定积分定义的直观诠释定积分定义的直观诠释的论文
定积分定义的直观诠释定积分定义的直观诠释的论文
定积分定义的直观诠释定积分定义的直观诠释定积分的定义在数学
分析或者高等数学中具有重要的地位,如何讲清定积分的定义,是摆
在数学老师们面前的一个课
题
快递公司问题件快递公司问题件货款处理关于圆的周长面积重点题型关于解方程组的题及答案关于南海问题
。在教学中讲授这部分内容,对于老师
来说是比较头疼的。因为定积分不仅仅是一个概念,它还是一种思想。
即 化整为零 近似代替 积零为整 求出极限 ,这种 和的极限 的思
想在工程技术、物理及生产实践中具有普遍的意义。很多问题都可以
归结为这种 和的极限 的数学结构。如我国的人口普查,即是化整为
零,最小的统计单位为街道办或村,这些街道办和村的统计之和就形
成了最终国家的人口统计数据。为了说清这个 和的极限 的思想,教
材中往往采用曲边梯形的面积这类实际问题,来展现定积分的思想和
方法。 教学中由于没有确切的极限数字,也无法得出具体的区块面
积之和,故对于微积分的定义只能说个大概,所以只能是照本宣科的
按照定义来念,都是假设那个极限值是固定不变的存在,就称那个极
限是某函数的定积分。 mathematica 8。01已经具备这样的动画功
能,随着算法、分块的不同,分成的小区块的和也不同,但都接近于
某一个固定值,这样由具体的数据出发,学生们就容易理解定积分。
在mathematica 8。01中新建。nb笔记本文件,输入mathematica
命令: left\[f_, x_, n_, h_, type_\] := {f /。Www..COM x -
bottom\[n, h\], f /。 x - bottom\[n + 1, h\], f /。 x - bottom\[n,
h\] + 。5 h, if\[(f /。 x - bottom\[n, h\]) (f /。 x - bottom\[n
+ 1, h\]), f /。 x - bottom\[n + 1, h\], f /。 x - bottom\[n,
h\]\], if\[(f /。 x - bottom\[n, h\]) (f /。 x - bottom\[n +
1, h\]), f /。 x - bottom\[n, h\], f /。 x - bottom\[n + 1, h\]\], f /。 x - bottom\[n, h\]}\[\[type\]\] right\[f_, x_, n_, h_, type_\] := if\[type == 6, f /。 x - bottom\[n + 1, h\], left\[f, x, n, h, type\]\] bottom\[0, h_\] := 0 bottom\[n_, h_\] :=
bottom\[n - 1, h\] + h rectangle\[f_, x_, n_, h_, type_\] :=
{edgeform\[thin\], rgbcolor\[0, 1 - n/20, n/20\], polygon\[{{bottom\[n, h\], 0}, {bottom\[n, h\],left\[f, x, n,
h, type\]}, {bottom\[n + 1, h\], right\[f, x, n, h, type\]}, {bottom\[n + 1, h\], 0}}\]} estimatedarea\[f_, x_, n_, h_, type_\] := n\[sum\[abs\[ bottom\[i, h\] - bottom\[i + 1, h\]\]*(left\[f, x, i, h, type\] + right\[f, x, i, h, type\])/2, {i, 0, n - 1}\], 3\] manipulate\[ show\[plot\[f, {x, 0, 15}, plotstyle - black, plotlabel - grid\[{{"estimated area: " tostring\[estimatedarea\[f, x, n, a/n, type\]\]}, {"integral: " tostring\[n\[0a f x, 3\]\]}}\]\],论文联盟 plot\[f, {x, 0, a},
plotstyle - black,filling - 1 - {0, opacity\[。25, blue\]}\],
graphics\[{opacity\[。4\], table\[rectangle\[f, x, i, a/n,
type\], {i, 0, n - 1}\]}\], graphics\[{red, line\[{{a, 0}, {a, 150}}\]}\], imagesize - 360\], {{f, x, "function"}, {(x - 2)^2 - "(x-2\\!\\(\\*superscriptbox\[\\()\\), \\(2\\)\]\\)", (x - 3)^3 + 20 - "(x-3\\!\\(\\*superscriptbox\[\\()\\), \\(3\\)\]\\)+20", sqrt\[x\] -
"\\!\\(\\*sqrtbox\[\\(x\\)\]\\)"}, controltype - setterbar},{{type, 2, "type"}, {1 - "left", 2 - "right", 3 - "midpoint"}, controltype - setterbar}, {{a, 15, "upper limit a"}, 0。01, 15, appearance - "labeled"}, {{n, 10, "number of quadrilaterals"}, 1, 20, 1, appearance - "labeled"}, savedefinitions - true\] 运行得出下图: 上图中可以看出,在分
成30个区块后,那些区块的估计值为916。954,较接近极限值917。
333,而当滑块指到50时,估计值为917。197,可见,分得越小,
计算就越精确,也就越接近极限值。同样,当点击type中的 right (即
以小区块右边点的函数值作为高来计算小矩形的面积)按钮时,区块
的估计值为948。326,而点击左边的 left 按钮(即以小区块左边点
的函数值作为高来计算小矩形的面积),区块的估计值为886。886。
而随着区块的增加,其区块的估计值在不断的变化,区块分得越小,
计算就越精确。 通过演示,不同的函数,极限值结果不一样,不同
的算法,极限值结果也不一样,不同的区块数结果也不一样。但有一
点,区块分得越细,越接近极限值。对照定积分的定义,不管如何分,
当相邻两点间距离的最大值趋于0时,区块面积的和总趋于某个固定
值,这样,极限的定义就容易理解了。