到AC所在直线距离最大时，两个三角形的面积最大，此时 四边形的面积最大。求得ABCD202 222xyx2 ()()1法一由得，，,,,1161y 251625 22xx9222 则，xyx，,，,,，,161()[]161625 2525 22 ?的最大值为，最小值为xy，2516 用心 爱心 专心 119号编辑 7 x,5cos,, 法二：令，,y,4sin,, 22222 则，xy，,，,，,25161691625cossincos[],,, 2222 法三令，则数形结合得，xyrr，,,[]1625 （2）由题意得A（5，0），C（0，4），则直线AC方程为：4x＋5y－20 ,054，又设，，则点到直线的距离BBAC(cossin),, ,|sin()|202,，,20|cossin|202020,,，,20220,4 d,,, 1414141 20220， ,同理点到直线的距离DACd241 ?四边形的最大面积SACdd,，,||()202 12 22xy 例6. 已知椭圆，是椭圆上两点，线段的垂直平，,,,10()abABAB 22ab 分线与x轴相交于点P（x，0）。 0 2222ab,ab, 求证：,,,x 0aa （1992年全国高考题） 本题证明的总体思路是：用、两点的坐标、及、来表示，ABxxabx 120利用证明,,，,22axxa 12 设，、，，由题意知?且，，AxyBxyxxPx()()()0 1122120 2222 由得?||||()()PAPBxxyxxy,,，,,， 101212 22xx222212 又、两点在椭圆上，?，AByb,,,,()()11yb 1222aa 22ab,22 代入?整理得，2()()xxxxx,,, 210212a 22，xx,ab12 ??，?有?xxx, 12022a 用心 爱心 专心 119号编辑 8 又，，且?,,,,,,axaaxaxx1212 ?,,，,22axxa12 2222ab,ab, 由此得,,,x 0aa 令，则以为圆心，||PArP, 222 rxxyr为半径的圆的方程为?(),，, 0 22xy 圆与椭圆?交于、两点P，,,,10()abAB 22ab 22ab,2222 由?、?消去整理得yxxxxrb,，,，,20 002a 22ax0 由韦达定理得，xxaa，,,,()22 1222ab, 2222ab,ab, ?,,,x 0aa 设，、，，的中点为、AxyBxyABMmn()()() 1122 ?，xxmyyn，,，,22 1212 2222xyxy1122 又、两点在椭圆上，AB，,，,11 2222abab ()()()()xxxx，,yyyy，,12121212 则两式相减得，,022ab yy,mx,120 将及，代入整理得：,,xxmyyn，,，,22 1212xx,n12 2222，xx,,abab12 xm,,?，下略 0222aa 这种解题方法通常叫做“端点参数法”或叫做“设而不求”。 用心 爱心 专心 119号编辑 9 33 例7. 设椭圆的中心是坐标原点，长轴在轴，离心率，已知点，xeP,()0 22 到这个椭圆上的点的最远距离是，求这个椭圆的方程，并求椭圆上到点的7P 距离等于的点的坐标7 设椭圆的参数方程为 xa,cos,，, ()其中，ab,,,,002,,,yb,sin,, 2cb322 由，得e,,,,,1()ab2 2a4a 设椭圆上的点，到点的距离为()xyPd 3222 则dxy,，,()2 3222 ,，,abcos(sin),,2 1222 ,,，，，3b(sin),43b2b 11 如果即,,1b2b2 3222 那么当时，取得最大值sin()(),,,,，17db 2 311 由此得与矛盾bb,,,,7 222 11222 因此必有，此时当时，取得最大值,,,,，1sin(),db743 2bb2 解得，ba,,12 x,2cos,, 所求椭圆的参数方程是,y,sin,, 用心 爱心 专心 119号编辑 10 13由，?sincos,,,,, 22 11 求得椭圆上到点的距离等于的点是，与，P73()(),,,322 22xy 设所求椭圆的方程为，,,,10()ab 22ab 2cb3b122 由，解得e,,,,,1() 2a4a2a 设椭圆上的点，到点的距离为()xyPd 3222 则dxy,，,()2 2a3222 ,,，,ayy() 22b 922 ,,,，，334yyb4 122 ,,，，，3()yb432 1 其中，如果，则当时,,,,,,bybbyb2 3222 db取得最大值()()7,，2 311 解得与矛盾bb,,,,7222 1 故必有b,2 1222 当时，取得最大值ydb,,,，()7432 解得，ba,,12 2x2 所求椭圆方程为y，,1 4 11 由可求得到点的距离等于的点的坐标为?，yP,,,73() 22 椭圆的参数方程是解决椭圆问题的一个工具，但不是所有与椭圆有关的问题必须用 参数方程来解决。 用心 爱心 专心 119号编辑 11 22xy 1. 已知椭圆，,,,10()ab的焦点坐标是是FcFcPxy()()(),，和，，，00120022ab 椭圆上的任一点，求证：率。 ||||PFaexPFaexe,，,,，，其中是椭圆的离心1020 22xy 2. 在椭圆上求一点P，使它到左焦点的距离是它到右焦点距离的两倍。 ，,1259 ||4333xy,,22 3. 椭圆的长轴长是___________。 ()()xy，，,,1110 22yx 4. 椭圆，,,,,,10000()()()()的两焦点为，，，abFcFcc，离心率1222ab 3e,，焦点到椭圆上点的最短距离为，求椭圆的方程。 23,2 2 5. 已知椭圆的一个焦点是F（1，1），与它相对应的准线是，离心率为，xy，,,402求椭圆的方程。 22yx 6. 已知点P在椭圆，,,,10()abFF、||||PFPF?上，为椭圆的两个焦点，求121222ab 的取值范围。 22xy 7. 在椭圆内有一点A（2，1），过点A的直线l的斜率为－1，且与椭圆交于B、，,1t8 C两点，线段BC的中点恰好是A，试求椭圆方程。 22xy 8. 已知椭圆，在椭圆上求一点M，使它到两焦点距离之积为16。 ，,12516 22 9. 如图，已知曲线493600xyxy，,,,()，，点A在曲线上移动，点C（6，4），以AC为对角线作矩形ABCD，使AB?x轴，AD?y轴，求矩形ABCD的面积最小时点A坐标。 用心 爱心 专心 119号编辑 12 22xy椭圆， 1. 证明：的两焦点，相应的准线方程FcFc()(),，、，00,,,10()ab1222ab 22aa分别是x,,,和x。 cc ?椭圆上任一点到焦点的距离与它到相应准线的距离的比等于这个椭圆的离心率， ||||PFPF12 ?。 ,，,ee22aa，,xx00cc 化简得||||PFaexPFaex,，,,，。 1020 点评：||||PFPF、都是椭圆上的点到焦点的距离，习惯称作焦半径，12 ||||PFaexPFaex,，,,，称作焦半径公式，结合这两个公式，显然到焦点距离最远（近）1020 点为长轴端点。 2. 解：设P点的坐标为（x，y），F、F分别为椭圆的左、右焦点。 12 25 ?椭圆的准线方程为， x,?4 ||||PFPF12 ? ,2525xx，,44 ?||||PFPF,2 12 ||||PFPF22522 ,x,?，?252512，x,x44 2225xy 把代入方程x,，,1 12259 119 得?y, 4 25119 因此，P点的坐标为()，?。 124 点评：解决椭圆上的点到两焦点的距离（焦半径）问题，常利用椭圆的第二定义或焦半径 公式。如果利用焦半径公式，应先利用第二定义证明焦半径公式。 32 3. 3 解析：椭圆的方程可写成 用心 爱心 专心 119号编辑 13 22()()xy，，,111 ， ,||4333xy,,2 5 c1 ? ? ,a2 一个焦点是（－1，1），相对应的准线方程是， 43330xy,,, 2a||,,,4333 ?c,,,8 ? c5 1632 由?、?得。 aa,,，?233 4. 解：?椭圆的长轴的一个端点到焦点的距离最短， ? ac,,,23 c3 又e,,， a2 ?，故ab,,21 2y2 ?椭圆的方程为x ，,14 5. 解：设P（x，y）为椭圆上任意一点， ?椭圆的一个焦点是F（1，1）， 2 与它相对应的准线是，离心率为， xy，,,402 22()()xy,，,112 ? ,||xy，,42 2 222 ?41414()()()xyxy,，,,，,， 22 即33280xyxy，,,,为所求。 2a 6. 解：设Py,?()xy，，椭圆的准线方程为，不妨设F、F分别为下焦点、上焦点 1200c ||||PFPFcc12 则,，, 22aaaa，,yy00cc cc ?，||||PF,，,,yaPFay 1020aa 用心 爱心 专心 119号编辑 14 cc ??||||()()PFPFa,，,yay1200aa 2c22 ,,ay 02a ?， ,,,aya0 2 ?当||||PFPFa?最大，最大值为时， y,0120 222 当yaPFPFacb,,,?时，?最小，最小值为|||| 012 22 因此，[]ba，||||PFPF?的取值范围是 12 7. 解：设直线l的方程为 yx,,,,12() ()yx,,,,12，,,22 由消去y ,xy，,1,8t, 2 得()txxt，,，,,8487280， xx，2412 由已知，，解得， ,,2t,42t，8 22xy ?椭圆方程为，,1 84 8. 解：设M（x，y），由椭圆方程得abc,,,543，，， 3 ?e,5 92222 故， 1625,,，,,,,,||||()()MFMFaexaexaexx?1225 ?x=?5。 代入椭圆方程，得y， ,0 ?所求点M为（5，0）或（－5，0） , 9. 解：设A(cossin)32,,，，,,()0，， 2 则BCD(sin)()(cos)626434，，，，，,,， ?SABAD,,,,||||(cos)(sin)?6342,, ABCD ,,，，24126(sincos)sincos,,,,， 2t,1 令tt,，,,sincos(]sincos,,,,，则，，12， 2 用心 爱心 专心 119号编辑 15 2St,,，329() ABCD ,3 当时，，此时，，tSA,,,,227122,()22min42 用心 爱心 专心 119号编辑 16