给自己慧眼，抓住
题
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给自己慧眼，抓住题的“眼”
摘要:在数学解题教学中，教师常用“题眼”这个术语，考其源头却不见哪一本专业词典有
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的解释。但笔者认为所谓“题眼”就是题目的要害，是命题者设置的主要障碍点。它常常以知识点、隐含条件、联结词、临界点等形式出现。一些数学题之所以难，不仅因为数学知识的应用复杂多变，还由于潜在条件隐蔽难寻，使人产生条件不足之感而陷入困境，这正是考查考生思维的深刻程度。如何迅速寻找突破口，找出数学
考题
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中的“题眼”，高效简洁地完成解题，集中体现了学生的综合
分析
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能力。本文举例说明识“题眼”的几种常见方法。
关键词:数学教学;识“题眼”;常见方法
中图分类号:G633.6 文献标识码:A 文章编号:1992-7711(2013)09-0111
经常有一些学生问笔者:“为什么在答题过程中常出现误解、卡壳、毫无思路等情况,”其实，造成这种现象的原因有很多，但其中一个最重要的原因往往是因不善于识“题眼”而造成的。识“题眼”是审题和做答的关键。
在数学解题教学中，教师常用“题眼”这个术语，考其源头却不见哪一本专业词典有规范的解释。但笔者认为所谓“题眼”就是题目的要害，是命题者设置的主要障碍点。它常常以知识点、隐含条件、联结词、临界点等形式出现。一些数学题之所以难，不仅因为数学知识的应用复杂多变，
还由于潜在条件隐蔽难寻，使人产生条件不足之感而陷入困境，这正是考查考生思维的深刻程度。如何迅速寻找突破口，找出数学考题中的“题眼”，高效简洁地完成解题，集中体现了学生的综合分析能力。下面，笔者举例说明一下识“题眼”的几种常见方法。
一、从已知条件中直接寻找“题眼”
题设的条件中必然体现一些数学关系，利用数学的定义、性质、结论、公理、定理等深刻领会数学关系的内在联系是寻找“题眼”的关键。比如用哪个章节的知识解题，在运用这些知识点时需注意什么问题等。
例1. (2012年高考(湖南理))在?ABC中，AB=2，AC=3，???=1，则BC=( )
B. ? C. 2? D. ? A. ?
【解析】
由???=??cos(π-B)=2×?×(-cosB)=1.
?cosB=? 又由余弦定理知cosB=?，解得BC=?.
本题考查平面向量的数量积运算、余弦定理等知识，考查运算能力，考查数形结合思想、等价转化思想等数学思想方法。但需要注意?，?的夹角为?B的补角。
本题需要寻找的“题眼”有:
(1)“???=1”中对向量夹角定义的理解;
(2)已知三角形的两边及一角，如何利用正、余弦定理解三角形。
二、挖掘题中的隐含条件寻找“题眼”
数学题中的隐含条件是数学问题背后的东西，它使数学知识的应用更
灵活、更深刻，能够顺利挖掘题中的隐含条件，把握“题眼”，找到解题的突破口，是一个学生数学素养的重要体现。
隐含条件特点是“含而不露”，它事实上已包含于题中的文字叙述、等式关系、不等关系、图形符号等形式当中，但又没有明确的在题干中呈现，具有很强的隐蔽性，极易被解题者忽视。一直以来这种类型的题都是高错误率，但在高中数学各种考试中却屡见不鲜。
使“隐含”变“明朗”， 实现解题突破，就是这类题型解题的题眼所在。
例2.若A、B均为锐角，且tanA=?，sinB=?，求A+2B的值。
【解析】?sinB=?且B为锐角，?cosB=?，
tanB=? ?
? tan2B=?=?
?tan(A+2B)=?=1
?A、B均为锐角
?A+2B?(0，?)
又?sinB=?
函数
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的求值与化解问题是高中数学题中隐含条件出现密度最高的章节。解题时，角的范围往往被忽略，或者不能发现其中所隐含的角的大小关系而出现增根不能排除，造成出错。
本题需要寻找的“题眼”有:(1)求角应先求相应的三角函数值，合理选择三角函数名称，能使问题更顺利解决;(2)三角函数的求值与化解
问题中，通过“缩角”而排除增根是一种重要技巧。当题目有一个以上结果时，应警惕产生增根的可能，通过进一步推敲题目条件使隐含条件明朗化，实现突破。
三、“转化”找“题眼”
许多学生对数学总是处于一种“无力感”的心理状态，特别是遇到较难题时，思路卡壳，无从下手。要缓解这种状况，一是要牢固掌握数学基础知识、基本技能及其蕴含的数学思想方法，尤其要注意每个数学概念、数学方法等成立的前提条件;二是要善于积累、运用和拓展解题模式，通过类比、对比，把其转化为与平时训练相似的题型，找到“题眼”，促进解题正迁移。
例3. (温州市2012届高三第一学期期末八校联考)已知C为线段AB上一点，P为直线AB外一点，满足?-?=2，?- ?=2?，?=?，I为PC(下转第128页)(上接第111页)上一点，且?=?+λ(?+?)(λ>0)，则?的值为 。
解析:由?=?
知?=?，
从而转化为cos?CPA=cos?CPB，得到PC为?BPA的平分线。
由?=?+λ(?+?)(λ>0)
知?=λ(?+?)(λ>0)
而?+?表示?方向上的单位向量与?方向上的单位向量的单位向量的和向量转化为AI是角?BAP的平分线，从而得出I为?ABC的内心
由圆的切线长性质可知?-?=AD-BE=AC-CB=2
?- ?=2?转化为?=2?，即AC+CB=2?
?AC=?+1，BC=?-1
而?的几何意义为?在?方向上的投影，即为BC=?-1。
由于向量集数、形于一体，也就是它既有代数的运算性质，又有几何的图形特征，因而向量是高中数学解题中的重要工具。以向量为背景，一些传统的中学数学内容和问题就有了新的内涵和表现形式。本题中由于题目条件多而杂，学生很难理清其中的关系，从而找不到突破口，出现无思路或思路卡壳的情况。
任何难题的解决都是有迹可寻的，本题中的关键问题即“题眼”所在就是将条件进行合理转化，使复杂问题转化为我们能够理解的、较为熟悉的问题，本题也就得到了解决。
本题需要寻找的“题眼”有:
(1)?=?转化为cos?CPA=cos?CPB，得到PC为?BPA的平分线;
(2)?=?+λ(?+?)转化为AI是?BAP的角平分线，看出I为三角形的内心;
(3)?转化为几何意义:?在?方向上的投影，从而利用内心的性质使难题突破。
由于数学题中“题眼”的形式多种多样，且在一道题中也会存在多个“题眼”或多种表现形式。但如果能仔细审题、广泛联系、善于转化，多方向、多角度去寻找“题眼”，理清思路脉络，便会达到“豁然开朗”的理想境界。
(作者单位:浙江省龙游县第二高级中学 324400)
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