满秩矩阵及满秩矩阵的应用
江西理工大学
满秩矩阵及满秩矩阵的应用
专业:通信与信息系统
姓名:李娜
学号:6120140151
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目录
一、满秩矩阵及满秩矩阵在矩阵分解方面的应用............ 2 1.1矩阵的秩 ........................................ 2 1.2满秩矩阵 ........................................ 2 1.3满秩矩阵的性质 .................................. 3
1.3.1行(列)矩阵的一些性质............................ 4 1.4 行(列) 满秩矩阵在矩阵分解方面的应用 .............. 6
二、满秩矩阵在保密通信中的应用........................ 8 2.1 基于满秩矩阵的保密通信模型 ....................... 8
2.1.1加密保密通信模型 ............................... 8
2.2.2满秩矩阵的应用 ................................ 8 2.2密钥的生成 ..................................... 10
2.2.1加密密钥的生成 ............................... 10
2.2.2解密密钥的生成 ............................... 10 2.3其它问题 ....................................... 10
2.3.1明文矩阵的选择 ............................... 10
2.3.2加密矩阵的选择 ............................... 11
2.3.3算法优化 .................................... 11
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一、满秩矩阵及满秩矩阵在矩阵分解方面的应用 引言
矩阵是
数学
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中的一个重要的基本概念，是现代数学的一个主要研究对象，也是数学研究和应用的一个重要工具。“矩阵”这个词是由西尔维斯特首先使用的，他是为了将数学的矩形阵列区别于行列式而发明了这个述语，而实际上，矩阵这个课题在诞生之前就已经发展的很好了。
1.1矩阵的秩
设A是一组向量，定义A的最大无关组中向量的个数为A的秩。
， 定义1 在mn矩阵A中，任意决定k行和k列交叉点上的元素构成A的一个k阶子矩阵，此子矩阵的行列式，称为A的一个k阶子式。
例如，在阶梯形矩阵中，选定1，3行和3，4列，它们交叉点上的元素所组成的2阶子矩阵的行列式就是矩阵A的一个2阶子式。
定义2 A=(a)m×n的不为零的子式的最大阶数称为矩阵A的秩，记作r(A,，ij
或rank(A)或R(A)。
特别规定零矩阵的秩为零。
显R(A)?min(m,n) 易得:
若A中至少有一个r阶子式不等于零，且在R(A)
0 ,即( BX)A(BX) > 0 ,由A正定知BX ?0 ,因此BX = 0只有零解, 故r(B) = n ,即B 是列满秩矩阵.
TTTT 必要性, 因为( BAB) = BAB ,所以BAB为实对称矩阵.由于B 是列满秩矩阵, 则r ( B) = n , 因此BX = 0 只有零解, 从而对任意的实n 维列向量X
T TT?0 , 有BX ?0 , 于是X( BAB) X > 0 , 故BAB 正定.
定理3′设A 为m ×n 实矩阵, 且m < n , 则A 为行满秩矩阵的充分必
T要条件为AA 正定.
证明方法与定理3 类似, 这里不再累述.
[4] 引理3 设A 是复数域上的m ×n 列满秩矩阵, 则A 可以唯一地分解为A
H= QR , 其中Q 是复数域上的m ×n 列满秩矩阵, 且QQ = E , R 是复数域n上的n 阶具正对角元素的上三角矩阵.
[5]TT 引理4 设A是实数域上的m ×n 列满秩矩阵,则AA可逆, 即r( A A) = n.
推论1 设A是实数域上的m ×n 列满秩矩阵, 则对于任意m 维列向量β,
TT-1T线性方程组A AX = Aβ有惟一解R Qβ, 这里Q ,R同引理3.
T 证明: 由引理3 , A = QR , 且Q Q = En , 从而,
T-1TT-1TTTTA A ( R Qβ) = ( QR)( QR) ( R Qβ) = RQβ= Aβ,
-1TTTT因此, R Qβ是线性方程组AAX = Aβ的一个解. 由引理4 , A A 可逆, 从
T TT-1T而| AA| ?0 , 于是线性方程组A AX = Aβ有惟一解, 即R Qβ.
-1T 推论2 设A 是实数域上的m ×n 列满秩矩阵, 则RQβ是线性方程组的AX =β惟一的最小二乘解,这里Q ,R同引理3.
T 定理4 若A 为实数域上的m ×n 列满秩矩阵, 则行列式| A A| > 0.
证明: 设矩阵A = ( a) m ×n , 由Binet - Canchy 公式, ij
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又因为A 为实数列满秩矩阵, r ( A) = n ,所以至少有一个n 阶子式不等于0 ,
T因此| AA| > 0 成立.
1.4 行(列) 满秩矩阵在矩阵分解方面的应用
行(列) 满秩矩阵在矩阵满秩分解、QR 分解等方面有重要应用.事实上, 这两类矩阵在一些特殊矩阵分解上也有其应用.
引理5 设A 是秩为r 的n 阶方阵, 则
B,,,1,, (1)存在可逆矩阵P , 使, 其中B 是r ×n 行满秩矩阵; ,PAP,, 0,,
C,,T,, (2)存在可逆矩阵Q , 使, 其中C 是r×n 行满秩矩阵; QAQ,,, 0,,
-1使R (3)存在n 阶可逆矩阵R , AR =( D , 0) , 其中D 是n ×r 列满秩矩阵
0 0EE,,,,rr,1,,,,,,PAPQP 证明: (1)存在可逆矩阵P 和Q , 使,则, AP,,,, 0 0 0 0,,,,
BB,,,,,1,,,,PAP令QP,, 其中B是r×n 行满秩矩阵, 于是,,. ,,,,CC,,,,
C1,, (2)存在初等矩阵S ,S ?,S ,使SS ?SS其中C是r ×n 行满秩,,A,,12ii i-1211,, 0,,
C,,1TTTTT T,,,QA矩阵, 令Q =SS ?SS ,即 , 则Q = S S?S S 于是，i i-12112 i-1i,, 0,,
CC,,,,1T,,,,,,QAQQ,其中C = C Q ，Q 是可逆矩阵， 故r(C)= r ( C) = r , 从11,,,, 0 0,,,,
而C 也是r ×n 行满秩矩阵.
(3)可用(1)相仿的方法证明.
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T 定理5 n 阶实对称矩阵A 正定的充分必要条件是A 有分解式A = PP , 其中P 是m ×n 列满秩实矩阵.
证明: 充分性, 由于r ( P) = n , 因此线性方程组PX = 0 只有零解. 从而
TTTT对于任意n 维非零实向量α,有Pα?0 ,于是,α Aα=αP Pα= ( Pα) ( Pα) > 0 , 所以A 正定.
T 必要性. 因为A 正定, 所以存在n 阶可逆矩阵C , 使得A=CC.令
CC,,,,TTT,则P 是m ×n 列满秩实矩阵, 且. ,,,,PP,，，C 0,CC,A,P,,,,00,,,,m，n
类似地, 我们可以得到:
T 定理6 n 阶实对称矩阵A 半正定的充分必要条件是A 有分解式A = PP , 其中P 是m ×n 行满秩实矩阵.
定理7 设A 是秩为r 的n 阶方阵, 则A 是幂等矩阵的充分必要条件是A 有分解式A = BC , 其中B 是n×r 列满秩矩阵, C 是r ×n 行满秩矩阵, 且CB = Er .
2证明: 充分性显然, 只需证必要性. 由A = A 可知, 存在n 阶可逆矩阵
EE 0E,,,,,,rrr,1,1,,,,,,，，，，A,PEPPAP,,E 0 ,于是 0,令P , 使 rr,,,,,, 0 0 0 0,,,,,,
E,,r-1,,,，C = ( E ,0) P , 则A = BC , B 是n ×r 列满秩矩阵, C是r ×n 行BPr,, 0,,
满秩矩阵, 且CB = E . r
定理8 设A 是秩为r ( r ?0) 的n 阶方阵, 则A 是对称矩阵的充分必要条
T件是A 有分解式A = HSH ,其中H 是n ×r 列满秩矩阵, S 是r 阶对称且可逆矩阵.
证明: 充分性易知, 仅证必要性. 由引理5, 存在n 阶可逆矩阵P, 使
BB,,,,TTTTT,,,,PAP,(PAP),PAP,, 其中B是r ×n行满秩矩阵,因为A=A,故, ,,,,00,,,,
TBS TS TS T,,,,,,,,T,,,,,,,,,,设,其中S 为r 阶方阵,于是,因此, 则S = ,,,,,,,,0 00 000 0,,,,,,,,
S 0,,T,,PAP,S ,T = 0 , 且r ( S ) = r ( A ) = r . 从而, , 所以，,,0 0,,
ES 0,,,,r,1,1,1,1TTT-1,,,,，，()() 0A,PP,PSEP , 令H = ( E ,0) P ， 则 rr,,,,0 00,,,,
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TA = HSH , 其中H 是n ×r 列满秩矩阵, S为r 阶对称且可逆矩阵。
二、满秩矩阵在保密通信中的应用
前面讲到了，满秩矩阵即可逆矩阵，所以它们有相同的性质。 2.1 基于满秩矩阵的保密通信模型
保密通信是当今信息时代一个非常重要的课题(无数的科技工作者为此做了大量的工作，先后提出了许多较为有效的保密通信模型(其中，基于加密技术的保密通信模型是其中最为基本而且最具活力的一种(
2.1.1加密保密通信模型
基于加密技术的保密通信模型如下:
秘钥
明文串 加密盒 密文串
(发送方)
秘钥
明文串 解密盒 密文串
(接收方)
发送方采用某种算法将明文数据加密转换成密文数据后发送给接收方，接收方则可以采用相对应的某种算法将密文数据解密转换成明文数据(
2.2.2满秩矩阵的应用
显然一种加密技术是否有效，关键在于是密文能否还原成明文(
设有矩阵方程C=AB，其中B为未知矩阵(我们知道，如果A为可逆矩阵，
-1 -1 则方程有唯一解B=AC,其中A是A的逆矩阵(
因此，可逆矩阵可以有效地应用于加密技术(
设A为可逆矩阵，B为明文矩阵，C为密文矩阵(
(1)加密算法
加密时，采用下面的矩阵乘法:
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C=BA 或C=AB(
例如，设加密密钥矩阵A为
3 -2 0 -1,,,,0 2 2 1,, ,,1 -2 -3 -2 ,,,,0 1 2 1,,明文矩阵B为
3 2 1 1 4,,,,2 5 2 1 5,, ,,4 -3 4 -2 6,,,,1 2 3 3 7,,
则密文矩阵C等于
3 -2 0 -13 2 1 1 44 -6 -4 -2 -5,,,,,,,,,,,,0 2 2 12 5 2 1 513 6 15 1 29,,,,,,=. ,,,,,,1 -2 -3 -2 4 -3 4 -2 6,15 -3 -21 -1 -38,,,,,,,,,,,,0 1 2 11 2 3 3 711 1 13 0 24,,,,,,
(2) 解密算法
解密时，采用下面的矩阵乘法:
-1-1 B=CA 或B=AC，
-1 其中，A为A的逆矩阵(
1 1 -2 -4,,,,0 1 0 -1 ,,-1 例如，针对上面的加密密钥矩阵A，解密密钥矩阵A为; ,,-1 -1 3 6,,,,2 1 -6 -10,,
7 7 8 9 6,,,,5 7 6 6 9,,如果密文矩阵C为 ,,1 3 2 1 2,,,,1 2 1 1 1,,
则相应的明文矩阵B应等于
1 1 -2 -47 7 8 9 66 0 6 9 7,,,,,,,,,,,,0 1 0 -1 5 7 6 6 94 5 5 5 8,,,,,,=. ,,,,,,-1 -1 3 61 3 2 1 2-3 7 -2 -6 -3,,,,,,,,,,,,2 1 -6 -101 2 1 1 13 15 0 8 -1,,,,,,
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2.2密钥的生成
如何快速而有效地构造一个可逆矩阵作为加密密钥和求出其逆矩阵作为解密密钥是利用可逆矩阵实现保密通信的关键(
2.2.1加密密钥的生成
我们知道，初等矩阵都是可逆的，而且初等矩阵的乘积仍然是可逆的(因此，我们可以考虑利用若干个初等矩阵的乘积作为加密密钥(
这种做法的好处是，我们可以自由地选择初等矩阵的数量和每个初等矩阵的类型，以及由单位矩阵得到初等矩阵的具体初等变换.
在实际应用中，可以通过对单位矩阵连续施加一序列所选择的初等变换得到加密矩阵(
根据文献[3]，通常所谓的矩阵的三种基本类型的初等变换:
1)交换两行或两列;
2)数乘某一行或某一列;
3)将某一行(或某一列)的K倍加到另一行(或另一列)上， 实质上只有2)和3)两种是独立的，1)可以通过2)和3)来表示(
2.2.2解密密钥的生成
-1-1-1-1-1设A=PPP ?P ，其中P只是初等矩阵，则 A=P?PPP，其中123nin321-1P是P的逆矩阵( ii
设P是对单位矩阵I做初等变换K得到的初等矩阵，则只需对单位矩阵Ii
-1做K的逆变换即可得到P( i
显然，在实际应用，生成解密密钥只需要再次利用生成加密密钥时的变换矩阵对单位矩阵做一序列的初等逆变换即可(
2.3其它问题
除了密钥矩阵的生成这一基本问题以外，在利用可逆矩阵实现保密通信时，还有一些问题值得我们探讨(
2.3.1明文矩阵的选择
-1-1 如果明文矩阵B为方阵，则当B为可逆矩阵时有:A=BC或A=CB，其中-1B为B的逆矩阵(因此，如果窃密者以某种方式窃取到一对明文和相应的密文，碰巧其中的明文矩阵可逆，那么窃密者可以轻而易举地破解密文(
鉴于以上考虑，在实际应用时，明文矩阵不要采用方阵(
另外，在实际应用中，明文并不总是恰好可以分成整数个矩阵，出现这种情况时需要补充一些数据(补充的数据可以是有意义的，也可以是无意义的(有时，
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我们可以利用这些附加数据来达到某种特殊的效果，比如数据的完整性检验等(
2.3.2加密矩阵的选择
设C=AB，根据矩阵乘法的定义，乘积矩阵C中第i行第j列的元素C，等ij于矩阵A中第i行的所有元素与矩阵B中第j列的对应元素之积的累加和(
因此，利用可逆矩阵来实现保密通信的另一个问题是，如果加密矩阵选择得不好，密文矩阵的元素长度会急剧膨胀(
为了避免出现这种情况，加密矩阵A最好满足以下条件:
对任意的明文矩阵B，密文矩阵C中的每一个元素的长度都不超过明文矩阵B中对应位置上的元素的长度(
或者退而求其次:
对任意的明文矩阵B，密文矩阵C中所有元素的总长度不超过明文矩阵B中所有元素的总长度(那么这时的加密算法同时也是一种较好的压缩算法(
2.3.3算法优化
设加密矩阵A为n阶矩阵，明文矩阵B为n行m列矩阵，利用“向量”的有关知识，密文矩阵C的第i行(行向量)C(i=1，2，?，n)可以表示为i
C=AB+AB+ ?+AB,其中A(j=1，2，?，n)为矩阵A的第i行第j列位置ii11i22in n ij
上的元素，而B则为矩阵B的第n行(行向量)( n
显然，密文矩阵的每一个行向量都是明文矩阵的所有行向量的一种线性组合，其组合系数正好是加密矩阵的相应行上的所有元素(
根据矩阵乘法的定义直接计算密文矩阵时，计算密文矩阵的每个元素需要做
2n次乘法和n-1次加法，因此计算整个密文矩阵总共需要mn次乘法和mn(n-1)次加法(
利用上述线性组合关系来计算密文矩阵时，计算密文矩阵的每行元素需要做
2mn次乘法和m(n-1)次加法，因此计算整个密文矩阵也总共需要mn次乘法和mn(n-1)次加法(
但是，如果加密矩阵中含有一定数量的0元素，则利用线性组合来计算密文矩阵就有较大的优势(加密矩阵每增加一个0元素，计算密文矩阵就要少做m次乘法和m次加法(
在实际应用中，加密矩阵一般都含有一定数量的0元素(
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[参考文献
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对老师的看法、意见、建议和评价
矩阵论是一门很重要的学科，在很多方面都涉及到了，但是它也比较难，矩阵论也学完了，老师总体讲得很详细也很清楚，而且老师也很负责，给我们布置、批改、讲解作业，但是个人感觉还是不是特别懂，可能是我线性代数底子本来就不好的原因吧～尤其是第一章，内容题目都很灵活、多变，很难把握，而且现在来看书好多课后习题都还不会，我觉得老师在讲第一章时应该边讲内容边讲题目，这样我们会更好理解、更好把握点，只是一味的学理论感觉好抽象，我们不懂的老师应该在黑板上写出来讲详细点，我们才能理解。其他章节还挺好理解的，老师也讲得通俗易懂。对老师也没什么别的意见了。
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