圆中的角平分线问
题
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目的及
要求
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：1、通过角平分线解决圆中的几何证明问题。
2、熟练运用相关的
定理
三点共线定理勾股定理的证明证明勾股定理共线定理面面垂直的性质定理
、推论进行解题。
教学过程：
一、复习提问：
在∠AOB中，OP平分∠AOB，(1)如图1，PA⊥OP于点A，PB⊥OB于B，求证：PA＝PB
(2)如图2，若PC＝PB，PA⊥OA，求证：OB＋OC＝2OA
小结：在有角平分线的习题中，我们常用角平分线的性质向角的两边作垂线，得到三角形全等。
二、例题讲解：
例1：如图，⊙O的直径AB＝10㎝，弦AC＝6㎝，∠ACB的平分线交⊙O于D，
①求BC、AD、BD的长；
②求CD的长
③若∠ACB＝60°，CD仍为角平分线，求AC＋BC与CD之间的关系。
练习
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一：如图，已知，点O1在x轴正半轴上，⊙O1交x轴于C、D两点，交y轴于AB两点，OC＝1，OA＝
，
①如图1，求
的值；
②如图2，若P点在
上运动，那么
的值会变化吗？若不变，求其值。
小结1：一般的，在圆内接三角形中，若出现三角形的内角平分线，那么一般来说，角的两边之和与角平分线的比为定值。
例2：如图，⊙O的内接△ABC的外角∠ACH的平分线交⊙O于D，OP⊥AC于P，DH⊥BH于H，求证：①CH＝CP；
②
＝
；
③AP＝BH；
④若∠ACB＝60°，其它条件不变，
是否为定值。
练习：如图C（3，0），点M为y轴上一动点，过M、C两点的⊙O1交x轴于另一点N，又点A为优弧
上一动点，
＝
，连接NM，
求证：①MN平分∠ANO；
②AN－ON的值是发生变化？若不变，求其值。若变化，说明理由。
小结2：一般的，在圆内接三角形中，若出现三角形的外角平分线，那么一般来说，内角的两边之差与外角的角平分线的比为定值。
课堂练习：
1、如图，AB是⊙O的直径，AB＝10，∠ADE＝60°，DC平分∠ADE，
①求AC、BC；
②求
的值。
2、如图、AD是△ABC外角∠EAC的平分线，AD与△ABC的外接圆于点D，
①求证：DB＝CD
②设AC＞AB，作DF⊥AC于F，求证：AC－AB＝2AF
3、如图，△ABC内接于⊙O，OD⊥BC，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，
①BE与CF的关系如何？证明你的结论。
②求证AC＋AB＝2AF
4、已知在△ABC中，D为AC上一点，且AD＝DC＋CB，过D作MD⊥AC交⊙O于M，
求证：M为优弧AB的中点
5、如图，P（1，1），圆经过点O、P，交坐标系于点A、B，I为△AOB的内心，IQ⊥AB于点Q，求AQ－BQ的值。
6、已知：AD是⊙O的直径，AB、AC为弦，且AB＝AC，
①如图（1），求证：直径AD平分∠BAC；
②如图（2），若弦BC经过半径OA的中点E，F是
的中点，G是
的中点，⊙O的半径为1，求弦GF的长；
③如图（3），若弦BC经过OA的中点E，F是
的中点，P为劣弧
上一动点，连PA、PB、PD、PF。下面两个结论：①PA＋PB＋PD＋PF为定值；②
为定值，其中有且只有一个是正确的，请你判断哪一个是正确的，并求出这个定值。
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