分段函数的奇偶性证法一例岳昌庆(北京师范大学出版集团 100875) 判断函数的奇偶性一般步骤是:在确信函数的定义域关于原点对称后,先求出f(-x)后,再找f(-x)与-f(x)或f(x)的关系即可;分段函数的奇偶性证明时,一般分情况分别加以证明.本文介绍一种紧扣定义、类似一般函数的证法,与读者分享.例1 判断函数f(x)=x2+3x-4, x>0,-x2+3x+4,x<0{的奇偶性.传统解法为:解 当x>0时,-x<0,f(x)=x2+3x-4,f(-x)=-(-x)2+3(-x)+4=-(x2+3x-4)=-f(x).当x<0时,-x>0,f(x)=-x2+3x+4.f(-x)=(-x)2+3(-x)-4=-(x2+3x+4)=-f(x).综上,f(-x)=-f(x).所以,f(x)为奇函数.还可以这样来考虑:众所周知,由函数f(x)记号的意义,可将对应法则f中的“x”理解为以下“括号”:f()=()2+3()-4, ()>0,-()2+3()+4, ()<0,{现将括号内统一填入-x得f(-x)=(-x)2+3(-x)-4, (-x)>0,-(-x)2+3(-x)+4,(-x)<0,{即 f(-x)=x2-3x-4,x<0,-x2-3x+4,x>0,{即 -f(-x)=x2+3x-4,x>0,-x2+3x+4,x<0.{所以f(-x)=-f(x).所以f(x)为奇函数.这种“括号”的思想,一次性解决了分段函数的奇偶性的判断与证明,思路同非分段函数一致,学生理解起来也比较自然.不再需要记住老师们要求的“分段函数的奇偶性分段证”.收稿日期:2015-02-27﹏﹏﹏﹏﹏﹏﹏﹏﹏﹏﹏﹏﹏﹏﹏﹏﹏﹏﹏﹏﹏﹏﹏﹏﹏﹏﹏﹏﹏﹏﹏﹏﹏﹏﹏﹏﹏﹏﹏﹏﹏﹏﹏(上接第42页) 解析 根据题意可知,过点F1且垂直于x轴的弦与椭圆的交点之一,它到点F1的距离刚好等于它到l1的距离的一半.故应填:12.例21 函数y=cosx+1(-π≤x≤0)的反函数是( ).(A)y=-arccos(x-1)(0≤x≤2)(B)y=π-arccos(x-1)(0≤x≤2)(C)y=arccos(x-1)(0≤x≤2)(D)y=π+arccos(x-1)(0≤x≤2)解析 根据原函数与反函数的定义域和值域的关系可知,只有选项A符合这一要求.故应选A.34第34卷第6期 2015年6月
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