高中数学压轴题
M1,21，已知抛物线、椭圆和双曲线都经过点，它们在轴上有共同焦点，椭圆和双x，，曲线的对称轴是坐标轴，抛物线的顶点为坐标原点. (?)求这三条曲线的方程;
,lP3,0l(?)已知动直线过点，交抛物线于两点，是否存在垂直于轴的直线被以xAB,，，
,APl为直径的圆截得的弦长为定值,若存在，求出的方程;若不存在，说明理由.
2ab2，已知正项数列中，，点Aaa,在抛物线yx,，1上;数列中，a,6,,,,，，nnnnn，11
Bnb,0,11,2点在过点，以方向向量为的直线上. ，，，，，，nn
ab,(?)求数列的通项公式; ,,,,nn
,a, n为奇数，，n,fn,kN,fkfk，,274(?)若，问是否存在，使成立，若存在，，，，，，，,b, n为偶数，，,n,
k求出值;若不存在，说明理由;
22x，y,43，将圆O: 上各点的纵坐标变为原来的一半 (横坐标不变),
得到曲线C.
(1) 求C的方程;
(2) 设O为坐标原点, 过点的直线l与C交于A、B两点, N为线段AB的F(3, 0)
中点,
延长线段ON交C于点E.
OE,2ON求证: 的充要条件是|AB| ,3
1f(x),(x,R)4，已知函数. x4，2
11(1) 试证函数的图象关于点对称; f(x)(, )24
n(2) 若数列的通项公式为, 求数列{a}{a}a,f() (m,N, n,1, 2, ？,m)nnn，m
的前m项和S; m
12b,b，b(3) 设数列{b}满足: , . 设b,n，1nnn13
111T,，，？，. nb，1b，1b，112n
若(2)中的S满足对任意不小于2的正整数n, S,T恒成立, 试求m的最大值 nnn
22EFExy，,245,，、是椭圆的左、右焦点，是椭圆的右准线，点，过点的直lPl,
AB线交椭圆于、两点.
AEAF,,AEF(1) 当时，求的面积;
y(2) 当时，求的大小; AB,3AFBF，
AP，EPF(3) 求的最大值.
M FExOB
1S6，已知数列中，，当时，其前项和满足naa,n,2,,nn13
22Sn， a,n21S,n
anSlim(1) 求的表达式及的值; n2n,,Sn
(2) 求数列的通项公式; a,,n
11ab,设b,,，求证:当且时， nN,n,2nnn33nn，,(21)(21)
22yx7,，设双曲线=1( a > 0, b > 0 )的右顶点为A，P是双曲线上异于顶点的一个,22ab
动点，从A引双曲线的两条渐近线的平行线与直线OP分别交于Q和R两点.
,,,,,,,,2OQ(1) 证明:无论P点在什么位置，总有|| = |?| ( O为坐标原点); OPOR
(2) 若以OP为边长的正方形面积等于双曲线实、虚轴围成的矩形面积，求双曲线离心
率的取值范围;
nn已知常数a > 0, n为正整数，f ( x ) = x – ( x + a) ( x > 0 )是关于x的函数. 8， n
(1) 判定函数f ( x )的单调性，并证明你的结论. n
(2) 对任意n , a , 证明f`( n + 1 ) < ( n + 1 )f`(n) n + 1 n
9，已知:y = f (x) 定义域为,–1，1,，且满足:f (–1) = f (1) = 0 ，对任意u ,v,[–1，
1,，都有|f (u) – f (v) | ? | u –v | .
2(1) 判断函数p ( x ) = x – 1 是否满足题设条件,
1,[1,0]，,,xx,(2) 判断函数g(x)=，是否满足题设条件, ,1,[0,1],,xx,
x22210，已知点P ( t , y )在函数f ( x ) = (x , –1)的图象上，且有t – cat + 4c = 0 ( c x，1
, 0 ).
(1) 求证:| ac | , 4;
(2) 求证:在(–1，+?)上f ( x )单调递增.
(3)求证:f ( | a | ) + f ( | c | ) > 1.
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