几何图形推理乘法公式
1、图①是一个长为2m,宽为2n的长方形,沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形,然后按图②的形状拼成一个正方形.
(1)图②中的阴影部分的面积为:
(m-n)2(2)观察图②,三个代数式(m+n)2,(m-n)2,mn之间的等量关系是:
(m-n)2+4mn=(m+n)2(3)若x+y=-6,xy=5,则x-y=
5-5(4)观察图③,你能得到怎样的代数恒等式呢?
(5)试画出一个几何图形,使它的面积能表示(m+n)(m+3n)=m2+4mn+3n2.
2、阅读材料并回答问题:
我们知道,完全平方式可以用平面几何图形的面积来表示,实际上还有一些代数恒等式也可以用这种形式表示,如:(2a+b)(a+b)=2a2+3ab+b2,就可以用图(1)或图(2)等图形的面积表示.
(1)请写出图(3)所表示的代数恒等式:
(2a+b)(a+2b)=2a2+5ab+2b2
(2)试画一个几何图形,使它的面积表示:(a+b)(a+3b)=a2+4ab+3b2;
(3)请仿照上述方法另写一个含有a,b的代数恒等式,并画出与它对应的几何图形.
3、(1)有若干块长方形和正方形硬纸片如图1所示.用若干块这样的硬纸片拼成一个新的长方形,如图2.
①用两种不同的方法,计算图2中长方形的面积;
②我们知道:同一个长方形的面积是确定的数值.由此,你可以得出的一个等式为:
(a+1)2=a2+2a+1
(2)有若干块长方形和正方形硬纸片如图3所示.请你用拼图等方法推出一个完全平方公式,画出你的拼图并说明推出的过程.
4.(1)如图1,可以求出阴影部分的面积是 :a2-b2(写成两数平方差的形式);
(2)如图2,若将阴影部分裁剪下来,重新拼成一个矩形,它的宽是:a2-b2
a-b
长是: a2-b2
a+b
面积是:a2-b2(写成多项式乘法的形式);
(3)比较图1、图2阴影部分的面积,可以得到公式 (a+b)(a-b)=a2-b2
(4)运用你所得到的公式,计算下列各题:
①10.2×9.8,②(2m+n-p)(2m-n+p).
5、如图1所示,边长为a的大正方形中有一个边长为b的小正方形,如图2是由图1中阴影部分拼成的一个长方形.
(1)请你分别表示出这两个图形中阴影部分的面积:
a2-b2
(a+b)(a-b)(2)请问以上结果可以验证哪个乘法公式?
平方差(3)试利用这个公式计算:20122-2013×2011.
6、会说话的图形.如下图,把正方形的方块,按不同的方式划分,计算其面积,便可得到不同的数学公式.按图1所示划分,计算面积,便得到一个公式:a2-b2
若按图2那样划分,大正方形则被划分成一个小正方形和两个梯形,通过计算图中的面积,请你完成下面的填空.
(1)图2中大正方形的面积为 :a2-b2
x2(2)图2中两个梯形的面积为:a2-b2
(3)根据(1)和(2),你得到的一个数学公式为:
x2-y2=(x+y)(x-y)
a2-b2=(a-b)(a+b)3、如图,在边长为a的正方形中剪去一个边长为b的小正方形( ),把剩下部分拼成一个梯形,通过计算这两个图形阴影部分的面积,可验证公式为:
4、如图:大正方形的边长为a,小正方形的边长为b,利用此图证明平方差公式.
5.(1)如图1,可以求出阴影部分的面积是 :a2-b2(写成两数平方差的形式);
(2)如图2,若将阴影部分裁剪下来,重新拼成一个矩形,它的宽是:a2-b2
a-b
长是:a2-b2a+b
面积是:(a+b)(a-b)(写成多项式乘法的形式);
(3)比较图1、图2阴影部分的面积,可以得到公式 (a+b)(a-b)=a2-b2
(4)运用你所得到的公式,计算下列各题:
①10.2×9.8,②(2m+n-p)(2m-n+p).
6.如图,有一位狡猾的地主,把一块边长为a的正方形的土地,租给李老汉种植,他对李老汉说:“我把你这块地的一边减少4m,另一边增加4m,继续租给你,你也没有吃亏,你看如何”.李老汉一听,觉得自己好像没有吃亏,就答应了.同学们,你们觉得李老汉有没有吃亏?请说明理由
7.如图是边长为a+2b的正方形
(1)边长为a的正方形有a2-b2个,(2)边长为b的正方形有a2-b2 个,
4(3)两边分别为a和b的矩形有a2-b2个。
4(4)用不同的形式表示边长为(a+2b)的正方形面积,并进行比较写出你的结论.
8、图①是一个长为2m,宽为2n的长方形,沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形,然后按图②的形状拼成一个正方形.
(1)图②中的阴影部分的面积为:a2-b2
(m-n)2(2)观察图②,三个代数式(m+n)2,(m-n)2,mn之间的等量关系是:a2-b2
(m-n)2+4mn=(m+n)2(3)若x+y=-6,xy=5,则x-y=a2-b2
5-5(4)观察图③,你能得到怎样的代数恒等式呢?
(5)试画出一个几何图形,使它的面积能表示(m+n)(m+3n)=m2+4mn+3n2.
9、阅读材料并回答问题:
我们知道,完全平方式可以用平面几何图形的面积来表示,实际上还有一些代数恒等式也可以用这种形式表示,如:(2a+b)(a+b)=2a2+3ab+b2,就可以用图(1)或图(2)等图形的面积表示.
10、(1)请写出图(3)所表示的代数恒等式:a2-b2
(2a+b)(a+2b)=2a2+5ab+2b2
(2)试画一个几何图形,使它的面积表示:(a+b)(a+3b)=a2+4ab+3b2;
(3)请仿照上述方法另写一个含有a,b的代数恒等式,并画出与它对应的几何图形.
10、(1)有若干块长方形和正方形硬纸片如图1所示.用若干块这样的硬纸片拼成一个新的长方形,如图2.
①用两种不同的方法,计算图2中长方形的面积;
②我们知道:同一个长方形的面积是确定的数值.由此,你可以得出的一个等式为:
(a+1)2=a2+2a+1
(2)有若干块长方形和正方形硬纸片如图3所示.请你用拼图等方法推出一个完全平方公式,画出你的拼图并说明推出的过程.
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