二年级速算与巧算

二年级速算与巧算 二年级速算与巧算 速算与巧算 一、“凑整”先算 1.计算:(1)24+44+56 (2)53+36+47 解:(1)24+44+56=24+(44+56) =24+100=124 这样想:因为44+56=100是个整百的数，所以先把它们的和算 出来. (2)53+36+47=53+47+36 =(53+47)+36=100+36=136 这样想:因为53+47=100是个整百的数，所以先把+47带着符 号搬家，搬到+36前面;然后再把53+47的和算出来. 2.计算:(1)96+15 (2)52+69 解:(1)96+15=96+(4+11) =(96+4)+11=100+11=111 这样想:把15分拆成15=4+11，这是因为96+4=100，可凑整先算. (2)52+69=(21+31)+69 =21+(31+69)=21+100=121 这样想:因为69+31=100，所以把52分拆成21与31之和，再把31+69=100凑整先算. 3.计算:(1)63+18+19 (2)28+28+28 解:(1)63+18+19 =60+2+1+18+19 =60+(2+18)+(1+19) =60+20+20=100 这样想:将63分拆成63=60+2+1就是因为2+18和1+19可以凑整先算. (2)28+28+28 =(28+2)+(28+2)+(28+2)-6 =30+30+30-6=90-6=84 这样想:因为28+2=30可凑整，但最后要把多加的三个2减去. 二、改变运算顺序:在只有“+”、“-”号的混合算式中，运算顺序可改变 计算:(1)45-18+19 (2)45+18-19 解:(1)45-18+19=45+19-18 =45+(19-18)=45+1=46 这样想:把+19带着符号搬家，搬到-18的前面.然后先算19-18=1. (2)45+18-19=45+(18-19) =45-1=44 这样想:加18减19的结果就等于减1. 三、计算等差连续数的和 相邻的两个数的差都相等的一串数就叫等差连续数，又叫等差数列，如: 1，2，3，4，5，6，7，8，9 1，3，5，7，9 2，4，6，8，10 3，6，9，12，15 4，8，12，16，20等等都是等差连续数. 1. 等差连续数的个数是奇数时，它们的和等于中间数乘以个 数，简记成: 和=中间数*个数 (1)计算:1+2+3+4+5+6+7+8+9 =5×9 中间数是5 =45 共9个数 (2)计算:1+3+5+7+9 =5×5 中间数是5 =25 共有5个数 (3)计算:2+4+6+8+10 =6×5 中间数是6 =30 共有5个数 (4)计算:3+6+9+12+15 =9×5 中间数是9 =45 共有5个数 (5)计算:4+8+12+16+20 =12×5 中间数是12 =60 共有5个数 2. 等差连续数的个数是偶数时，它们的和等于首数与末数之 和乘以个数的一半，简记成: 和=(首数+末数)*个数的一半 (1)计算: 1+2+3+4+5+6+7+8+9+10 =(1+10)×5=11×5=55 共10个数，个数的一半是5，首数是1，末数是10. (2)计算: 3+5+7+9+11+13+15+17 =(3+17)×4=20×4=80 共8个数，个数的一半是4，首数是3，末数是17. (3)计算: 2+4+6+8+10+12+14+16+18+20 =(2+20)×5=110 共10个数，个数的一半是5，首数是2，末数是20. 四、基准数法 (1)计算:23+20+19+22+18+21 解:仔细观察，各个加数的大小都接近20，所以可以把每个加数先按20相加，然后再把少算的加上，把多算的减去. 23+20+19+22+18+21 =20×6+3+0-1+2-2+1 =120+3=123 6个加数都按20相加，其和=20×6=120.23按20计算就少加了“3”，所以再加上“3”;19按20计算多加了“1”，所以再减去“1”，以此类推. (2)计算:102+100+99+101+98 解:方法1:仔细观察，可知各个加数都接近100，所以选100为基准数，采用基准数法进行巧算. 102+100+99+101+98 =100×5+2+0-1+1-2=500 方法2:仔细观察，可将5个数重新排列如下:(实际上就是把有的加数带有符号搬家) 102+100+99+101+98 =98+99+100+101+102 =100×5=500 可发现这是一个等差连续数的求和问题，中间数是100，个数 是5. 习题一 1.计算:(1)18+28+72 (2)87+15+13 (3)43+56+17+24 (4)28+44+39+62+56+21 2.计算:(1)98+67 (2)43+28 (3)75+26 3.计算:(1)82-49+18 (2)82-50+49 (3)41-64+29 4.计算:(1)99+98+97+96+95 (2)9+99+999 5.计算:(1)5+6+7+8+9 (2)5+10+15+20+25+30+35 (3)9+18+27+36+45+54 (4)12+14+16+18+20+22+24+26 6.计算:(1)53+49+51+48+52+50 (2)87+74+85+83+75+77+80+78+81+84 7.计算:1+2+3+4+5+6+1+2+3+4+5+6+1+2+3+4+5+6+1+2+3+4+5 习题一解答 1.解:(1)18+28+72=18+(28+72)=18+100=118 (2)87+15+13=(87+13)+15 =100+15=115 (3)43+56+17+24 =(43+17)+(56+24) =60+80=140 (4)28+44+39+62+56+21 =(28+62)+(44+56)+(39+21) =90+100+60=250 2.解:(1)98+67=98+2+65 =100+65=165 (2)43+28=43+7+21=50+21=71 或43+28=41+(2+28)=41+30=71 (3)75+26=75+25+1=100+1=101 3.解:(1)82-49+18=82+18-49 =100-49=51 (2)82-50+49=82-1=81 (减50再加49等于减1) (3)41-64+29=41+29-64 =70-64=6 4.解:(1)99+98+97+96+95 =100×5-1-2-3-4-5 =500-15=485 (每个加数都按100算，再把多加的减去)或99+98+97+96+95=97×5=485 (2)9+99+999=10+100+1000-3 =1110-3=1107 5.解:(1)5+6+7+8+9 =7×5=35 (2)5+10+15+20+25+30+35 =20×7=140 (3)9+18+27+36+45+54 =(9+54)×3=63×3=189 (4)12+14+16+18+20+22+24+26=(12+26)×4=38×4=152 6.解:(1)53+49+51+48+52+50=50×6+3-1+1-2+2+0 =300+3=303 (2)87+74+85+83+75+77+80+78+81+84=80×10+7-6+5+3-5-3+0-2+1+4 =800+4=804 7.解:方法1:原式=21+21+21+15=78 方法2:原式=21×4-6=84-6=78 方法3:原式=(1+2+3+4+5+6)×3+15=21×3+15=63+15=78 速算与巧算 一、“凑整”先算 1.计算:(1)24+44+56 (2)53+36+47 解:(1)24+44+56=24+(44+56) =24+100=124 这样想:因为44+56=100是个整百的数，所以先把它们的和算出来. (2)53+36+47=53+47+36 =(53+47)+36=100+36=136 这样想:因为53+47=100是个整百的数，所以先把+47带着符号搬家，搬到+36前面;然后再把53+47的和算出来. 2.计算:(1)96+15 (2)52+69 解:(1)96+15=96+(4+11) =(96+4)+11=100+11=111 这样想:把15分拆成15=4+11，这是因为96+4=100，可凑整先算. (2)52+69=(21+31)+69 =21+(31+69)=21+100=121 这样想:因为69+31=100，所以把52分拆成21与31之和，再把31+69=100凑整先算. 3.计算:(1)63+18+19 (2)28+28+28 解:(1)63+18+19 =60+2+1+18+19 =60+(2+18)+(1+19) =60+20+20=100 这样想:将63分拆成63=60+2+1就是因为2+18和1+19可以凑整先算. (2)28+28+28 =(28+2)+(28+2)+(28+2)-6 =30+30+30-6=90-6=84 这样想:因为28+2=30可凑整，但最后要把多加的三个2减去. 二、改变运算顺序:在只有“+”、“-”号的混合算式中，运算顺序可改变 计算:(1)45-18+19 (2)45+18-19 解:(1)45-18+19=45+19-18 =45+(19-18)=45+1=46 这样想:把+19带着符号搬家，搬到-18的前面.然后先算19-18=1. (2)45+18-19=45+(18-19) =45-1=44 这样想:加18减19的结果就等于减1. 三、计算等差连续数的和 相邻的两个数的差都相等的一串数就叫等差连续数，又叫等差数列，如: 1，2，3，4，5，6，7，8，9 1，3，5，7，9 2，4，6，8，10 3，6，9，12，15 4，8，12，16，20等等都是等差连续数. 1. 等差连续数的个数是奇数时，它们的和等于中间数乘以个数，简记成: (1)计算:1+2+3+4+5+6+7+8+9 =5×9 中间数是5 =45 共9个数 (2)计算:1+3+5+7+9 =5×5 中间数是5 =25 共有5个数 (3)计算:2+4+6+8+10 =6×5 中间数是6 =30 共有5个数 (4)计算:3+6+9+12+15 =9×5 中间数是9 =45 共有5个数 (5)计算:4+8+12+16+20 =12×5 中间数是12 =60 共有5个数 2. 等差连续数的个数是偶数时，它们的和等于首数与末数之和乘以个数的 一半，简记成: (1)计算: 1+2+3+4+5+6+7+8+9+10 =(1+10)×5=11×5=55 共10个数，个数的一半是5，首数是1，末数是10. (2)计算: 3+5+7+9+11+13+15+17 =(3+17)×4=20×4=80 共8个数，个数的一半是4，首数是3，末数是17. (3)计算: 2+4+6+8+10+12+14+16+18+20 =(2+20)×5=110 共10个数，个数的一半是5，首数是2，末数是20. 四、基准数法 (1)计算:23+20+19+22+18+21 解:仔细观察，各个加数的大小都接近20，所以可以把每个加数先按20相加，然后再把少算的加上，把多算的减去. 23+20+19+22+18+21 =20×6+3+0-1+2-2+1 =120+3=123 6个加数都按20相加，其和=20×6=120.23按20计算就少加了“3”，所以再加上“3”;19按20计算多加了“1”，所以再减去“1”，以此类推. (2)计算:102+100+99+101+98 解:方法1:仔细观察，可知各个加数都接近100，所以选100为基准数，采用基准数法进行巧算. 102+100+99+101+98 =100×5+2+0-1+1-2=500 方法2:仔细观察，可将5个数重新排列如下:(实际上就是把有的加数带有符号搬家) 102+100+99+101+98 =98+99+100+101+102 =100×5=500 可发现这是一个等差连续数的求和问题，中间数是100，个数是5. 加法中的巧算 1.什么叫“补数”, 两个数相加，若能恰好凑成整十、整百、整千、整万…，就把其中的一个数叫做另一个数的“补数”。 如:1+9=10，3+7=10， 2+8=10，4+6=10， 5+5=10。 又如:11+89=100，33，67=100， 22+78=100，44+56=100， 55+45=100， 在上面算式中，1叫9的“补数”;89叫11的“补数”，11也叫89的“补数”.也就是说两个数互为“补数”。 对于一个较大的数，如何能很快地算出它的“补数”来呢,一般来说，可以这样“凑”数:从最高位凑起，使各位数字相加得9，到最后个位数字相加得10。 如: 87655?12345， 46802?53198， 87362?12638，… 下面讲利用“补数”巧算加法，通常称为“凑整法”。 2.互补数先加。 例1 巧算下面各题: ?36+87+64?99+136，101 ? 1361，972，639，28 解:?式=(36，64)，87 =100，87=187 ?式=(99，101)，136 =200+136=336 ?式=(1361，639)，(972，28) =2000+1000=3000 3.拆出补数来先加。 例2 ?188，873 ?548，996 ?9898，203 解:?式=(188+12)+(873-12)(熟练之后，此步可略) ,200+861=1061 ?式=(548-4)，(996，4) =544+1000=1544 ?式=(9898，102)，(203-102) =10000+101=10101 4.竖式运算中互补数先加。 如: 二、减法中的巧算 1.把几个互为“补数”的减数先加起来，再从被减数中减去。 例 3? 300-73-27 ? 1000-90-80-20-10 解:?式= 300-(73， 27) ,300-100=200 ?式=1000-(90，80，20，10) ,1000-200,800 2.先减去那些与被减数有相同尾数的减数。 例4? 4723-(723，189) ? 2356-159-256 解:?式=4723-723-189 ,4000-189=3811 ?式=2356-256-159 ,2100-159 =1941 3.利用“补数”把接近整十、整百、整千…的数先变整，再运算(注意把多加 的数再减去，把多减的数再加上)。 例 5 ?506-397 ?323-189 ?467，997 ?987-178-222-390 解:?式=500，6-400+3(把多减的 3再加上) =109 ?式=323-200+11(把多减的11再加上) =123+11,134 ?式=467，1000-3(把多加的3再减去) ,1464 ?式=987-(178，222)-390 ,987-400-400+10=197 三、加减混合式的巧算 1.去括号和添括号的法则 在只有加减运算的算式里，如果括号前面是“，”号，则不论去掉括号或添上 括号，括号里面的运算符号都不变;如果括号前面是“-”号，则不论去掉括号或 添上括号，括号里面的运算符号都要改变，“+”变“-”，“-”变“+”，即: a，(b，c，d),a，b，c，d a-(b，a，d),a-b-c-d a-(b-c),a-b+c 例6 ?100，(10，20，30) ? 100-(10，20+3O) ? 100-(30-10) 解:?式=100，10，20，30 =160 ?式=100-10-20-30 =40 ?式=100-30，10 ,80 例7 计算下面各题: ? 100，10，20，30 ? 100-10-20-30 ? 100-30，10 解:?式=100，(10+20+30) =100，60=160 ?式=100-(10，20+30) ,100-60=40 ?式=100-(30-10) =100-20=80 2.带符号“搬家” 例8 计算 325，46-125，54 解:原式=325-125，46+54 ,(325-125)+(46，54) =200+100,300 注意:每个数前面的运算符号是这个数的符号.如+46，-125，+54.而325前 面虽然没有符号，应看作是+325。 3.两个数相同而符号相反的数可以直接“抵消”掉 例9 计算9+2-9，3 解:原式=9-9，2+3=5 4.找“基准数”法 几个比较接近于某一整数的数相加时，选这个整数为“基准数”。 例10 计算 78+76，83，82+77，80，79，85 ,640 1.两数的乘积是整十、整百、整千的，要先乘.为此，要牢记下面这三个特殊的 等式: 5×2=10 25×4=100 125×8=1000 例1 计算?123×4×25 ? 125×2×8×25×5×4 解:?式=123×(4×25) =123×100,12300 ?式=(125×8)×(25×4)×(5×2) =1000×100×10=1000000 2.分解因数，凑整先乘。 例 2计算? 24×25 ? 56×125 ? 125×5×32×5 解:?式=6×(4×25) =6×100=600 ?式=7×8×125=7×(8×125) =7×1000=7000 ?式=125×5×4×8×5=(125×8)×(5×5×4) =1000×100=100000 3.应用乘法分配律。 例3 计算? 175×34，175×66 ?67×12+67×35，67×52+6 解:?式=175×(34+66) =175×100=17500 ?式=67×(12，35，52，1) , 67×100,6700 (原式中最后一项67可看成 67×1) 例4 计算? 123×101 ? 123×99 解:?式=123×(100，1)=123×100，123 ,12300，123=12423 ?式=123×(100-1) =12300-123=12177 4.几种特殊因数的巧算。 例5 一个数×10，数后添0; 一个数×100，数后添00; 一个数×1000，数后添000; 以此类推。 如:15×10=150 15×100=1500 15×1000,15000 例6 一个数×9，数后添0，再减此数; 一个数×99，数后添00，再减此数; 一个数×999，数后添000，再减此数; … 以此类推。 如:12×9,120-12,108 12×99,1200,12,1188 12×999,12000-12=11988 例7 一个偶数乘以5，可以除以2添上0。 如:6×5,30 16×5,80 116×5=580。 例8 一个数乘以11，“两头一拉，中间相加”。 如 2222×11,24442 2456×11,27016 例9 一个偶数乘以15，“加半添0”. 24×15 ,(24+12)×10 ,360 因为 24×15 , 24×(10+5) ,24×(10，10?2) =24×10+24×10?2(乘法分配律) ,24×10+24?2×10(带符号搬家) ,(24+24?2)×10(乘法分配律) 例10 个位为5的两位数的自乘:十位数字×(十位数字加1)×100+25 如15×15=1×(1+1)×100+25=225 25×25=2×(2+1)×100+25=625 35×35=3×(3+1)×100+25=1225 45×45=4×(4+1)×100+25=2025 55×55=5×(5+1)×100+25=3025 65×65,6×(6+1)×100+25=4225 75×75=7×(7+1)×100+25,5625 85×85=8×(8+1)×100+25=7225 95×95,9×(9+1)×100，25,9025 还有一些其他特殊因数相乘的简便算法，有兴趣的同学可参看《算得快》一 书。 二、除法及乘除混合运算中的巧算 1.在除法中，利用商不变的性质巧算 商不变的性质是:被除数和除数同时乘以或除以相同的数(零除外)，商不 变.利用这个性质巧算，使除数变为整十、整百、整千的数，再除。 例11 计算?110?5?3300?25 ? 44000?125 解:?110?5=(110×2)?(5×2) ,220?10=22 ?3300?25,(3300×4)?(25×4) ,13200?100,132 ? 44000?125=(44000×8)?(125×8) ,352000?1000,352 2.在乘除混合运算中，乘数和除数都可以带符号“搬家”。 例12 864×27?54 ,864?54×27 =16×27 =432 3.当n个数都除以同一个数后再加减时，可以将它们先加减之后再除以这个 数。 例13? 13?9，5?9 ?21?5-6?5 ?2090?24-482?24 ?187?12-63?12-52?12 解:?13?9+5?9=(13，5)?9 =18?9,2 ?21?5-6?5,(21-6)?5 ,15?5=3 ?2090?24-482?24,(2090-482)?24 ,1608?24,67 ?187?12-63?12-52?12 ,(187-63-52)?12 ,72?12=6 4.在乘除混合运算中“去括号”或添“括号”的方法:如果“括号”前面是乘号，去掉“括号”后，原“括号”内的符号不变;如果“括号”前面是除号，去掉“括号”后， 原“括号”内的乘号变成除号，原除号就要变成乘号，添括号的方法与去括号类似。 即a×(b?c)=a×b?c 从左往右看是去括号， a?(b×c),a?b?c 从右往左看是添括号。 a?(b?c),a?b×c 例14 ?1320×500?250 ?4000?125?8 ?5600?(28?6) ?372?162×54 ?2997×729?(81×81) 解:? 1320×500?250,1320×(500?250) =1320×2,2640 ?4000?125?8,4000?(125×8) ,4000?1000,4 ?5600?(28?6)=5600?28×6 =200×6=1200 ?372?162×54=372?(162?54) ,372?3,124 ?2997×729?(81×81),2997×729?81?81 ,(2997?81)×(729?81),37×9 ,333 例1 计算9，99，999，9999，99999 解:在涉及所有数字都是9的计算中，常使用凑整法.例如将999化成1000—1 去计算.这是小学数学中常用的一种技巧. 9，99，999，9999，99999 ,(10,1)，(100-1)，(1000,1)，(10000-1) ，(100000-1) ,10，100，1000，10000，100000-5 ,111110-5 ,111105. 例2 计算199999，19999，1999，199，19 解:此题各数字中，除最高位是1外，其余都是9，仍使用凑整法.不过这里 是加1凑整.(如 199，1,200) 199999，19999，1999，199，19 ,(19999，1)，(19999，1)，(1999，1)，(199，1) ，(19，1),5 ,200000，20000，2000，200，20-5 ,222220-5 ,22225. 例3 计算(1，3，5，…，1989),(2，4，6，…，1988) 解法2:先把两个括号内的数分别相加，再相减.第一个括号内的数相加的结果是: 从1到1989共有995个奇数，凑成497个1990，还剩下995，第二个括号内的数相加的结果是: 从2到1988共有994个偶数，凑成497个1990. 1990×497，995—1990×497,995. 例4 计算 389，387，383，385，384，386，388 解法1:认真观察每个加数，发现它们都和整数390接近，所以选390为基准数. 389，387，383，385，384，386，388 ,390×7—1—3—7—5—6—4— ,2730—28 ,2702. 解法2:也可以选380为基准数，则有 389，387，383，385，384，386，388 ,380×7，9，7，3，5，4，6，8 ,2660，42 ,2702. 例5 计算(4942，4943，4938，4939，4941，4943)?6 解:认真观察可知此题关键是求括号中6个相接近的数之和，故可选4940为基准数. (4942，4943，4938，4939，4941，4943)?6 ,(4940×6，2，3—2—1，1，3)?6 ,(4940×6，6)?6(这里没有把4940×6先算出来，而是运 ,4940×6?6，6?6运用了除法中的巧算方法) ,4940，1 ,4941. 例6 计算54，99×99，45 解:此题表面上看没有巧妙的算法，但如果把45和54先结合可得99，就可 以运用乘法分配律进行简算了. 54，99×99，45 ,(54，45)，99×99 ,99，99×99 ,99×(1，99) ,99×100 ,9900. 例7 计算 9999×2222，3333×3334 解:此题如果直接乘，数字较大，容易出错.如果将9999变为3333×3，规律 就出现了. 9999×2222，3333×3334 ,3333×3×2222，3333×3334 ,3333×6666，3333×3334 ,3333×(6666，3334) ,3333×10000 ,33330000. 例8 1999，999×999 解法1:1999，999×999 ,1000，999，999×999 ,1000，999×(1，999) ,1000，999×1000 ,1000×(999，1) ,1000×1000 ,1000000. 解法2:1999，999×999 ,1999，999×(1000-1) ,1999，999000-999 ,(1999-999)，999000 ,1000，999000 ,1000000. 有多少个零.