棒球最佳击球点(最终)

棒球最佳击球点(最终) 棒球最佳击球点研究 摘要 本文对棒球的“最佳击球点”进行了研究，并在此基础上分析了在球棒中添加软木填充物、不同球棒材质相对于普通木质球棒的击打效果。 针对问 题 快递公司问题件快递公司问题件货款处理关于圆的周长面积重点题型关于解方程组的题及答案关于南海问题 (1)，首先对球棒外形进行几何简化抽象描述，得到球棒的几何描述方程。然后以球-棒碰撞系统为研究对象，利用动量守恒定理、角动量守恒定理以及恢复系数建立了刚体动力学模型，进而提出最佳击球点的计算方法，得出普通木质球棒的“最佳击球点”在距离球棒柄段66厘米处。 针对问题(2)，本文从添加填充物引起的球棒质量、质心、转动惯量变化出发，分析了添加软木填充物对击球效果的影响，得到“填充软木塞降低棒球的速度”的结论。 问题(3)中，根据不同材质导致转动惯量和恢复系数不同，研究了不同材质对击球效果的影响，得到“铝质”球棒能显著提高击球效果，并会导致体育“装备竞赛”的误区，因此棒球协会禁止铝棒的使用是合理的。 鉴于球棒击球时存在机械振动这一客观事实，本文最后提出了利用接触力学和波动力学理论分别对碰撞模型的改进模型。通过建立接触力学的Hertz模型和振动力学的横向振动梁模型，分别从能量传递和振动主振型的固有频率两个方面定性的对不同材质的球棒对球速的影响进行了分析，得出铝制球棒更有利于击出高速球的结论。 关键词:最佳击球点 动力学模型 Hertz模型 横向振动梁模型 一、问题重述 棒球运动中蕴含了丰富的物理学原理，棒球棒上的“最佳击球点”就是一个典型的例子。请查找资料，建立数学模型，解决以下问题: 每一个棒球手都知道在棒球棒比较粗的部分有一个击球点，这里可以把(1) 打击球的力量最大程度地转移到球上。基于力矩的解释或许可以确定棒球棒的最末端就是最佳击球点，但是实际中并不是这样的。构建模型，解释最佳击球点棒球棒的最末端的原因。 (2)有一些棒球手相信在最佳击球点填充软木塞可以提高打击效果(在球棒头部挖一个圆柱状槽，填充软木塞或者橡皮)。进一步扩展模型确定或否定该结论。解释为什么棒球联盟否定这种做法。 (3)球棒的撞击效果可能与材质有关系，构建模型以预测木质和金属球棒的 这是否是联盟禁止金属球棒的原因。 不同打击效果。解释 二、问题分析 “击球”是一个典型的碰撞问题。题目要求构建模型解释“最佳击球点”为何不在球棒最末端，在最佳击球点填充软木塞是否可以提高打击效果，不同材质的球棒是否会产生不同的打击效果。首先需要明确的是“最佳击球点”的含义。题目中称“可以把打击球的力量最大程度地转移到球上”的击球点为“最佳击球点”。力量的转移不容易量化，但球的离开速度可以作为其外在表现加以测量。这样，寻找“最佳击球点”就是寻找能使球的击出速度最大的击球点。在最佳击球点添充软木塞会产生如下变化:改变球棒质心、改变球棒重量、改变转动惯量进而影响击球效果。不同材质球棒的区别主要有:密度不同、质量不同导致的转动惯量不同;材料不同导致的恢复系数不同、弹性系数不同进而影响击球效果。 将球、棒视为刚体，可以建立“球-棒”系统为研究对象建立经典动力学模 [3]型进行分析。已有研究表明，在撞击瞬间手对棒施加的力对球棒的影响不大，可以近似为球棒是“自由端”。利用“动量守恒定理”、“角动量守恒定理”以及“恢复系数”等研究撞击位置与球离开速度的关系，从而找到“最佳击球点”并分析填充软木塞、改变材料对击球效果的影响。 经典动力学模型用恢复系数来表示碰撞瞬间动能的突变，这样得到的结果是粗糙的。考虑球、棒碰撞时发生的形变，使用接触力学的理论，改进动力学模型，可以得到更精确的结果。 球棒在击球过程中可看做一个一端固定一端自由的振动梁，因此可利用振动力学的知识列出球棒在击球过程中满足的微分方程，进而求解该微分方程，得出球棒的振动方程。通过不同材质的相关参数的不同得到木质球棒与铝制球棒之间的振动差异，进而定性的解释木棒与铝棒在击球过程中体现出的不同特点。 1 三、模型假设与约定 1、球在飞行过程中不自旋。 2、球棒击球时,球的速度方向与球棒轴线正交。 3、球棒形状、尺寸、重量相同。 四、符号说明 符号 含义 e恢复系数 重心位置 C 转动惯量 J 球棒重量 M 五、理论力学模型的建立与求解 5.1球棒外形的抽象描述模型 文献表明，木质棒球球棒的一般规格为: 表 1棒球球拍的物理参数 参数 数值 0.855m 棒长 L M棒重 0.885kg 3,木质密度 649kg/m 102 木质杨氏模量 1.81410/，NmE 最大半径 r7cm 2 最小半径 r2.5cm 1 重心位置 距较小端面0.564m C 球棒为一种旋转体，沿轴线的截面如下: 2 图 1球棒沿轴线的截面 xx其中各部分的长度、可由球棒重量及重心位置确定: 12 112222球棒重量:………….(1) ,,,,，,，,,,,,,,MVrxrHrhrLx[()]11122233 hxx，,h21,,，,,Hhxx 21rr12 依据质心的定义，质心两侧球棒所受重力对重心力矩平衡: MM, …………………………………………………………………….(2) glgr xC122 MgrCxdxgrCxdx,,,,，,,,,,,,()()1gr,,0x1 xL222 MgrxCdxgrxCdx,,,,，,,,,,,,()()2gr,,Cx2 rrrr,,211rx,式中为积分变量的函数，有: xxxx,,211 由(1)(2)式，带入数据得: xx,,0.34590.6423 12 这样，棒球各部分的半径长: ,r10.025,,rr,,,21 rxrxxx()()0.0250.152(0.3459),，,,，,,,11xx,21,,0.070,,r2, 球棒外形简化模型的确定，为不同材质、材质不均匀(如填充软木塞)的球 棒转动惯量的求解提供了方便。 5.2最佳击球点的刚体动力学模型 分析击球手的击球动作可知，击球瞬间存在两个转动系统:手臂和球棒以身 体重心轴为轴的转动、球棒以手腕为轴的转动。 3 x以身体重心所在轴为坐标原点，球棒轴线为轴，轴线垂直方向为轴建By立平面直角坐标系。 设球棒质心坐标，身体重心坐标，手持点坐标。击球点坐标，球BPCW x棒近身端坐标。间距离为，间距离为，间距离为。示意图RHBWWCCPS0 如下: 图 2 击球过程抽象图 碰撞瞬间，球、棒间的作用力远大于球、棒的重力、手的支持力，因此，以球-棒系统为研究对象，轴方向上有动量守恒: y mvmumvmu，,，…………………………………………………...….(3) 11211212 mvmv其中为球的质量，为球棒质量，为球的初速度，为球的离开速度，1122uu为击球前棒的质心速度，为击球后棒的质心速度。 12 ,,设球棒击球前后的角速度分别为、，则: 21 uRH,，,()uRH,，,()，……………………………………………(4) 1122 e恢复系数为碰撞接触点碰撞前相对接近速度除以碰撞后相对远离速度，即: vuS,,,222e,……………………………………………………………..(5) ,，，vuS,111 以身体重心轴为轴建立球-棒系统的角动量守恒方程，以球棒质心为轴，球-棒系统无外力矩，因此角动量守恒，即: mvSRHJmvSRHJ()()，，，,，，，,,.............................................(6) 111122 4 由(3)、(4)、(5)、(6)可得击打后的球速表达式为: JevSHR(1)[()]，,，，,11vv,, 212JmSRH，，，()1 其中转动惯量: xL，022 Jrxdx,,,()x,x0 v对求导得: S2 2,,，，，，,，,，，vJeJmSHRmxJevmSHR(1)(())2(1)(()),21111 ,22,，，，SJmSHR(())1 ,v2令得最佳击球点位置。 ,0,S 统计文献表明，棒球击球瞬间的运动学参数如下: 表 2击球瞬间的运动学参数 运动学参数 数值 v 27.7m/s 1 , 17.288rad/s 1 计算得最佳击球点位置为距棒手柄端点70cm处。 改变击球点位置，得到棒球撞击后的离开速度曲线如下图: 图 3 击球点位置与球离开速度的关系 5 5.3球棒填充物的影响分析 棒球手在最佳击球点添充的软木塞一般为直径1英寸(2.54cm)，10英寸 3(25.4cm)深的圆柱体。软木塞密度260,320 kg/m，密度幅度较大，主要由 33各地区树皮的密度决定，一般不超过340 kg/m，小于木质球棒的密度649kg/m。因此，在球棒中填充软木会带来以下变化: (1) 球棒质量变小，惯性减小，可增加球棒的可控性(bat control)。 (2) 球棒质心向手握点靠近，可使击球时球棒的角动量减小，进而影响击球效 果。 (3) 转动惯量变小，进而影响最佳击球点及最大球速。 下面从以上三个方面量化分析填充物对击球效果的影响。 ,,,MV(),,质量减小量: ss '质心改变距离: ,,,CCC '在建立的坐标系中，原质心横坐标。设填充后质心横坐标为，根CC,56.4 据质心定义，在质心左右两侧重力矩平衡，有: 'CLdL,2'2'222 ,,,,,,,,grCxdxgrxCdxgrrgrdx()()[()],,,，,，()()()xxxsss',,,0CLd, '由此式可计算填充后质心坐标为。 C 球员击球时，以身体重心轴为转轴挥棒的转动惯量: xLdxL，,，00'22222 Jrxdxrrrdx,，,，,,,,,,[()]()()xxsss,,xxLd，,00 转动惯量减小量: ' ,,,JJJ 利用问题(1)所建模型易知，球棒填充软木塞后的最佳击球点及球的最大离开速度的计算只需修正 公式 小学单位换算公式大全免费下载公式下载行测公式大全下载excel公式下载逻辑回归公式下载 中的转动惯量。即: 'Jevx(1)[]，,,'11 vv,,21'2Jmx，1 求导易得球的最大离开速度及对应的最佳击球点。 最大离开速度改变量: ',,,vvv 22 33,,260 kg/m ,,320 kg/m 代入软木塞密度下限，软木塞密度上限可以slsu得到塞入软木塞的影响效果区间: 6 表 3 球棒填充物影响结果 密 项目 项素 ,C,J,v ,M度 目 3,,320 kg/m su2 40g 0.02kgm, 0.01cm1.1/ms 3,,260 kg/m sl2 46g 0.03kgm, 0.01cm1.6/ms 图 4 不同转动惯量下球的离开速度随击球点的变化 表 4 不同转动惯量下球的最大离开速度 0.163 0.173 0.183 0.193 0.203 0.213 J 最大击球速度点 0.596 0.617 0.638 0.660 0.682 0.702 最大速度 31.517 32.085 32.645 33.198 33.744 34.283 结果分析:通过以上结果可知，在球棒中添加填充物对击球效果并不能产生积极影响，主要原因是由于球棒变轻，球棒转动惯量减小，使碰撞能量传输效率变低。但是，这种做法的优势主要体现在对球棒更好的控制能力，加速快，可以延长反应时间。 7 5.4不同材料的球棒对击球效果的影响 金属球棒与木质球棒的主要区别有: 密度不同、质量不同导致的转动惯量不同;材料不同导致的恢复系数不同、弹性系数不同。利用经典理论力学模型，假设两种球棒的外形与前面的抽象模型相同，从转动惯量、恢复系数的角度研究两种材质的球棒的性能，易得球的最大离开速度为: Jevx(1)[]，,,11vv,, 212Jmx，1 查阅相关资料得到铝棒的恢复系数，积分求得铝棒的转动惯量，将木棒和金属棒的代表值代入上式，可得击球点与球速的关系图如下: 图 5 木质球棒与铝质球棒的球速比较 粗略的建模结果显示，用铝棒击球较木棒很容易打出又高又远的高飞球。体育竞技的宗旨在于提高棒球运动员本身的身体素质和技巧，而不是搞体育装备竞赛，所以正规比赛是不允许使用金属棒的。 8 六、模型扩展 6.1接触力学模型 经典力学的碰撞模型中，通过使用恢复系数来体现动能的突变。进一步地研究球与棒的碰撞问题就必须考察碰撞时的接触过程。Hertz的接触理论可以很好的解释碰撞中的接触过程，并解答其中的能量转换关系，是球棒振动的初值问题。 [6]球与球棒的碰撞是一个中速撞击()问题，对此可有如下假设: vms,500/ (1)碰撞的两物体表面都是连续的，并且是非协调接触 (2)小应变条件，即接触面半径远小于物体尺寸() aR (3)碰撞的两物体都可被看做是一个弹性半空间 (4)接触面无摩擦 (5)撞击速度与弹性波速相比很小 接触力学中已经证明，在中速撞击问题中，由于撞击速度与弹性波速相比很小，用准静态方法求解弹性撞击问题是正确的，即使塑性形变发生，解法依然在相当精度内是正确的。因此可以把动态的碰撞过程分解为一系列静态弹性接触过 接触理论求解。 程，独立地运用Hertz 根据Hertz接触理论，球与圆柱体接触，接触面为椭圆，而球与平面的接触面为圆，为简化计算，将球棒假设为四棱体，文献表明，这种改变引起的误差较小。 两个相互接触的无摩擦弹性旋转体之间所形成的接触圆上的压强分布一定满足如下形式: 221/2 ppara,,()/rc()0 则: pds()r,3s ,,pp02,2a 接触圆内法向位移: 2,2p1,v,22220uarrd,,，(cos) ,,zr(),0Ea4, 2,p1,v220,,,(2),arra Ea4 p:接触圆圆心压强，是接触圆上的压强最大值 0 a:接触圆半径 r:接触圆某点到接触圆圆心的距离 c 9 分析球棒的碰撞过程: ML设球的质量为m，半径为，初速度为，球棒质量为，长。球棒受手RV01 的握力作用，并假设球棒与手的接触面为窄带状，设为击球后球的加速度，aa12 为杆的碰撞端切向加速度，为杆的质心加速度，为杆的角加速度。设球对杆a,c F的碰撞力碰撞力大小为，压缩形变量为，手对杆的接触力为,压缩形变量F,112为。 ,2 图 6 旋转体的接触面 整个碰撞过程中，有运动学关系: '',aa,,,121(t),aaS,， ,,2c'',aaH,,,,,,12c(t), 根据牛顿定律、质心运动定理及对质心的角动量定理,有: ,,Fma,11,FFMa，, ,c12 ,(),FRHSFRJ，，,,12, , 11()1RHSSRS，，,'',,,,,，,FF()()112(t),,mMJJM ……………………….(7) ,1HRHSRH()1，，'',(-)-F,，F(),212(t),JMJM, F,F,与，与的函数关系可由Hertz接触力学中的公式决定: 1122 10 2,222,,,,9311-,,P,1,33,aRP,,,,,,,101(t),42ERE,,,,0 ...........................(8) ,2,,,2(1)P,Ee,,''2lnln(-)+0.814rr,，,,,,222(t)2EeP2(1),,,,,2, :材料泊松比，此为0.25 , 球与杆的碰撞力: 222 ,,,,Fapap103 结合式(P)可得球与杆接触处的最大弹性形变: 22,,1,,22………………………………………………………(9) ,Rp,,,,max00E,, (9)式代入(7)式中,并代入参数，可得: 3"2,,,,,，KK[]()1t11()22()tt 3"2,,KK[]2 ,,,2()t31()22()tt 11,,122112,,22KmsKms,，,,，,3.4610;7.6910;12 1025,,,Ksm,，,，2.1810;6.201031max 在碰撞结束后，系统角动量守恒: lMl1''2，，,,,,,,，,,,,lmVlmVydyylmVMMl02()2()mtmt,，，0l23 ''，，,,,，Vl/,,,1()2()tmt，， V其中表示球的末速。 m 故碰撞前后的能量损耗为: 1'2,,EM, []t2()8 结论:碰撞前后的系统能量损耗与杆的质量、压缩形变的一阶导数的平方成 正比。在球棒中添加填充物时，会使压缩形变的一阶导数增大，因此不能产生预 期的好的击球效果。使用铝棒，会引起球棒质量减少，导致系统能量损耗降低， 从而具有较好的击球效果。 11 6.2振动力学模型 在球与棒的撞击过程中，二者的相对速度大小约为60m/s,为中速碰撞问题，利用经典力学理论计算碰撞中的能量损失偏差较大。为了研究碰撞过程中能量传递情况要利用弹性力学中的Timoshenk梁理论来建立模型，求出碰撞过程中能量损失。 在人手握棒时，棒的另一端为自由端，则棒在受到求球冲击后可简化为一个一端固定一端自由横截面积一定的梁，如下图所示 图 7 简化梁模型示意图 建立上图所示坐标系，设yxt(,)为梁上距离原点处的截面在时刻的横向tx pxt(,)mxt(,)位移，表示单位长度的梁上分布的外力，表示单位长度上分布的外 ,力矩。记梁的密度为，梁的横截面积为，梁的杨氏模量为，截面对梁中AE性轴的惯性矩为J。 Q选取梁中的微段dx进行受力分析，设、分别是截面上的剪力和弯矩。M 根据牛顿定理可以得出微段dx的惯性力为: F1 12 2,y,FAdx, 12,t根据力平衡方程有: 2yQ,,,AdxQdxQApdx()0 ，，,,,2tx,, 化简得: 2,,Qy,,,pA…………………………………………………………….(10) 2,,xt 2yQ,,,AdxQdxQApdx()0又由力矩平衡方程(略去高阶小量)，，,,,2tx,, 得: ,M MQdxmdxMdx，,,，,()0 ,x化简得: ,M………………………………………………………………..(11) QM,， ,x 由(10)、(11)两式可得: 22,,,Mmy,，,,pA………………………………………………...(12) 22,,,xxt 又根据材料力学的平截面假设有: R 2,yMEJ,……………………………………..……………………..…..(13) 2,x 将(13)式代入(12)式得: 222yy,,,,()(,)(,)EJApxtmxt,，,, 222uxtx,,,, 上式即为在球棒所在平面内建立二维坐标得出欧拉-伯努利梁的震动微分方 程。 假设球棒为等假面梁，根据振动力学的知识有: ……………………………………………..…………………………(14) EJc, 13 为棒的弹性模量,为一常数。 c 此时上述方程可写为: 42yy,,,cApxtmxt,(,)(,)…………………………………….....(15) ，,,42xtx,,, 球棒的固有频率与主振型 当欧拉-伯努利梁方程为其次微分方程时，可计算得到方程的通解，进而得 到梁振动的主振型和固有频率 令(15)式中 pxt(,)0, mxt(,)0,可得梁的横向自由振动的振动微分方程: 222,,,yy,,cA,0，, ,,222xxt,,,,, 梁的主振动方程可假设为: yxtYxbt(,)()sin(),，,,(7) 将上式代入振动微分方程的: 2 ('')''0cYAY,,,,由于为常数，所以上式可化简为: c (4)4 YY,,,0其中: 2,4, ,2a c2a,。 A, 利用分离变量法可得上式求解，得方程的通解为: ixixxx,,,,,,YxDeDeDeDe(),，，， 1234 即: Yxcxcxcchxcshx()cos()sin()()(),，，，,,,,1234 将(7)式代入上式得梁的主振型为: ……(16) YxCxCxCchxCshxbt()(cos()sin()()())sin(),，，，，,,,,,,1234 14 当球棒的一端固定一端自由时，边界条件可表示为: …………………………………………………………………..….(17) Y(0)0, ,Y(0)0,…………………………………………………………………..….(18) ,,Yl()0,…………………………………………………………………..….(19) ,,,Yl()0,…………………………………………………………………..….(20) 将(17)、(18)边界条件代入式(16)得: CC，,013 CC，,024 于是有: CC,,31 CC,,24 将(19)、(20)边界条件代入式(16)得 (cos()())(sin()())0ClchlClshl,,,,，，，,12 (sin()())(cos()())0ClshlClchl,,，,,,,,12 可得 cos()()sin()()lchllshl，，,,,, ,0 sin()()cos()()lshllchl,,，,,,, 即有: cos()()1,,lchl,, 上式的前三个根为: ,l,1.8751 l,4.694 ,2 l,7.855,3 当时 i,3 1,,,, i,,,,,,,45， li()i2 Yx()每个不同的i可以确定一个，它们是的分量即为各阶振型，各阶Yx()i 15 振型固有频率为: EJ2 i,1,2,3,,,()lii4Al, sin()(),,lshl,Cii2r,,() iiCcos()()lchl，,,1ii 各阶主振型可表示为: i,1,2Yxxchxrxshx()Ccos()()(sin()()),,，,,,,,,,iiiiiii 4I式中为惯性极矩，当物体形状为圆柱体时，为圆柱体直径。DID,0.1pp 44DD当物体为空心圆筒时，，其中为圆筒外半径，为圆筒内IDD,,0.1()12p21 半径; E为介质中机械纵波波速，为棒横截面面积， 为棒长， 为介质A,Vl, 密度。 下图给出了梁的振动的前三阶主振型的图像: 图 8 梁的振动主振型 结论: 利用已知的数据可作出梁振动频率与机械纵波在两种传播速度的关系曲线， 图像如下所示: 16 中给出了一阶，二阶，三阶振型的固有频率与机械纵波波速的关系。 图 对于木棒和铝棒而言，其质量虽然相当，但是密度差别较大，因此可根据相应数据得出木棒和铝棒前三阶主振型的的固有频率，结果如下所示: 木棒:一阶主振型频率:0.40，二阶主振型频率:0.61，三阶主振型HzHz频率:1.01。 Hz 铝棒:木棒:一阶主振型频率:0.47，二阶主振型频率:0.711，三阶HzHz主振型频率:1.21。 Hz 可以看出在前三阶阶振型中，机械纵波在铝中主振型固有频率高于木材的主振型固有频率，所以铝能把更多的能量传递给球。因此，可以得出结论，铝棒在向球传递能量方面更加具有优势，因此更有利于击出速度更快的球。 七、模型评价 9.1、模型优点: (1)对球棒外形进行抽象简化，使研究对象易于描述与建模。 (2)利用理论力学、接触力学、波动力学等多种理论对球-棒碰撞问题从外部 表现、内部过程机理等多角度进行了分析。 9.2、模型缺点: 利用各个力学分支学科的理论建立起来的模型互相独立，没有分析各模型之 间的联系，没有将它们有机地结合起来。 17 八、参考文献 [1]Alan M. Nathan，Dynamics of the baseball–bat collision，American Association of Physics Teachers，2000.3.27 [2] A. M. NATHAN1, L. V. SMITH,EFFECT OF BALL PROPERTIES ON THE BALL-BAT COEFFICIENT,OF RESTITUTION，2002.4 [3]王礼立，应力波基础，北京:高等教育出版社，1985.5 [4]哈尔滨工业大学理论力学教研室，理论力学，北京:高等教育出版社，2002.8第6版 [5] 倪振华，振动力学，西安交通大学出版社.1988.12 [6]K.L.Johnson著，徐禀业，罗学富，刘信声译，接触力学，北京:高等教育出版社，1992.5第1版 18