函数零点和极值点问题

函数零点和极值点问题 321、已知三次函数过点(3,0)，且函数在点 fxxbxcxdabcR,，，，,,,fx()，，，， (0，(0))处的切线恰好是直线。 fy,0 (1)求函数的解析式;fx，， (2)设函数，若函数在区间,-2，1,上有两个零点， gxxm()91,，,hxfxgx()()(),, 求实数的取值范围。 m 2,解:(1) …………………(1分),，，32xbxcfx() ?函数过点(3,0),且在点(0，(0))处的切线恰好直线， fx()fy,0 ,f(0)0,c,0c,0,,, ,,,f(0)0,d,0d,0 ? 即解得 ,,, ,,,2790，，,bdb,,3f(3)0,,,, 32fxxx,,3?…………………………………(6分) ，， (2)解法一:依题意得,原命题等价于方程在区间上有两个不同的解 fxgx()()0,,[2,1], 32xxxm,,,，,3910即在区间上有两个不同的解, [2,1], 32mxxx,,,，391即在区间上有两个不同的解; [2,1], 322,设,则 ,()391xxxx,,,，,()3693(1)(3)xxxxx,,,,，, ,x,,1x,3令,得或 ,()0x, ,,,,,,21x,,,11x ? ?当时,, 当时,, x,,[2,1],()0x,,()0x, ?在上单调递增, 在上单调递减, ,()x(2,1),,(1,1), ,,()(1)6x,,,,,(2)1,(1)10,,,,,?时,,又 x,,[2,1]max ,,()(1)10x,,, min 32,,,16mmxxx,,,，391?在区间[2,1],上有两个不同的解, ? m故 函数hxfxgx()()(),,在区间,-2，1,上有两个零点时，实数的取值范围 ,,,16m是 2,解法二: hxxxxx()3693(1)(3),,,,，, ,x,,1x,3令,得或(舍去) hx()0, ,,,,,,21x,,,11x? ?当时,, 当时,, x,,[2,1]hx()0,hx()0, ?在上单调递增, 在上单调递减, (2,1),,hx()(1,1), ?时,,又 hxhm()(1)6,,,,hmhm(2)1,(1)10,,,,,,,x,,[2,1]max 若函数在区间,-2，1,上有两个零点,则 hxfxgx()()(),, h(2)0,,,,,10m,, ,,h(1)0,,60,,m,,,16m 即 ,解得 ,, ,,h(1)0,,,,100m,, 故 函数在区间,-2，1,上有两个零点时，实数的取值范围 mhxfxgx()()(),, ,,,16m是 afxx,，ln.18.(14分)设 ，，2x (1)求f(x)的单调区间; (2)求f(x)的零点个数. 0,，,18.(1)解:f(x)的定义域是 1分 ，， 21axa,,?fx,,, 2分 ，，33xxx ,a,0fx,00,，,当时，，是f(x)的增区间， 3分 ，，，， ,a,0当fxxa,,,0,时，令，(负舍去) ，， ,,0,,xaxa,fx,0fx,0当时，;当时， 5分 ，，，， 0,aa,，,所以是f(x)的减区间，是f(x)的增区间。 6分 ，，，， a,00,，,综合:当时，f(x)的增区间是， ，，a,00,aa,，,当时，f(x)的减区间是，f(x)的增区间是 7分 ，，，， a,00,，,(2)由(1)知道当时，f(x)在上是增函数，当a=0时有零点x=1， 8分 ，， aaaa22,,a,0当时， 9分 feaefeae,，,,,,10,10,，，，，，，，， (或当x?+0时，f(x)?-?, 当x?+?时，f(x)?+?,) 所以f(x)在上有一个零点， 10分 0,，,，， a,0当时，由(1)f(x)在上是减函数，f(x)在上是增函数，所以当xa,0,aa,，,，，，， 1是，f(x)有极小值，即最小值。 11分 faa,，ln1，，，，2 11当，即a,时f(x)无零点， ln10a，,，，e2 11a,当，即时f(x)有一个零点， ln10a，,，，e2 11当，即时f(x) 有2个零点。 13分 ln10a，,0,,a，，2e 111a,a,综合:当时f(x)无零点，当时f(x)有一个零点，当时f(x) 有2个零点。 0,,aeee 14分 232f(x),x,ax,3x，1(a,R)10((本小题满分12分) 已知函数 3 (?)若在区间上为减函数，求的取值范围; af(x)(,1,1) (?)讨论在内的极值点的个数。 y,f(x)(,1,1) 232f(x),x,ax,3x，110.解:(?) ? 3 2,? ………………………………(2分) f(x),2x,2ax,3 ?在区间上为减函数 f(x)(,1,1) ,?f(x)?O在区间(,1,1)上恒成立 …………………………(3分) 2,?是开口向上的抛物线 f(x),2x,2ax,3 ,002，2a,3 f(,1)? ? ?只需 即 …………………………(5分) ,002,2a,3f(1) ? ? 11,a??? ………………………………………(6分) 22 1 ,f(,1),2(a,),02 1(?)当时， a,,21,f(1),,2(a，),0 2 ,?存在，使得 x,(,1,1)f(x),000 ?在区间内有且只有一个极小值点 ……………(8分) f(x)(,1,1) 1,f(,1),2(a,),012当a,时 21,f(1),,2(a，),0 2 ,?存在，使得 x,(,1,1)f(x),000 ?在区间内有且只有一个极大值点 ……………(10分) f(x)(,1,1) 11当??时，由(?)可知在区间上为减函数 ,af(x)(,1,1)22 ?在区间内没有极值点( f(x)(,1,1) 11a,,a,综上可知，当时，在区间内的极值点个数为 y,f(x)(,1,1)122 110,当??时，在区间内的极值点个数为 ………(12分) ay,f(x)(,1,1)22 xa,R14(已知函数()( fxax()e1,,, a,0(?)当时，求函数的单调区间; fx() (?)函数在定义域内是否存在零点, Fxfxxx()()ln,, 若存在，请指出有几个零点;若不存在，请说明理由; x,0(?)若fx()0,对任意恒成立，求a的取值范围( xx,fxax()e1,,,fxa()e,,14(解:(?)由，则( ,xa,lnxa,ln由fx()0,fx'()0,，得;由，得， fx()(ln,)a，,(,ln),,a所以函数的单调增区间为，单调减区间为( Fxfxxx()()ln,,(0,)，,Fx()0,(?)函数的定义域为，由， xx,e1,e1,xlnx,0x,0hx(),得()，令()， ax,,lnxx x(e1)(1),,xhx'(),则， 2x xx,0e10,,x,101,,xhx'()0,hx'()0,由于，，可知当，;当时，， hx()(0,1)(1,)，,故函数在上单调递减，在上单调递增， hxh()(1)e1,,,故( 又由(?)知当a,1时，对,,x0，有， fxfa()(ln)0,, xe,1xex,,,,11即， x xx,0(随着的增长，的增长速度越来越快，会超过并远远 y,,e1 大于的增长速度，而的增长速度则会越来越慢( yx,lnyx, x,0则当且无限接近于0时，趋向于正无穷大.) hx()x a,,e1当时，函数有两个不同的零点; Fx() a,,e1当时，函数有且仅有一个零点; Fx() a,,e1当时，函数没有零点( Fx() xx,fxax()e1,,,(?)由，则( fxa()e,, ,a,1,,x0? 当时，对，有， fx()0, 所以函数在区间上单调递增， fx()(0,)，, ,,x0又，即对恒成立( f(0)0,fxf()(0)0,, a,1? 当时，由(?)知，单调递增区间为，单调递减区间为， fx()(ln,)a，,(,ln),,a x,0若对任意恒成立， fx()0, 只需， fxfaaaa()(ln)ln10,,,,,min ,a,1令()，， gaaaa()ln1,,,gaaa()1l,,,,,,n1ln0即在区间上单调递减，又， ga()(1,)，,g(1)0,故在上恒成立， ga()0,(1,)，, a,1aaa,,,ln10故当时，满足的a不存在( 综上所述，a的取值范围是(,1],,(