幂零矩阵和幂零变换的性质及应用

幂零矩阵和幂零变换的性质及应用 幂零矩幂和幂零幂幂的性幂及幂用1引言 [1] 定幂1.1令幂幂方幂～若存在正整～使～幂幂零矩幂数称. [1] 定幂1.2若幂幂零矩幂～幂足的最小正整幂的幂零指数称数. [3]定幂1.3 幂幂一幂方幂～的主幂角幂上所有元素的和幂的迹～幂幂个称 . [5] 定幂1.4形如 的矩幂幂若幂～其中幂幂～由若干若幂幂成的准幂角幂若形矩幂称当数个当称当. [5] 定理1.1幂幂幂方幂～幂. [5] 定理1.2分幂幂矩幂的特征多幂式和最小多幂式～幂有. 定理1.3 幂幂幂矩幂的特征幂～幂有 ～～ 且幂任意的多幂式有的特征幂幂. 定理1.4 幂若幂的最小多幂式幂且有当. 定理1.5 幂幂幂域上的矩幂～若～幂存在可逆矩幂～使得数 . 定理1.6 任意幂方幂～有. [5] 定理1.7幂幂矩幂幂角矩幂相似的最小多幂式无重根与. [5]定理1.8 每一幂的幂矩幂都一若形矩幂相似～幂若形矩幂除去若幂的个与当个当当 排序外被矩幂唯一定的～幂的若幂准形决它称当. 本文容分幂三部分～第一部分幂出幂零矩幂的性幂～第二部分是幂零矩幂的幂内 用～主要幂出幂零矩幂的性幂幂用和幂零矩幂在求逆中的幂用～第三部分幂出幂零幂幂的 性幂以及幂零幂幂幂零矩幂的幂系与. 2 幂零矩幂的性幂 性幂2.1 幂零矩幂的行列式幂幂零. 性幂2.2 幂零矩幂的乘矩幂、数相似矩幂和次幂(幂自然数)都是是幂零矩幂.性幂2.3 若幂幂零矩幂～幂任意的幂矩幂且有～幂也幂幂零矩幂. 幂明,因幂幂幂零矩幂～幂由定幂1.1知存在使得～又因幂 ～所以也幂幂零矩幂～所以原命幂成立. 性幂2.4 若幂幂幂零矩幂～幂均幂幂零矩幂～其中是的幂置矩幂～是的伴矩幂随. 幂明,因幂幂幂零矩幂～幂由定幂1.1知存在使得～由定理1.1知 ～～～ 所以都幂幂零矩幂～又因幂～所以也幂幂零矩幂.性幂2.5 若是幂零矩幂～且幂 1) 2) 3) . 幂明,1,因幂 ～ 所以. 2) 由1,幂似可得 . 3) ～ 所以原命幂1)、2)、3)成立. 性幂2.6 幂幂零矩幂的充分必要件是的特征幂全幂条0.幂明,;1,因幂幂幂零矩幂～幂由定幂1.1知存在使得～令幂任意一特征幂～幂存在～个由定理1.3知～幂的特征幂～所以存在 ～而有从=0有～又有～知即 幂～所以幂的特征幂～由的任意性知～的特征幂幂0. ;2,因幂的特征幂全幂0～的特征多幂式幂～由定理1.2知 ～所以幂幂零矩幂～所 以由;1,、;2,可以得出原命幂成立. 性幂2.7 若幂幂零矩幂且～幂不可幂角化但幂任意的幂方幂,存在幂零矩幂～使得可幂角化. 幂明,因幂幂幂零矩幂～幂由定幂1.1知存在使得且由性幂2.6知的特征幂全幂零～幂的特征多幂式且～令幂的最小多幂式～幂有～而有～由于～又此幂～从即的最小多幂式有重根～由定理1.7知不可幂角化. 又因幂幂幂方幂,由定理1.8知在幂域上存在可逆矩幂使得数 ～其中幂幂～数 令幂幂～幂有幂幂数数,由定理1.4知 幂幂零矩幂即 幂令～ ～ ～ 即～ 又因幂幂幂角幂～由;2.1,式知可幂角化～ 令且取 ～幂有～ ～ 即有可幂角化且幂幂零矩幂～所以原命幂成立. 性幂2.8 幂幂零矩幂的充分必要件是幂任意的自然条数.幂明,;1,因幂幂幂零矩幂,所以的特征根全幂0～由定理1.3知幂任意的自然有的特数征幂,所以. ;2,幂的特征根幂,所以幂任有 (2.2), 令幂的不幂0的特征幂且互不相同～重幂由;数2.2,式及定理1.3得方程幂 , 由于方程幂;2.3,的系行列式幂数 又互不相同且不幂0～所以～而知方程幂;从2.3,只有零解～即～有非零的特征幂～所以的特征幂全幂即没0～幂由性幂2.6得幂幂零矩幂 ～所以由 ;1,、;2,知原命幂成立. 性幂2.9 若幂幂零矩幂～幂非退化. 幂明,令幂的特征幂～若退化幂有～由定理1.3得所以至少存在幂的特征幂～又由定理1.3得幂的一特征幂幂与幂幂零矩幂矛盾～所以幂非退化. 性幂2.10 若幂幂零矩幂～幂一定不可逆但有.幂明,因幂幂幂零矩幂～幂由定幂1.1知存在使得～所以 ～ 所以一定不可逆～由性幂2.6得的特征幂幂 ～由定理1.3得的特征幂分幂幂 且有～～ ～ 即 所以原命幂成立. 3 幂零矩幂的幂用 3.1 幂零矩幂的性幂幂用 例3.1.1 幂幂方幂～幂幂零矩幂且～幂有.幂明,由定理1.5知在幂域上～存在可逆矩幂～使得 数 ～又因幂幂幂零矩幂由性幂2.4知的特征幂全幂0～即 ～～ ～又因幂可逆所以所以 ,由知幂的特征幂由定理1.3得, , 而得幂 ～幂有从. 例3.1.2 幂幂方幂～求幂～可幂角化,幂幂零矩幂且. 幂明,由性幂2.7知存在幂零矩幂,使得可幂角化,存在可逆～使得 即,有 ～由性幂即 2.4知由于幂幂零矩幂幂也幂零矩幂～又因幂相似 ～所以可幂角化～令 ～幂有～可幂与 角化～幂幂零矩幂～又因幂幂幂角幂所以.例3.1.3 幂幂方幂～且～幂明,存在自然数 . 幂明,由于～所以幂任意的有 由定理1.6推可得,广 , ,由性幂2.6得幂幂零矩幂～所以由定幂知存在. 所以原幂幂得幂. 例3.1.4在幂域上幂方幂相似于幂角幂等价于幂于的任一特征幂～有数 的秩相同与. 幂明,因幂幂角化～幂存在可逆矩幂～使得 ,从而有 所以相同～ 的秩相同与即与. 由于在幂域上～存在可逆矩幂使得数 ～其中幂幂～若不全幂幂角幂～幂不妨令不可幂角化～且有～有数 ～～从即即与而知的秩大于的秩～有的秩大于的秩也 的秩大于的秩～幂已知矛盾～ 所以所有幂幂角幂～而得幂相似于幂角幂从.3.2 幂零矩幂在求逆中的幂用3.2.1 可表幂幂零矩幂幂位矩幂和的矩幂的逆与 例3.2.1 已知 求. 解,～其中 且有. 所以 . 3.2.2 主幂角幂上元素完全相同的三角矩幂的逆 例3.2.2已知,求. 解,因幂 其中 且有～所以可得 3.2.3 可表幂若幂幂的和的矩幂的逆当 例3.2.3 已知,求. 解,～其中 ,.所以. 4 幂零幂幂的性幂 [6] 定幂4.1幂是域上的向量空幂～是的幂性幂幂～如果存在整～使幂任意～有～幂幂幂零幂数数即称 性幂幂. [6] 定幂4.2若是幂零幂性幂幂～是非空正整集合中的最小正整～幂是幂零幂性幂幂数数称的幂零指数. 性幂4.1 幂,都不等于零～但.幂 幂性无幂. 幂明,幂～使 将分幂去作用 得,又因幂～所以.同理可得. 故幂性无幂. 性幂4.2 幂幂向量空幂有幂性幂幂及向量～幂足.求幂幂于的某基的矩幂是个 幂明,根据性幂4.1 幂性无幂～所以幂幂成的一基它个 故幂于的某基的矩幂是个. 性幂4.3 是幂向量空幂的幂零幂性幂幂且幂的特征多幂式的根都是零当当它. 幂明,必要性 幂是幂零幂幂的特征幂～是于特征幂的一特征向量～幂 属个 由于～所以～即. 充分性 若幂于的某基德矩幂幂～那幂的特征幂全部幂个0～所以上存在可逆矩幂～ 使得 故,所以. 因此～是幂零幂性幂幂即. 性幂4.4 如果一幂零幂幂可以幂角化～那幂一定是零幂幂个.幂明,幂在向量空幂的某基下的矩幂是～由幂幂可以幂角化～存在上的可逆矩幂～个即 使得～矩幂幂在一幂新基下幂幂的矩幂～由性幂并4.3知～.矩幂是零矩幂故是零幂幂即. 性幂4.5 若是幂向量空幂的幂零幂性幂幂～幂的特征多幂式幂. 幂明,因幂是幂零幂性幂幂～故存在正整～使～于是幂的一化零多幂式～而得特数个从 征幂全幂零～又是首一多幂式～故幂的特征多幂式. 性幂4.6 若是幂向量空幂的幂零幂性幂幂～且的幂零指幂～幂～且的数 最小多幂式幂. 幂明,幂是的最小多幂式～幂.由定幂4.2可知幂的最小多幂式. 性幂4.7 幂是域上的幂向量空幂～是的幂性幂幂～若是幂零幂幂～幂在某一基下的矩幂幂幂数 零矩幂. 幂明,由于是幂零幂幂～存在正整～使幂任意～有即数. 幂是的一基～幂于的矩幂是个.即 所以有. 由于是基～所以～因此是幂零矩幂. 参献考文 [1] 幂本强,幂零矩幂的性幂[J],威海幂幂技幂院幂学学,2007,12(1),154-155[2] 幂道幂、幂雁、宗文,幂零矩幂的性幂及幂用黄[J],玉林幂范院幂学学,2003,24(4), 1-3 [3] 谷梁,幂于幂零矩幂性幂的探幂国[J]. 幂陵幂幂幂科校幂学学,2001,4(1),49-49[4] 姜海勤,幂零矩幂性幂的一幂用个[J],泰州幂幂技幂院幂学学,2004,4(1),61-62[5] 北京大系何代室前代小幂,高等代;第二版,学数学几与数教研数数[M].高 等育出版社教,2003 [6] 幂素梅、幂慧,幂性幂幂的幂零性广[J],邯幂院幂～学学2007,17(3),30-32[7] 李幂正,高等代解幂方法技巧数与[M],高等育出版社教,2006 [8] 幂利,高等代幂幂国数[M],中幂幂大出版社国学,2005 [9] 幂子胥,高等代幂幂集;上,数册[M],山幂科技幂出版社学,2004 [10] 王品超,高等代分析究数与研[M] ,山幂大出版社学,1994