大学物理习题答案

大学物理习题答案大学物理习题答案习题12 12-3(如习题12-3图所示，真空中一长为L的均匀带电细直杆，总电量为q，试求在直杆延长线上到杆的一端距离为d的点P的电场强度。 q[解] 建立如图所示坐标系ox，在带电直导线上距O点为x处取电荷元，dq,dxL它在P点产生的电电场强度度为 Ld qLdq110dxx,,dEdx P22,,,,44，，，，，,，,LdxLdx00 则整个带电直导线在P点产生的电电场强度度为 LqLq11E,dx, ,20，，4,,4,,dL，d，，L，d,x00 q故 E,i，，4,,dL，d...

大学物理习题答案习题12 12-3(如习题12-3图所示，真空中一长为L的均匀带电细直杆，总电量为q，试求在直杆延长线上到杆的一端距离为d的点P的电场强度。 q[解] 建立如图所示坐标系ox，在带电直导线上距O点为x处取电荷元，dq,dxL它在P点产生的电电场强度度为 Ld qLdq110dxx,,dEdx P22,,,,44，，，，，,，,LdxLdx00 则整个带电直导线在P点产生的电电场强度度为 LqLq11E,dx, ,20，，4,,4,,dL，d，，L，d,x00 q故 E,i，，4,,dL，d0 12-4(用绝缘细线弯成的半圆环，半径为R，其上均匀地带有正电荷Q，试求圆心处点O的场强。 Q[解] 将半圆环分成无穷多小段，取一小段dl，带电量 dq,dl,Ry Q,ddl,dq,R dq在O点的电场强度dE,,224,,R4,,R00x从对称性分析，y方向的电场强度相互抵消，只存在x方向的电场强度 dEQdE,dE,sin,,sin,,dl dl,Rd,x234R,,0 ,QsinE,dd, x22R4,,0 ,,QsinQ, 方向沿x轴正方向 EEdEd,,,,xx2222,,04,,R2,,R00 12-5. 如习题12-5图所示，一半径为R的无限长半圆柱面形薄筒，均匀带电，沿轴向单位长度上的带电量为,，试求圆柱面轴线上一点的电场强度E。 ,d, [解] 对应的无限长直线单位长带的电量为 dq,d,, 它在轴线O产生的电场强度的大小为 ,,dqddE,, 2d,,,2R2,,R00 ,,,cosd,dE,dE,cos,因对称性成对抵消 dExy22,,R0 ,,,,,cosd2 E,dE,2,x,,2202,,R,,R00 12-6(一半径为R的半球面，均匀地带有电荷，电荷面密度为,，求球心点O处的场强。 [解] 将半球面分成无限多个圆环，取一圆环半径为r，到球心距离为x，所带 dq,,2,rdl电量绝对值。在O点产生的电场强度(利用圆环轴线电场强度dl公式) rxdq,OdE, x3222x，，4,,x，r0 带电半球壳在O点的总电场强度 ,,xdqx2rdlE,dE,, xx3232,,,2222，，，，4,,x，r4,,x，r00 由于，， x,Rcos,r,Rsin,dl,Rd, 所以 ,,,,,,,,,222,,,,,, sincosdsin2d，，2cos2E,E,,,,,,,,x,,000,28,8,4,,,0000 方向沿x轴负向 12-7(如习题12-7图所示，A、B为真空中两个平行的“无限大”均匀带电平面，已知两平 E面间的电场强度为E0，方向如图。求两平面A、B上的，两平面外侧电场强度大小都是03 面电荷密度,和, AB。 ,AB[解] 无限大平面产生的电场强度为 E,2,0 ,,BA则 E,E,BA2,2,00 ,,,BA,,E0,,,22,E/3E/3E00000 ,,,E0BA,，,,2,2,3,00 42解得 EE,,,,,,,A00B0033 12-8(一半径为R的带电球体，其体电荷密度分布为,=Ar (r?R)， (r>R)，A为常量。,,0试求球内、外的场强分布。 [解] 在带电球体内外分别做与之同心的高斯球面。 q2,应用高斯定理有 E,4r,,0 q为高斯球面内所包围的电量。设距球心r处厚度为dr的薄球壳所带电量为 dq 23 dq,,,4,rdr,4,Ardr r34r?R时 q,4,Ardr,,Ar,0 22ArAr解得 (r?R) (或) Ee,E,r4,4,00 r>R时高斯面内包围的是带电体的总电量Q RR34 Q,dq,4,Ardr,,AR,,00 Q2,应用高斯定理 E,4r,,0 44ARAR,E,rE (r>R) (或) 224r4r,,00 当A>0时，电场强度方向均径向向外;当A<0时，电场强度方向均指向球心。 12-9(有一带电球壳，内、外半径分别为R和R，体电荷密度，在球心处有,,Ar12 一点电荷Q，求当A取什么值时，球壳区域内(RR) ,,0 试求:(1)带电球体的总电量;(2)球内外各点的场强;(3)球内外各点的电势。 RRqr2[解] (1)带点球体的总电量: Q,dq,4,rdr,q4,,00R,(2)在带电球体内外分别做与之同心的高斯球面。 q内2,应用高斯定理有 4E,r,,0 q为高斯球面内所包围的电量。设距球心r处厚度为dr的薄球壳所带电量内为dq q23 dq,,,4,rdr,4rdr4R rqq34r?R时 q,4rdr,r内,440RR 22qrqr解得 (r?R) (或) ,Ee,Er444,,R4,,R00r>R时高斯面内包围的是带电体的总电量q q2,应用高斯定理 4E,r,,0 qq (r>R) 方向沿径向 (或) E,Ee,r224r,,4,,r00 当q>0时，电场强度方向均径向向外;当q<0时，电场强度方向均指向球心。 (3) 2,R, qrqU,Edr,dr，dr (r,R),,,42rr R,,,,4R4r00 3,,qr,,,4, (r,R)3,,12,,RR0,, q,,U,Edr,dr (r,R)2,, rr,,4r0 q, (r,R),,4r0 1a12-12(如习题12-12图所示，在Oxy平面内有与y轴平行、位于和处的两x,,ax,22 条无限长平行均匀带电直线，电荷线密度分别为+,和,,。求z轴上任一点的电场强度。 [解] 无限长带电直线在线外任一点的电电场强度度 , E,2,,r0 ,,所以 P点的电场强度 E ，λ122,,a2,,2，,,z0,,4,, ,,E ,λzE12+,2,,a2,,2，,,z0yP,,E4x,,-,E-,由对称性知合电场强度的z方向分量为零，x方向分 ,+-a/2E,2Ecos,量 Oxλa/2 xa2而 , cos,122,,a2,,，z,,4,, ,2a,E,2Ecos,所以方向指向x轴负方向 λ22，，a，4z,,0 ,,O12-13(如习题12-13图所示，在半径为R，体电荷密度为的均匀带电球体内点处放一个点电荷q。试求:点O、P、N、M处的场强 (、O、P、N、M在一条直线上)。 ,O [解] 由电场叠加原理 qE,E，E,球Oq24,,r,0OO qEi,O24,,r,0OO 43,,rOM,rqq3OME,E,E,,,,Nq球2223,,,44,,4,,rrr0,,0ON0ON0ON r,qOM Ei,,()N243r,,,,0ON0 43,,rOP,rqq3OPE,E，E,,,,Pq球2223,,,44,,4,,rrr0,,0OP0OP0OP r,qOP Ei,,()P243r,,,,0OP0 43,,R3,qqR3E,E，E,，,,球Mq2222,,4r4,,r4,,r3,r,,0OM0OM0ON0OM 3qR, Ei,,()M2243rr,,,,0ON0OM 12-14(如习题12-14图所示一环形薄片由细绳悬吊着，环的外半径R，内半径为R/2，并有电量Q均匀分布在环面上。细绳长3R，也有电量Q 均匀分布在绳上，试求圆环中心处的电场强度(圆环中心在细绳的延长线上)。【解】:以悬点为坐标原点，建立竖直向下为x轴的正方向，在x 位置处任取一微元dx，在圆环中处的电场强度为 3R1d1qQ ,,ddEx122,,,,44,,434RxRRx，，，，00 R则这个细绳上的电荷在圆心处产生的电场强度为 3R3RR/211QQExd,,, 2,04124RRx,,,,,34RRx,，，000 3RQQ1,,,212416RRxR,,,,,000 环形薄片上的电荷在圆心处产生的电场强度为零，因此所有电荷在环心处产生的 Q E=总2,,16R0电场强度为方向竖直向下 12-15(电量q均匀分布在长为2l的细杆上，求在杆外延长线上与杆端距离为a的点P的电 q势(以无穷远为零电势点)。[解] 取如图所示的电荷元dq，，它在P点产生dq,dxx2ldx的电势为 xPdqO dqq1dx du,,，，，，4,,2l，a,x8,,l2l，a,x00 则整个带电直线在P点产生的电势为 2lqqqxxladd2， U,,,ln,,0，，,,llax,,llax,,la82，,82，,8000 12-16(习题12-16图为两个半径均为R的非导体球壳，表面上均匀带电，带电量分别为+Q和-Q，两球心距离为d(d>>2R)，求两球心间的电势差。 +Q U [解] 设带正电的球壳中心的电势为，带负电的为1-Q R R O1 , , O2 U。 2 d 根据电势叠加原理有习题12-16图 QQQQ, UU,,,，12 4,,R4,,d4,,R4,,d0000 两球心间的电势差 QQQ11,, U,U,U,,,,,,12122,,R2,,d2,,Rd,,000 12-17. 两根半径都是R的无限长直线，彼此平行放置，两者轴线间距为d(d>>2R)，单位长度上的带电量分别为+,和-,, 求两直线间的电势差。 [解一] 由高斯定理可求出，两导线之间任一点的电电场强度度为 ,, E,，，，2,,r2,,d,r00,+-, EERRP两导线间的电势差为 -,, Ord-rxd,,d,Rd,Rd,R,ErU,,d,dr，dr,,,RRR,,,,，，22,rdr00 ,,dR,ln,,R0 [解二] 由带正电直导线产生电势差为 d,Rd,R,,dR, UrEdrdln,,,,AB,,RR,,r,,R2200 由带负电直导线产生电势差为 RR,,dR,, UrEdrdln,,,,,AB,,,,dRdR,,r,,R2200 因此两导线间的电势差为 ,d,R, ,U,U，U,lnABAB,,R0 12-18. 如习题12-18图所示，电荷面密度分别为+,和-,的两块无限大均匀带电平面，处于与平面垂直的x轴上的-a和+a的位置上。设坐标原点O处的电势为零，试求空间的电势分布并画出其曲线。 , [解] 无限大带电平板外电场强度的大小为 E,2,0 ,,0a,a，，0xa因此UEdlEdl,,,,，,,21,,,,xa,0,0,x,,, ，，EaxaUEr,,,因此,Edl,d,,,,,01,,x,0,0a,a,，，xaU0因此EdlEdl,,,，,,,31,,,xa,0, 电势分布曲线 U ,a/,0 a -aOx -,a/,0 12-19. 如习题12-19图所示，两无限长的同轴均匀带电圆筒，内筒半径为R，单位长度1带电量为,，外筒半径为R，单位长度带电量为,。 122 求:图中a、b两点间的电势差U;当零参考点选在轴线处时，求U。 aba [解] 以垂直于轴线的端面与半径为r，长为l，过所求场点的同轴柱面为封闭的高斯面。 E,dS,2,rlE,,S 1根据高斯定理 E,S,qd,,,S,0 0r,R,1,,1R,r,R,12,,2r,0E,所以 , ,,,，12,r,R2,2,,r0, RR,,RR2bbb12 UErEr,d，d,ln，lnab外内,,RRa2,,R,,R220a02 R,R111 UUEr,,d,lnaaO内,R,,Ra20a 12-20. 如习题12-20图所示，一半径为 R的均匀带正电圆环，其线电荷密度为。在其, 轴线上有A、B两点，它们与环心的距离分别为，。一质量为m、带电量OA3,ROB8,R为q的粒子从点A运动点B，求在此过程中电场力作的功。 [解] 由于带电圆环轴线上一点的电电场强度度为 qxE, 3222，，4,,R，x0 所以AB两点间的电势差为、 8R8RqxUEdrdx,, AB,,323R3R22，，4Rx,,，0 ,,,,,22RR,,, 12122212,220，，，，，，，，4348R，RR，R,,,,00,,,,，，，，因此从点A运动点B电场力作功 ,q W,qU,AB12,0 12-21. 如习题12-21图所示，半径为R的均匀带电球面，带电量为q。沿径矢方向上有一均匀带电细线，线电荷密度为,，长度为l，细线近端离球心的距离为r。设球面和线上的电荷0分布不受相互作用的影响，试求细线所受球面电荷的电场力和细线在该电场中的电势能(设无穷远处的电势为零)。 [解一] 取坐标如图，在距原点为x处取线元 dq,,dxdx，dx的电量为，该线元在带电球面电 q ,qdxR，，dF,Exdq,dx场中所受电场力为 2,,4xxO0 rl整个细线所受电场力为 0 r，l,,qqldx0F,,,2r，，4,,4,,rr，l0x0000 ,ql F,i，，4,,rr，l000 dq在q的电场中具有电势能 ,qq, dW,dqU,dx,,dx,,,,4x4x00 r，l,,rlqq，00Wx dln,,,r0,,x,,r44000

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