[苏州大学]苏大数分00年到08年

[苏州大学]苏大数分00年到08年[苏州大学]苏大数分00年到08年 1 08 07 2 2,x2cosxe,,,lim，，(1)nn1. 06求下列极限:(1). ，,，其中;(2)4 01,arcsinxlim，，n,,x,0 m1,xxsin,0,x2(设函数f(x)= 。讨论m=1,2,3时f(x)在x=0处的连续性，可微性及导函数的连续性。 ,0,0x,, 2,,uu3(设u=f(x,y+z)二次可微。给定球变换,x,,,,cossin,y,,,,sinsin,.计算。 z,,,cos2,,,, ''''44(设f(x)二...

[苏州大学]苏大数分00年到08年 1 08 07 2 2,x2cosxe,,,lim，，(1)nn1. 06求下列极限:(1). ，,，其中;(2)4 01,arcsinxlim，，n,,x,0 m1,xxsin,0,x2(设函数f(x)= 。讨论m=1,2,3时f(x)在x=0处的连续性，可微性及导函数的连续性。 ,0,0x,, 2,,uu3(设u=f(x,y+z)二次可微。给定球变换,x,,,,cossin,y,,,,sinsin,.计算。 z,,,cos2,,,, ''''44(设f(x)二次可导，=fb()=0。证明，,,(,)ab，使。 fa()ffafb()()(),,,2ba,() , ux()5(设函数项级数在区间I上一致收敛于s(x)，如果每个ux()都在I上一致连续。证明s(x)在I上一致连续。 ,nn1n, 3 11x，26(设f(x,y)是上的连续函数，试交换累次积分的积分次序。 dxfxydy(,)2,,,，1xx ''7(设函数f(x)在[0,1]上处处可导，导函数，其中，均是单调函数，并且>0，。Fx()Gx()fx(),,x[0,1]fxFxGx()()(),, '证明，使，。 ,,x[0,1]fxc(),，,c0 8(设三角形三边长的和为定值P。三角形绕其中的一边旋转，问三边长如何分配时旋转体的体积最大, 05 求下列极限1.(20') nnn()abab，,,1lim,(0),,n nnnnnnn解:因为babb,，,2 nnnn而bbb,,limlim2,,,,nn nnn因此abb，,lim,,n 11,,,,,其中存在fafa(2)lim(),()0,(),xa,fxfaxafa,,()()()() 2xa,()2,,,,,,，,oxa(())解:由于存在，从而fafa,f(x)=f(a)+f(a)(x-a)+f(a)()0,()2 ,11()()(()())xafafxfa,,,lim()lim(),,xaxa,,,,fxfaxafafxfaxafa()()()()(()())()(),,,, 2()xa,2,,,,()()((()))xafaoxa,,，,f(a)(x-a)+f(a)2,lim(2xa,()xa,2,,,,()()((()))xafaoxa,，,f(a)(x-a)+f(a)22()xa,2,,-f(a)，,oxa(())2,lim2,ax()xa,2,,,,()()((()))xafaoxa,，,f(a)(x-a)+f(a)2 1,,,fa(),,fa()2,,,lim2xa,()xa,,2[()]fa ,,,,fafaoxa()(()(())，，,f(a)2 2.(18')()[01]()()0设在，上可微，且的每一个零点都是简单零点，即若fxfxfx,0 ,则f()0.()[0,1]xfx,证明:在上只有有限个零点。0 …证明:设若不然在上有无穷多个零点，不妨设fxfn()[0,1]}[0,1],()0,1,2{xx ,,,nn则存在{x的一个子列x使得x且x，从而}{},()()0()0,,,,,xkffx00nnnnkkk ffx()()x,fxfx()(),n00k,,,lim0与题设相矛盾～则fx()lim,0xx,xx,00xxxx,,00 所以在上只有有限个零点。fx()[0,1] 4 3.(20')()2设是上的周期函数，满足:fxR, 2,()1()0fxdx,,0 (2)()(),,fxfyLxyxyR,,,,, 证明:(1)f(x)在R上可以取到最大值，最小值 (2)maxfxL(),xR,,证明:(1)由知fxfyLxyxyR()(),,,,,,, 0,0,[0,2],[0,2],()()取xxxxfxfLx当时，有xx,,，,,,,,,,,,0000,,,,, ,取,,()(),则有fxf,,x,0,L 从而在上连续，既在上可以取到最大值，最小值fxfx()[0,2]()[0,2],, 又是上的周期函数，所以fxR()2f(x)在R上可以取到最大值，最小值。, (2)令f(xmax)(),fx,[0,2],Mx 22,,1由知fxdxffxdx()0[0,2]()()0,，,,,x，使得x00,,,002,以下分三种情况讨论: (a)当xx,时M0 f(xx)(),f,,,,0()0maxfxL,x,[0,2],M0 (b)当xx,时,由f(x)的周期性，得M0 2f(xxf(xxf(xxxxxx)())()2)()()(2)2,,,，，,,,，，,,fffLLL,,,0M0M0M0M0M ()c当x0,令显然在连续2xsin2cos2xxx sinx下证f(x)>1 2222sincoscossin(2cossin)xxxxxxxxx,,,,f(x)=42xxcos 2232222sincos2sincossin2sincosxxxxxxxxxx,，,2sincossin(1cos)xxxxx，,,,3232xxcosxxcos 2sin(cos2sincos)xxxxxx,，,32xxcos ,2令hxxxxxxx()(cos2sincos),(0,),,，,2 2222,hxxxxxxxxxxx()cos2cossin2cos2sin12cossin3sin,，,，，,， ,,，,,sin(2cos3sin)0,(0,)xxxxx2所以单调递增，hxhx()(),,lim()0hxx,0 2从而xxxxxcos2sincos0,，, ,32又sin0,cos0,(0,)xxxx,,, 2 ,,所以即在单调递增fxfx()0,()(0,),2 2sinx所以f(x)>lim()lim1fx,,2xx,,00xxcos即fx()1, tanxx,从而,,,(0,)xxxsin2 9 4.(20')(1)()[1设在，fx+,,,)上非负递减，证明n+时nnf(k),,,fxdxLf()0(1)有极限L，且,,1k=1 111(2)lnln,2,3设ann,，，，,,…………n2ln23ln3lnnn 证明数列收敛。{}annn证明:()令1()afxdx,,f(k)n,,1k=1nnn1,nn-1nk1，则afxdxfxdx,,,,f(k)f(k)()(),,，,,,f(k)f(k)(1)()0kkfnn,,,,,,,k1k=1k=1k1,k=1k=1所以有下界ann，1又其中(aafnfxdxfnf,,，,,，,,(1)()(1)(),n,n+1),,nn，1,n 由于在，fxfnf()[1(1)()0+,，,,)上非负递减，所以,从而单调递减an 因此收敛且{}(1)0,,0(1)afanLfa,,,,,,,两边令有1nn 1()2.令f(x)=xxlnnn,1nn,1afk,(),,，,，fxdxfkfxdx()(1)(1)n,,,,10k,2k,1n,1n,11,，,，,，fkfxdxfxdx(1)(1)(1),,,10k,1n,1n,11(1)(1)fkfxdx，,，有()知道收敛,,1k,1 111fxdxdx(1)，,又令g(x)=,,00(1)ln(1)xx，， 110,可以知道是g(x)的瑕点，x0时，(1)ln(1)(1)xxxx，，， 1111 而dxdx收敛，所以收敛,,00xx(1)，(1)ln(1)xx，，因此收敛{}an 5.20(’)设u(x,y)在平面上二次连续可微，x=rcos,y=rsin,(r0),,, ,u(1)用u关于r,的偏导数表示,,x 2,u(2)用u关于r,的一，二阶偏导数表示,2,x ,,,uuu解:()1cossin,,r,,,,,xr,22222,,,,,,,uuuuuuu,,(2)(cossin)cos(sin)sincos,,,，,,,rr222,,,,,,,,,,,,,,xrrrr,,,,222,,,uuucos2sincosr,,,,,,22,,,,rr,, 10 2,n6.(15')0,设求级数的和a,,na(1)，n=1 ,2n解:设的收敛区间为(fxnxfx(),(),-1，1),n=1 ,,fxfx()()21,nn,,,,nxgxgxnx,(),()令则,,xxn=1n=1 ,gxx()n,hxhxx令则(),(),,,,xx1,n=1 1x,则，hxgx()(),,22()()11,,xx xxx1(1)，，,gxfx(),(),,从而33()(11,,xx) 11(1)，2,1(1)(2)naa，，11，，aa(),,,f,3n1(1)1，，aaa3n=1 (1),1，a 7.(20 )设半径为r的球面s的球心在半径为常数a的定球面上，问: r为何值时，s位于定球面内部部分面积最大, ,解:设s位于定球面内部部分面积为S,S为一球冠，则S=2rh,其中h为球冠的高如图，ED=h,BE=r,AB=r 2r2,,作OFAB,则OF=a4 2r2r,,aOFAB,4ADOBOFABAD,,,,,,OBa2r22BDABAD,,,2a2rDEr,,所以2a2r,23rrr,,,)2,S,因此2rh=2r(2aa,, 34,2,令,,,,,40Srrra,a3 6,,,Sr|4|40,,,,,44,,rara,,a33 4所以当时，最大raS,3 7 6 5 4O1038E2A6a1D4OD2B-4-2E246810 -1A-10-5510BFr-2-2 -4-3 11 ,,(.lim()15')设函数f,g在x的某个领域上可导，且g(x)0,,,,gx0x,x0 ,fxfx()()如果证明，其中是实数。lim,lim,,AAAxx,,xx00,gxgx()() 证明:取x,,,xxCauchyxx,由中值定理，令0110 ,f(x)-f(x),f()1有,,,Axx,()10,gxgxg()()(),,1 f(x)-f(x)1()))x，f(xfxgxg()((),,11gxgx()(),1 fx()f(x)-f(x)()()gxfx111从而,,，(1)gxgxgxgxgx()()()()(),1 f(x)-f(x)()()()gxfxAgx,fx()1111所以,,,,，AA()(1)gxgxgxgxgx()()()()(),1 ,,,令，则使得当xxxxA,,,，,,,,，0,0,x时，有101110 f(x)-f(x),1,A,gxgx()()4,1 令，则由　xxxA,,,，,,,g(x)知道,,0()将固定，x101 使有ax,,,, gxfxAgx()()(),,111,,1, gxgx()()2 于是 f(x)-f(x)()()()gxfxAgx,fx()1111,,,,,,，,AA,(,，)，2,gxgxgxgxgx()()()()()42,1 fx()所以lim,Axx,0gx() 2sinarctanxxx,,03,(?(?设在有限开区间上连续，(证明存在使得fx()(,)abxxxab,,,(,),,,(,)ablim12n4x,0x n1( ffx,,()(),jn,1j 21n()k,(设是上的无穷次可微函数((求 fx()(,),,，,fk(0),1,2,,f(),2nn，1 xdydzydzdxzdxdy，，I,,(设是简单的封闭曲面，分别计算曲面积分当原点在之外和在之内时的值，其中取外侧( SSSS3,,2222()xyz，，，,coscosaxbx,,(利用积分号下积分法或积分号下微分法计算积分 Idxba,,,,(0)2,0x fx(),(设二次连续可微，且(证明: fx(),lim0x,0x ,1a，11nf?(绝对收敛;?(如果数列{}a满足，则存在且大于零( ()lima,，1()f,nnn,,nann1,n AA,(设是的实对称矩阵(证明如果,是的最小特征值，则(1),，,EA是正定矩阵( nn，00n 2212222xcosx,,021((12分)计算: ， ()a()bnnnn,，,，，,,lim12(1)lim，，2,,n,,,,nncos2x,, 12 22,zxy,，2222((10分)设是方程组的解，证明:( (,,)xyz953953,,，，,，xyz,000000xyz，，,1, 2223((10分)设，证明:xvwyuwzuvfxyzFuvw,,,,,,,(,,)(,,) ,,,,,,。 xfyfzfuFvFwF，，,，，xyzuvw 4((12分)设其中。证明:数列收敛时，数列也收敛。 pq,ypxqxn,，,,1,2,,{}y{}xnnn，1nn 5((14分)设函数义在上有定义，并且在每一个有限区间内有界，，，ab,fa,，,，， fx，，证明:如果，证明:。 lim1fxfx，,,，,lim,，,()a，，，，，，x,，,x,，,x fx，，举出反例说明当时，未必成立 ()blim,,lim1fxfx，,,,，，，，，，x,，,x,，,x T1，,fx()6((12分)设是以T为周期的周期函数，且，证明。 fxdxC,fx()(),limndxC,2,0nn,,Tx ,,,,,,7((15分)设函数在整个实数轴有连续的三阶导函数，证明:存在实数，使。 fafafafa()()()()0,,,,fx()a 48((15分)设半径为r的球面S的球心在半径为常数的定球面上，试证明:当时，S位于定球面内部部分的面积最大。 ara, 31( 00设在上连续，存在且有限，证明:在上一致连续( fxa,，,fxa,，,limfx，，，，，，，，,,x,, 12( 设，其中，而( xxqx,,101,,q0,,x，，1nnn，1q 1nx,(1)(证明数列收敛，并求((2)(证明数列收敛，并证( xnxlimxlim,,,,nnnn,,nn,,q ,nx，,21e,,,(证明不等式(,(设,,，,,0,( ,，,ln1.0xSxx，，，，,,,21xx，n,,1n, (1)(证明在上连续，可微((2)(求出的具体表达式( Sx0,，,Sx，，，，，， 222222Vxyzxyzz,，,,,,,:,28,(计算三重积分:，其中 xyzdxdydz，，，，,,，，,,,V x，,1,((1)(设在上单调，且收敛(证明: fa,，,lim0xfx,Fxdt,fxdxsin0,1，，，,，，，,，，,,0ax,,t ，,(2)设在上连续，且绝对收敛，是否有(说明你的理由( fa,，,lim0fx,fxdx，，，,，，,ax,, ,(证明任意一个数列a都存在单调子列( ,,n x1,(证明函数在0,1上有无穷多个零点( Fxdt,sin，，，,,0t

                    本文档为【[苏州大学]苏大数分00年到08年】，请使用软件OFFICE或WPS软件打开。作品中的文字与图均可以修改和编辑，
                    图片更改请在作品中右键图片并更换，文字修改请直接点击文字进行修改，也可以新增和删除文档中的内容。 
 该文档来自用户分享，如有侵权行为请发邮件ishare@vip.sina.com联系网站客服，我们会及时删除。

                    [版权声明] 本站所有资料为用户分享产生，若发现您的权利被侵害，请联系客服邮件isharekefu@iask.cn，我们尽快处理。

                    本作品所展示的图片、画像、字体、音乐的版权可能需版权方额外授权，请谨慎使用。

                    网站提供的党政主题相关内容(国旗、国徽、党徽..)目的在于配合国家政策宣传，仅限个人学习分享使用，禁止用于任何广告和商用目的。
                

下载需要：免费已有0 人下载

立即下载

[苏州大学]苏大数分00年到08年

你可能还喜欢