正切函数图像与性质
课 题 正切函数的图象 已知三角函数值求角
教学目标 掌握正切函数的图像和性质，已知三角函数值会求角。
重点:正确函数的性质 重点、难点
难点:已知三角函数求角
借助图象理解正弦函数、余弦函数在，正切函数在上的性质(如单调考点及考试
要求
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性、最大和最小值、图象与x轴交点等);
已知三角函数值，会求出所对应的角。
教学
内容
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一、内容概述
(一)正切函数的图象
1、“三点两线法”作上的简图.
2、左、右平移π的整数倍即得正切曲线.
注:正切曲线是被互相平行的直线所隔开的无穷多支曲线组成的.
与正弦函数y=Asin(ωx，)的图像变换方法类似，可由y=tanx的图像变换得到y=Atan(ωx，)( ω>0,A>0)的图像(需要注意的是，渐近线由，k?Z求出;与x轴的交点由ωx， =kπ，k?Z求出(实质上只需
变换y=tanx在区间上的图像，然后向左、右扩展即可(进一步地可研究y=Atan(ωx，)的性质( (二)函数y=tanx与y=tan(ωx，φ)的性质对比:
函数 y=tan(ωx，φ)(ω，0) y=tanx
定义域
值域 (-?,，?) (-?,，?)
周期性 T=π
，奇函数
奇偶性 奇函数
时，非奇非偶
单调性 增区间
对称中心 (三)已知三角函数值求角
1、已知三角函数值求角，实际上是解一个最简单的三角方程，如果对角的范围不限定在该三角函数的单调区间内，
则得出的解不是唯一的(
2、已知三角函数值求角的解题步骤是:
?确定角x所在的象限;
?若函数数值为正，先求出对应的锐角α;若函数值为负，先求出与函数值的绝对值对应的锐角α;
?根据角x据的象限，得出0,2π间的角x:
若x在第一象限，则x=α;
若x在第二象限，则x=π,α;
若x在第三象限，则x=π，α;
若x在第四象限，则x=2π,α(
?如果要求适合条件的所有的角，则利用终边相同的角的
表
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达式写出( 3、反三角
(1)反正弦的意义
，则符合条件sinx,a(-1?a?1)的角x叫做a的反正弦，记作:arcsina，即x,arcsina.
注:1、“arcsina”表示中的一个角，其中-1?a?1.
2、sin(arcsina),a.
(2)反余弦的意义
x?[0，π]，则符合条件cosx,a(-1?a?1)的角x叫做a的反余弦，记作arccosa，即x,arccosa.
注:1、“arccosa”表示[0，π]中的一个角，其中-1?a?1.
2、cos(arccosa),a.
(3)反正切的意义
，则符合条件tanx,a的角x叫做a的反正切，记作arctana，即x,arctana. 注:1、“arctana”表示中的一个角.
2、tan(arctana),a.
(4)用反三角符号表示[0，2π]中角的一般规律
sinx,a x,arcsina，x,π-arcsina 0?a?1 12
-1?a,0 x,π-arcsina，x,2π，arcsina |a|?1 12
cosx,a
x,arccosa，x,2π-arccosa -1?a?1 12
|a|?1
,arctana，x,π+arctana xa?0 12
tanx,a
a,0 x,π，arctana，x,2π+arctana 12二、重难点知识归纳及讲解
(一)利用正切函数的图象及图象变换规律作有关函数的简图. 例1、作下列函数的简图
(1)y=tan(,x)
(2)y=|tanx|
(3)y=tan|x|
(二)利用正切函数的单调性比较大小及求单调区间.
例2、比较下列各组数的大小.
(1)tan2和tan9
(2)
例3、有两个函数，它们的周期之和为
，求这两个函数，并求g(x)的单调递增区间( (三)正切函数性质的综合运用
例4、已知函数f(x)是以3为周期的奇函数，且f(,1)=1，若tan(-α)= - 4，求f(tanα).
(四)已知三角函数值求角
例5、已知，分别求α. 例6、求方程在[0，2π]上所有解的和(
例7、求满足下列条件的角x的集合，其中x?[0，2π].
例8、图画挂在墙上，它的下边缘在观察者的眼睛上方a公尺处，而上边缘在b公尺处，问:观察者站在离墙多远
处的地方，才能使视角最大,最大值是多少,
三、高考解析
例1、(97年全国)函数在一个周期内的图象是( )
分析:本题主要考查正切函数的性质及函数图象变换，抓住周期和特值点是快速解题的关键.
解答:
?周期T=2π，且时，y=0
?选择答案A.
三、同步测试
一、选择题
1、下列命题中，正确的是( )
A(y=tanx是增函数
B(y=tanx在第一象限是增函数
C(y=tanx在每个区间上是增函数
D(y=tanx是某一区间内的减函数
2、函数的最小正周期是( )
A(4π B(2π
C(π D( 3、已知，则x,( )
A( B(
C( D( 4、直线y=a(a为常数)与正切曲线y=tanωx(ω为常数，且ω,0)相交的相邻两点间的距离是( )
A(π B(
C( D(与a值有关 5、将函数y=tan2x的图象向左平移个单位，则所得图象的函数解析式是( )
A( B(
C( D( 6、以下四个函数:?y=sinx，cotx;?y=xtanx,cotx;?;?，其中奇函数的个数是( )
A(1 B(2
C(3 D(4 7、同时满足在上递增，以π为周期，是奇函数的是( )
A(y=|tanx| B(y=tanx
C(y=|cotx| D(y=cotx 8、的值为( )
A(, B(,
C( D(, 9、已知，则θ可表示为( )
A( B(
C( D( 10、若时，满足cos(πcosx),0的角x的和为( )
A( B(
C(π D( 二、填空题
11、函数的定义域是_______________.
12、若，则a，b，c的关系是__________. 13、已知.
(1)用定义判断f(x)的奇偶性;
(2)在[,π,π]上画出y=f(x)的简图;
(3)指出f(x)的最小正周期及在[,π,π]上的单调区间.
14、已知函数
(1)求出函数的定义域和值域;
(2)判断函数是否为周期函数，若是，则求出周期;
(3)讨论这个函数的单调性.
15、已知方程sinx，cosx,m在[0，π]内总有两个不同的解α、β，求m的范围及α，β的值.
浙公网安备 33021202002483