第9课时 函数模型及其应用

工具第二章函数、导数及其应用第9课时　函数模型及其应用工具第二章函数、导数及其应用工具第二章函数、导数及其应用三种函数模型的性质单调递增单调递增单调递增平行一样平行一样 函数性质 y＝ax(a>1) y＝logax(a>1) y＝xn(n>0) 在(0，＋∞)上的增减性 增长速度 越来越快 越来越慢 相对平稳 图象的变化 随x增大逐渐表现为与y轴 随x增大逐渐表现为与x轴 随n值变化而不同 值的比较 存在一个x0，当x＞x0时，有logax＜xn＜ax工具第二章函数、导数及其应用【思考探究】　以上三种函数都是单调增函数，它们的增长速度相同吗？在(0，＋∞)上随着x的增大，三种函数的函数值间有什么关系？提示：　三种增长型的函数尽管均为增函数，但它们的增长速度不同，且不在同一个档次上，因此在(0，＋∞)上，总会存在一个x0，使x＞x0时有ax＞xn＞logax.工具第二章函数、导数及其应用答案：　A1．下列函数中随x的增大而增大速度最快的是(　　)A．y＝eq\f(1,100)ex　　　　　　B．y＝100lnxC．y＝x100D．y＝100·2x解析：　因为指数函数的增大速度较快，故可排除B、C.又∵e＞2＞1，∴y＝eq\f(1,100)ex的增大速度要比y＝100·2x的增大速度要快.工具第二章函数、导数及其应用2．设甲、乙两地的距离为a(a＞0)，小王骑自行车以匀速从甲地到乙地用了20分钟，在乙地休息10分钟后，他又以匀速从乙地返回到甲地用了30分钟，则小王从出发到返回原地所经过的路程y和其所用的时间x的函数图象为(　　)解析：　注意到y为“小王从出发到返回原地所经过的路程”而不是位移，用定性分析法不难得到答案为D.答案：　D工具第二章函数、导数及其应用3．某企业去年销售收入1000万元，年成本为生产成本500万元与年广告成本200万元两部分．若年利润必须按p%纳税，且年广告费超出年销售收入2%的部分也按p%纳税，其他不纳税．已知该企业去年共纳税120万元．则税率p%为(　　)A．10% B．12%C．25% D．40%答案：　C解析：　利润300万元，纳税300·p%万元，年广告费超出年销售收入2%的部分为200－1000×2%＝180(万元)，纳税180·p%万元，共纳税300·p%＋180·p%＝120(万元)，p%＝eq\f(1,4)＝25%.工具第二章函数、导数及其应用4．据某校环保小组调查，某区垃圾量的年增长率为b,2009年产生的垃圾量为at，由此预测，该区下一年的垃圾量为______t,2014年的垃圾量为________t.解析：　由于2009年的垃圾量为at，年增长率为b，故下一年的垃圾量为a＋ab＝a(1＋b)t，同理可知2011年的垃圾量为a(1＋b)2t，…，2014年的垃圾量为a(1＋b)5t.答案：　a(1＋b)　a(1＋b)5工具第二章函数、导数及其应用5．有一批 材料 关于××同志的政审材料调查表环保先进个人材料国家普通话测试材料农民专业合作社注销四查四问剖析材料 可以建成200m的围墙，如果用此材料在一边靠墙的地方围成一块矩形场地，中间用同样的材料隔成三个面积相等的矩形(如图所示)，则围成的矩形最大面积为________．(围墙厚度不计)答案：　2500m2解析：　设矩形的长为xm，宽为eq\f(200－x,4)m，则S＝x·eq\f(200－x,4)＝eq\f(1,4)(－x2＋200x)．当x＝100时，Smax＝2500m2.工具第二章函数、导数及其应用工具第二章函数、导数及其应用1．在实际问题中，有很多问题的两变量之间的关系是一次函数模型，其增长特点是直线上升(自变量的系数大于0)或直线下降(自变量的系数小于0)．2．有些问题的两变量之间是二次函数关系，如面积问题、利润问题、产量问题等．一般利用函数图象的开口方向和对称轴与单调性解决，但一定要注意函数的定义域，否则极易出错．工具第二章函数、导数及其应用某人定制了一批地砖，每块地砖(如图(1)所示)是边长为0.4米的正方形ABCD，点E、F分别在边BC和CD上，△CFE、△ABE和四边形AEFD均由单一材料制成，制成△CFE、△ABE和四边形AEFD的三种材料的每平方米价格之比依次为3∶2∶1.若将此种地砖按图(2)所示的形式铺设，能使中间的深色阴影部分成四边形EFGH.工具第二章函数、导数及其应用(1)求证：四边形EFGH是正方形；(2)E、F在什么位置时，定制这批地砖所需的材料费用最省？解析：　(1)证明：图(2)是由四块图(1)所示地砖绕点C按顺时针旋转90°后得到的，∵图中△CFE为等腰直角三角形，∴四边形EFGH是正方形．(2)设CE＝x米，则BE＝(0.4－x)米，每块地砖的费用为W，制成△CFE、△ABE和四边形AEFD三种材料的每平方米价格依次为3a、2a、a(元)，由a＞0，当x＝0.1时，W有最小值，即总费用最省．答：当CE＝CF＝0.1米时，总费用最省．W＝eq\f(1,2)x2·3a＋eq\f(1,2)×0.4×(0.4－x)×2a＋eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0.16－\f(1,2)x2－\f(1,2)×0.4×0.4－x))a＝a(x2－0.2x＋0.24)＝a[(x－0.1)2＋0.23](0＜x＜0.4)，工具第二章函数、导数及其应用【变式训练】　1.某化工厂引进一条先进生产线生产某种化工产品，其生产的总成本y(万元)与年产量x(吨)之间的函数关系式可以近似地表示为y＝eq\f(x2,5)－48x＋8000，已知此生产线年产量最大为210吨．(1)求年产量为多少吨时，生产每吨产品的平均成本最低，并求最低成本；(2)若每吨产品平均出厂价为40万元，那么当年产量为多少吨时，可以获得最大利润？最大利润是多少？工具第二章函数、导数及其应用解析：　(1)每吨平均成本为eq\f(y,x)(万元)．则eq\f(y,x)＝eq\f(x,5)＋eq\f(8000,x)－48≥2eq\r(\f(x,5)·\f(8000,x))－48＝32，当且仅当eq\f(x,5)＝eq\f(8000,x)，即x＝200时取等号．∴年产量为200吨时，每吨平均成本最低为32万元．工具第二章函数、导数及其应用(2)设年获得总利润为R(x)万元，则R(x)＝40x－y＝40x－eq\f(x2,5)＋48x－8000＝－eq\f(x2,5)＋88x－8000＝－eq\f(1,5)(x－220)2＋1680(0≤x≤210)．∵R(x)在[0,210]上是增函数，∴x＝210时，R(x)有最大值为－eq\f(1,5)(210－220)2＋1680＝1660.∴年产量为210吨时，可获得最大利润1660万元.工具第二章函数、导数及其应用1．现实生活中有很多问题都可以用分段函数表示，如出租车计费、个人所得税等问题，分段函数是解决实际问题的重要模型．2．分段函数主要是每一段自变量变化所遵循的规律不同，可先将其看作几个问题，将各段的变化规律分别找出来，再将其合到一起，要注意各段自变量的变化范围，特别是端点值．3．构造分段函数时，要力求准确简捷，做到分段合理，不重不漏，分段函数也是分类讨论问题．工具第二章函数、导数及其应用广州某特许专营店销售亚运会纪念章，每枚进价为5元，同时每销售一枚这种纪念章还需向广州亚组委交特许经营管理费2元，预计这种纪念章以每枚20元的价格销售时该店一年可销售2000枚，经过市场调研发现每枚纪念章的销售价格在每枚20元的基础上每减少一元则增加销售400枚，而每增加一元则减少销售100枚，现设每枚纪念章的销售价格为x(元)．(1)写出该特许专营店一年内销售这种纪念章所获得的利润y(元)与每枚纪念章的销售价格x的函数关系式(并写出这个函数的定义域；(2)当每枚纪念章销售价格x为多少元时，该特许专营店一年内利润y(元)最大，并求出这个最大值．工具第二章函数、导数及其应用解析：　(1)依题意y＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1([2000＋40020－x]x－7　　0＜x≤20,[2000－100x－20]x－720＜x＜40))，∴y＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(40025－xx－7　　0＜x≤20,10040－xx－720＜x≤40))，此函数的定义域为(0,40)．(2)y＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(400[－x－162＋81]　　0＜x≤20,100\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(47,2)))2＋\f(1089,4)))20＜x＜40))，当0＜x≤20，则当x＝16时，ymax＝32400(元)．当20＜x＜40，则当x＝eq\f(47,2)时，ymax＝27225(元)，综上可得当x＝16时，该特许专营店获得的利润最大为32400元．工具第二章函数、导数及其应用【变式训练】　2.某厂生产某种产品的年固定成本为250万元，每生产x千件，需另投入成本为C(x)，当年产量不足80千件时，C(x)＝eq\f(1,3)x2＋10x(万元)；当年产量不小于80千件时，C(x)＝51x＋eq\f(10000,x)－1450(万元)．通过市场分析，若每件售价为500元时，该厂年内生产该商品能全部销售完．(1)写出年利润L(万元)关于年产量x(千件)的函数解析式；(2)年产量为多少千件时，该厂在这一商品的生产中所获利润最大？工具第二章函数、导数及其应用解析：　(1)当0＜x＜80，x∈N＋时，L(x)＝eq\f(500×1000x,10000)－eq\f(1,3)x2－10x－250＝－eq\f(1,3)x2＋40x－250；当x≥80，x∈N＋时，L(x)＝eq\f(500×1000x,10000)－51x－eq\f(10000,x)＋1450－250＝1200－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(10000,x)))，∴L(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－\f(1,3)x2＋40x－250　　0＜x＜80，x∈N＋，,1200－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(10000,x)))x≥80，x∈N＋.))工具第二章函数、导数及其应用(2)当0＜x＜80，x∈N＋时，L(x)＝－eq\f(1,3)(x－60)2＋950，∴当x＝60时，L(x)取得最大值L(60)＝950，当x≥80，x∈N＋，L(x)＝1200－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(10000,x)))≤1200－2eq\r(x·\f(10000,x))＝1200－200＝1000，∴当x＝eq\f(10000,x)，即x＝100时，L(x)取得最大值L(100)＝1000＞950.综上所述，当x＝100时，L(x)取得最大值1000，即年产量为100千件时，该厂在这一商品的生产中所获利润最大．工具第二章函数、导数及其应用对于增长率问题，在实际问题中常可以用指数函数模型y＝N(1＋p)x(其中N是基础数，p为增长率，x为时间)和幂函数模型y＝a(1＋x)n(其中a为基础数，x为增长率，n为时间)的形式，解题时，往往用到对数运算，要注意与已知表格中给定的值对应求解．某城市现有人口总数为100万人，如果年自然增长率为1.2%，试解答以下问题：(1)写出该城市人口总数y(万人)与年份x(年)的函数关系式；(2)计算10年以后该城市人口总数(精确到0.1万人)．(参考数据：1.0129≈1.113,1.01210≈1.127)工具第二章函数、导数及其应用解析：　(1)1年后该城市人口总数为y＝100＋100×1.2%＝100×(1＋1.2%)．2年后该城市人口总数为y＝100×(1＋1.2%)＋100×(1＋1.2%)×1.2%＝100×(1＋1.2%)2.3年后该城市人口总数为y＝100×(1＋1.2%)2＋100×(1＋1.2%)2×1.2%＝100×(1＋1.2%)3.x年后该城市人口总数为y＝100×(1＋1.2%)x(2)10年后人口总数为100×(1＋1.2%)10≈112.7(万人)．工具第二章函数、导数及其应用【变式训练】　3.若题目条件不变，如果20年后该城市人口总数不超过120万人，年自然增长率应该控制在多少？解析：　由100×(1＋x%)20≤120，得(1＋x%)20≤1.2，两边取对数得20lg(1＋x%)≤lg1.2＝0.079，所以lg(1＋x%)≤eq\f(0.079,20)＝0.00395，所以1＋x%≤1.009，得x≤0.9%，即年自然增长率应该控制在0.9%.工具第二章函数、导数及其应用1．求解函数应用题的一般 方法 快递客服问题件处理详细方法山木方法pdf计算方法pdf华与华方法下载八字理论方法下载 “数学建模”是解决数学应用题的重要方法，解应用题的一般程序是：(1)审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系；(2)建模：将文字语言转化成数学语言，用数学知识建立相应的数学模型；(3)求模：求解数学模型，得到数学结论；(4)还原：将用数学方法得到的结论还原为实际问题的意义．工具第二章函数、导数及其应用2．几种重要的函数模型的应用(1)应用二次函数模型解决有关最值问题．(2)应用分式函数模型：y＝x＋eq\f(a,x)(a＞0)，结合单调性或基本不等式解决有关最值问题．(3)应用函数模型：y＝kx(k＞0)、y＝N(1＋p)x(N＞0，p＞0)、y＝logax解决与直线上升、指数爆炸、对数增长有关的实际问题．工具第二章函数、导数及其应用3．通过解决函数应用题提高学生的阅读理解能力，抽象转化能力和解答实际问题的能力．(1)含增长问题一般可建立指数型函数模型y＝a(1＋p)x.(2)指数式和对数式的计算问题应借助计算器进行．(3)实际问题要按精确度要求作近似计算，并且变形时要控制误差．(注意单位的统一等问题)工具第二章函数、导数及其应用工具第二章函数、导数及其应用通过对近两年高考试题的统计分析可以看出，对函数的实际应用问题的考查，多以社会实际生活为背景，设问新颖、灵活，而解决这些问题所涉及的数学知识、数学思想和方法又都是高中教材和大纲中所要求掌握的概念、公式、法则、定理等基础知识和方法，此类问题一般涉及到的 知识点 高中化学知识点免费下载体育概论知识点下载名人传知识点免费下载线性代数知识点汇总下载高中化学知识点免费下载 比较多，综合性较强，属中高档题，题型以解答题为多，但也有选择题和填空题．工具第二章函数、导数及其应用(本小题满分12分)(2010·湖北卷)为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层．某幢建筑物要建造可使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为6万元．该建筑物每年的能源消耗费用C(单位：万元)与隔热层厚度x(单位：cm)满足关系：C(x)＝eq\f(k,3x＋5)(0≤x≤10)，若不建隔热层，每年能源消耗费用为8万元．设f(x)为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和．(1)求k的值及f(x)的表达式；(2)隔热层修建多厚时，总费用f(x)达到最小，并求最小值．工具第二章函数、导数及其应用【 规范 编程规范下载gsp规范下载钢格栅规范下载警徽规范下载建设厅规范下载 解答】　(1)设隔热层厚度为xcm，由题设，每年能源消耗费用为C(x)＝eq\f(k,3x＋5)，再由C(0)＝8，得k＝40，因此C(x)＝eq\f(40,3x＋5).2分而建造费用为C1(x)＝6x.最后得隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和为f(x)＝20C(x)＋C1(x)＝20×eq\f(40,3x＋5)＋6x＝eq\f(800,3x＋5)＋6x(0≤x≤10).6分工具第二章函数、导数及其应用【阅后 报告 软件系统测试报告下载sgs报告如何下载关于路面塌陷情况报告535n,sgs报告怎么下载竣工报告下载 】　本题考查了函数的实际应用，解答这类题目遵循：审题、建模、求模、还原，难点是建模，明确f(x)是由能源消耗费用和建造费用两部分组成是解题的关键．(2)f′(x)＝6－eq\f(2400,3x＋52).令f′(x)＝0，即eq\f(2400,3x＋52)＝6，解得x＝5或x＝－eq\f(25,3)(舍去).8分当0≤x＜5时，f′(x)＜0；当5＜x≤10时，f′(x)＞0，故x＝5是f(x)的最小值点，对应的最小值为f(5)＝6×5＋eq\f(800,15＋5)＝70.11分当隔热层修建5cm厚时，总费用达到最小值70万元.12分工具第二章函数、导数及其应用1．(2010·陕西卷)某学校要召开学生代表大会，规定各班每10人推选一名代表，当各班人数除以10的余数大于6时再增选一名代表．那么，各班可推选代表人数y与该班人数x之间的函数关系用取整函数y＝[x]([x]表示不大于x的最大整数)可以表示为(　　)A．y＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(x,10)))　　　　　　　　　B．y＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(x＋3,10)))C．y＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(x＋4,10)))D．y＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(x＋5,10)))工具第二章函数、导数及其应用答案：　B解析：　由题意，可用特殊值法求解，当x＝17时，A选项错误，当x＝16时，eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(x＋4,10)))＝2，eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(x＋5,10)))＝2，所以C、D选项错误，故选B.工具第二章函数、导数及其应用2．(2009·湖南卷)某地建一座桥，两端的桥墩已建好，这两墩相距m米．余下工程只需建两端桥墩之间的桥面和桥墩．经测算，一个桥墩的工程费用为256万元；距离为x米的相邻两墩之间的桥面工程费用为(2＋eq\r(x))x万元．假设桥墩等距离分布，所有桥墩都视为点，且不考虑其他因素．记余下工程的费用为y万元．(1)试写出y关于x的函数关系式；(2)当m＝640米时，需新建多少个桥墩才能使y最小？工具第二章函数、导数及其应用解析：　(1)设需新建n个桥墩，则(n＋1)x＝m，即n＝eq\f(m,x)－1，所以y＝f(x)＝256n＋(n＋1)(2＋eq\r(x))x＝256eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(m,x)－1))＋eq\f(m,x)(2＋eq\r(x))x＝eq\f(256m,x)＋meq\r(x)＋2m－256.工具第二章函数、导数及其应用(2)由(1)知，f′(x)＝－eq\f(256m,x2)＋eq\f(1,2)mx－eq\f(1,2)＝eq\f(m,2x2)(xeq\f(3,2)－512)．令f′(x)＝0，得xeq\f(3,2)＝512，所以x＝64.由于f(x)在区间(0,64)上单调递减，在(64,640)上单调递增．所以f(x)在x＝64处取得最小值，此时n＝eq\f(m,x)－1＝eq\f(640,64)－1＝9.故需新建9个桥墩才能使y最小．工具第二章函数、导数及其应用练规范、练技能、练速度