妙用二元均值不等式证明不等式

妙用二元均值不等式证明不等式 . 霉 陕西省咸阳师范学院安振平 二元均值不等式的应用十分广泛,无论历年的高 考试题,还是各级各类数学竞赛试题,都有重要应用. 本文意在探讨如何妙用二元均值不等式的各种变形 证明一些不等式. 1z.+?2xy(x,yER) 例1设AABC的三边长为a,b,C,面积为?,则 rain{丽,,}?2?2?. 证明:不妨设.?6?c,则由二元均值不等式和正 弦函数的有界性,得 rain{,,}?~/6+c ?2??妻sinA一24ga. 所以,niln{丽,,雨}?2?2?. 说明:该例题是笔者新编的一个不等式.排序,是 一 种有效的增设,这有利于实现问题的转化,有利于 实现对题目的准确把握. 例2已知z,,2?R+,z.+Y+.??3xyz, 求证:x+Y+?xyz. 证明:由z+Y?2xy,得 2(a.+b.十C.)一(口.+b.)+(6.+C)+(c.+a.) ?2ab+2bc+2ca, 所以,a.+b.+C?ab+bc+ca. 从而,有(a+b+c)一口.+b.+c+2(ab+bc +ca)?3(ab+bc+ca), 即(口+6+c).?3(ab+bc+ca). 也就是ab+bc+ca.??(n+b+c)..又因为ab +6c+ca?n.+b.+c,于是有 xyz 生一 xy + yz+?5(+专+)\zz} 一 1().??() ?f巫10,xyz 所以x++2?xyz. 说明:该例题是笔者新编的.由条件不等式,来导 出结论不等式,自以为是有点意思的. 例3设z,Y,?R+,求证: ~/z.+z++~/++z.+~/2.+z+z ??3(z++). 证明:由a+b?2ab,得 2~/—.z-z-+-x—y-+-y2=万千 ?~/3(z+.)+2z+4一?3(z+Y), 即(z+). 同理(+), 再(+z). 将这3个不等式的两边相加,即可求得. 说明:一个类似的不等式:设z,Y,?R+,求证: ~/=两++ ?z+Y+z. 22xy~x+Y(z,yER) 例4已知z,,?R,A,B,C为一个三角形的 三内角,求证: .+.+.?2yzcosA+2zxcosB+2xycosC. 当且仅当一Y一时等号成立. 证明:利用三角形内角和定理,并两次应用2pq ?+q.,得 2yzcosA+2zxcosB+2xycosC 一 2yzcos[-~--(B+C)]+2X(ZCOSB+2ycosC) ?--2yzcos(B+C)++(zcosB+2ycos63 一z+2yzsinBsinC+.COSB+YCOSC ?+zesinzB+sineC+z2cos2B+c0s2C —z.+Y.+2., 所以++~2yzcosA+2zxcosB+2xycosC. 其中,等号成立的条件是不难得到的. 说明:这是一个十分有用的"母"不等式,已经有 多篇文章讨论.由此,可以得到许多着名的不等式.本 题的另一个证法是用,元二次方程的判别式法.请读 者不妨一试? 例5已知z,yER,且x=/=y,求证: l丽1,南f<I. 证明:对不等式左端绝对值里的代数式施行通分 技巧,就可以分解,游离出不等式右端的结果. i丽1一南I_ 一 I?1l — i一小 ?lz一小事 <lx-yI?(+). 只要证明+?1就可以了.由对称 性,考虑不等式左面的一个局部,显然有2itl一2?1 ? ?1.+l,I.一1+t2即?.问题得证. 说明:对称思维,同理可得,这是数学解题过程里 经常用到的方法,读者可要反复思考,琢磨与总结. 3x+?2歹(z,y6R+) 例6设正实数z,Y满足.z.+Y.一-z—Y,求证 z.q-4y.<1. 证明:由二元均值不等式,得 5y.+z?2~y4>4xy., 即z.--4y.一zy+4xy<z.+., (z+4y.)(x--y)<+Y., 从而+4y2<_1. 说明:本题是由上海的熊斌先生编拟的竞赛试 题,以上的证法是简单而优美的,但似乎难以想到. 例7设口,b,C为正数,且口+6+c?abc,证明: 口.+6.+c.~f3abc. 证明:条件口+b+c?abc变形为 bcca+?1. 结论口.+6.+f.6c变形为 +旦+(*) Occa以0 事实上,由=f:a+bl( ,. a+ . b Occc一 )\&, ???2??b一2. 即.+鱼?. 同理+?_兰_,导+?.三式叠加,得 CaO口nDoco a 十 b十c1 十 1 十 1 . 而1L . 1q1 ~ 'k/'111/lq_l+1] ??3(++) 所以,不等式(*)即原不等式得证. 说明:请将该问题和例2相比较,你会得到什么 启示? 4(z,?R+) 例8已知z,3,,?R+,求证:?歹+? +?煮>2? 证明:利用二元均值不等式2~/?口+事实上, 后++ 一 堑上上垒 2V'~-(y-Fz)2~/(+z)2~/z(z+) ?2x 十)十L 2y 十z ~ 十 2z 一 2. 接下来,可以说明不等式里等号是不成立的. 说明:如何排除不等式里的等号,请读者做出必 要的补充. 例9已知口,b,C为正数,以+b+c=21,试证: 口++1<28. 证明:通过配凑变形后,应用二元和三元均值不等 式,得n+,//+一n十?詈.26+?号?6?4c ?.+丢(号+26)+(号+6+4c). 一 号(口+6+c)一28, 当&一4b.6—4c.a+b+C一2】时,即口一】6. b一4,c一1时,不等式取等号. 说明:妙用均值不等式的关键是分拆,配凑"因 子"或"项",这是正确解题的前提.一个需要提出的问 题是,你能从字母的个数方面来推广该问题吗? 例10设a,b,cER+,试证:对于任意实数z,Y, ,有' ++?丽(? +. 证明:由二元均值不等式,得 々 |abct|ajrb,\/干干\?_zY +?字+?宁zz) 一 2 褫+2勰+2褫 ?(蒹+睾)+(+)+(毫+箍) 一 +毫. 说明:特别取n===6===c一1,由此题,可得对于任意 实数z,Y,,有X.++z.?xy+yz+z.一个值得 思考的问题是,由该例题里的"母"不等式,还能得到 哪些有意义的不等式呢? 5z?()(yER+) 例11若n,bER+,口+6—1,求证: (1)+?号; (2)南+?詈. 证明:因为n6?().一1,记t—n6,则 有?(0,抖 (1)由口+6—1,得 口+6===1—2ab,以.+6.一1—3ab.于是 +?? 甘3口(a+b2)+3b(a.+6)?4(n.+b)(n+b.) 3(n+b)+3(ab.+以.6)?4(n.+b.)+4ab +4口.6 甘3(1—2ab)+3口6?4(1—3ab)+4ab+4a.b. 4以b.一5ab+1?0 甘(4ab--1)(ab--1)?0, 汶县然成守的. 故+?号. (2)由n+b--1,得 &+b一1—2ab,n+b===1—4ab+2a.b. 于是苦+?_詈_. 甘5口(口.-+l-6)+5b(a+b.)?8(n.+6)(n+b.) 10n6+(n+b)?8(ab+口.b.)+8(a4+b) e2n6?8a.b.+3(n+b) ?2以6?8a.b.+3—12ab+6ab ?8+6t.一14+3?O ?(4,一1)(2t.+2,一3)?0.(*) ? . '厂(,)--2t.+2一3在(o,丢](二二[一1,+?)上 是增函数, . ? . ,??厂(丢)一5—3<0, 即(2t.4-2,一3)<0,而(4,一1)?0,从而不等 式(*)成立. 故+?詈. 说明:通过换元,将二元条件不等式,转化为一元 不等式,这是比较有意思的.一个深化的问题是,这 两个不等式的下界为何? 例12若口,b,C为正数,口+b+c一3,求证: (一2)(詈一2)(一2)?l一 证明:显然,所证的不等式等价于 (3—2a)(3—2b)(3—2c)?abc.(*) 由口+6+C--3,得3,口--b+c,3—6一c+a,3一C 一以+b.于是,所证的不等式等价于 (6+f一口)(c+口一b)(口+6一f)?abc.(**) 若6+c一日,c+口一6,口+6一C中有为零的,不等 式(*)显然成立; 若6+c—日,c+n—b,a+6一c中有负值的,也只 能有一个.事实上,若三个都为负值,则(b-'tl-C—n) +(c+n一6)+(口+6一c)一n+6+f<O,显然与已知 条件相矛盾;若有两个为负值,不妨设(6+c一口)<O, (c+口一6)<O,而(6+C—n)-tl-(c-].-口一6)一2c<0,这 与已知条件c)O相矛盾.从而说明在此情况之下,不 等式(*)显然成立. 若6+c一.,C+口一b,口+6一c都为正值,则由二 元均值不等式,得 (6+c一口)(c+口一b) ?『?].--C2, 即(6+c—n)(c+口一6)一C.一(6一).?c.. 同理(f+口--b)(以+6一f)?盘., (口+6——f)(6+Cma)?6. 将这3式相乘,开方,立即可得不等式(*). 综上可知所要证明的不等式成立. 说明:一个需要思考的问题:你能证明下面的不 等式吗? 若a,b,f为正数,a+b+f一3,求证: (丢一2)(吾一2)(?一2)?…b 61~1 【/1十1)(z,ER+) 例13已知X,Y,2为正实数,求证: 2xY+-- F2y+?旦 4.++2.z+z.z++2z' 证明:应用标题里的不等式,得 一-土兰 2z+Y+2'z+2yq-z.z++2z 一———————兰——一_L—————————一 (+z)++)'(x-Fy)--~(y-Fz) +研 ?(+而1)+(+1) ./】1, 十4I十J 一 丢(蔫+毒+毫)3 说明:这是笔者1996年在《中等数学》杂志上提 出的一个不等式,许多杂志做了一些探讨,这里的证 明也许是简单新颖的. 例14已知若a,b,cER+,求证: 丽ab2c+—2 a + a ?4ktt+6+c).口+6+.+6+f'++ c 0l. 证明:应用二元均值不等式,得 砸ab一ab而~abI/1+),口+6+2c(c+口)+(6+c)4\c+口.6+c/' 即?丢(+). 同理?丢(+), ca<~ 4 1{ 口 ca aZr-2b+c~-+).4\口十J. 将这三个不等式叠加,立知所证不等式成立. 说明:对于该不等式,你还能给出别的证明吗? 请试试你的分析问题和解决问题的技能. 7?()? 例15设z,Y,z?R+,求证: ~/+~/+,t?~(z++). 证明:由专?(x丁--Fy).,开方,变形得 (z+). 同理?(.y+), ?(z+z). 将这3个不等式的两边相加,得 ,W+,霄+~/=j=?++. 说明:这是,个常见的不等式,我们容易给出它 的多字母的推广,其证法也是类似的. 例16设a,b,C?R+,abc=1,求证: ——————————————一— L (口+1).+,//可'(6+1)z+,:日 +斋?专? 证明:由简单不等式丢?(专).,得 ~/2(z+)?z.+.,于是 (n+1)+,//研?(n+1)z-L.bz+1:nz +b.+2口+2?2口6+2以+2, 即(口+1).+~/2(6+1)?2(ab++1). 同理,可得(6+1).+干?2(+6+1), (c+1)+~/2(c+c+1). 从而————L一==二= (口+1)+~/2(6+1) +————————jL———————一一-' (6+1).+,,/__(c+1)z+~// ?(111). 注意到条件abc=1,可知 上 ab+a+1bc+b+1ca+c+] 一..—.+———旦一一一+垒 a6+a+1'abc+ab+a.abc?aq-abcq-一-ab 一—丽1十可a十ababa1—1,++'1+口6+ 口 . n+1+以6一上' 故有——————二二== (口+1)+~/2(6+1)+1 +————————————————————————一—一——————— ——————————————,' (6+1).+,'(f+1).+ , ?. 西安交通大学二附中马永锋 求二面角的大小是立体几何的一个重点,也是高 考的重点,热点问题之一.而求二面角大小的关键是 作二面角的平面角,其中三垂线法又是作二面角的平 面角最基本,最常用的方法.三垂线法就是过二面角 一 个面内一点作另一个面的垂线,利用三垂线定理 (或逆定理)作垂直于棱的射影和斜线,斜线和它的射 影所成的角就是二面角的平面角.下面通过几道高考 试题谈谈利用三垂线法作二面角的平面角的三种 类型. 1已知过二面角一个面内一点垂直于另一个 面的垂线 用三垂线法作二面角的平面角,首先看题目的已 知条件中是否已有或前一问的结论中已证或根据已 知条件易证过二面角一个面内一点垂直于另一个面 的垂线,如果有,可直接利用三垂线法作出二面角的 平面角. 例1(2007年高考数学陕 西卷理科第19题)如图1,在底 面为直角梯形的四棱锥P-AB— CD中,AD//BC,ABC一90., PA上平面ABCD,PA一4,AD =2,AB一2?,BC=6.BC图1 (I)求证:BD_l-平面PAC; (II)求二面角A-PC_D的大小. 解:(I)略. (II)设BDnAC于E,由(I)知DE.1-平面 PAC,过E作EF上PC,垂足为F,连结DF,由三垂 线定理知PC上DF'...EFD为二面角A-PC—D的 平面角. 再利用Rt?EFCcoRt/kPAC求得EF的值. 然后在Rt/kEFD中,求得tanLEFD一嚣 一, 从而可求得二面角A-PC-D的大小为 arctan 学. 评注:此题由第(I)问知DE_l-平面PAC,即已 知过二面角A-PC-D一个面PCD内一点D垂直于 另一个面PCA的垂线DE,由三垂线法直接作出二 面角的平面角EFD. 例2(2007年高考数学海南卷理科第18题)如 图2,在三棱锥S-ABC中,侧面SAB与侧面SAC均 为等边三角形,BAC--90.,O为BC中点. (I)证明:SO上平面ABC; (?)求二面角A-SOB的余弦值. 说明:这是笔者新编的不等式,当中隐藏了一个 着名的恒等式. 练习: (1)若口,b,f?R+,三次方程X.--ax.+bx--c=0 有3个实数根.求证:三一6十一1?0. (2)已知n,bER+,n+6=:=1.求证:号< +? (3)已知,,?R+,z++z?xyz.求证:X ++?z.2. (4)已知z,,2ER+,?1.求证:干X5--干X2 +赫+赫?o.'+.+z..2+z.+.. (5)若口,b,cER+,求证:—a+— a— /ab+— ~一 /abc ,.厂—? ^,/口.T.—. 不等式的证明是 高中 高中语文新课程标准高中物理选修31全套教案高中英语研修观课报告高中物理学习方法和技巧高中数学说课稿范文 数学的难点内容,如何使证 明过程中的"放大"或者"缩小晗到好处,这就需要学 会分析题意,挖掘问题里的"暗示点"."暗示点"理应 成为引领解题思维流程的风向标,以便我们恰当地选 择二元均值不等式的变形,顺利实现从条件到结论的 有效化归与转化.