【自招】2004-2015年上海自主招生数学试题

12011-2015年上海初中自主招生数学 试题 中考模拟试题doc幼小衔接 数学试题 下载云南高中历年会考数学试题下载N4真题下载党史题库下载 及答案2目录2004年交大附中自主招生数学试题及答案...................................................................................32011年华师二附自主招生数学试题及答案...................................................................................72011年上海中学自主招生数学试题及答案（部分）...................................................................92012年复旦附中自主招生数学试题及答案.................................................................................112013年复旦附中自主招生数学试题及答案（部分）.................................................................132013年华二附中自主招生数学试题与答案（部分）.................................................................142013年交大附中自主招生数学试题及答案（部分）.................................................................162013年上海中学自主招生数学试题及答案.................................................................................172014年交大附中自主招生数学试题及答案.................................................................................202014年进才中学自主招生数学试题及答案.................................................................................232014年上海中学自主招生数学试题及答案.................................................................................252014年复旦附中自主招生数学试题及答案.................................................................................272014年华师二附自主招生数学试题.............................................................................................292014年华中一附自主招生数学试题.............................................................................................332015年复旦附中自主招生数学试题.............................................................................................372015年华师一附自主招生数学试题及答案.................................................................................3932004年交大附中自主招生数学试题及答案（本试卷满分100分，90分钟完成）一、单项选择题：（本大题满分30分）本大题共有10个小题，每小题给出了代号为A、B、C、D四个答案，其中有且只有一个答案是正确的．请把正确答案的代号写在题后的圆括号内．每小题选对得3分；不选、错选或选出的代表字母超过一个（不论是否写在圆括号内），一律得零分．1.计算13422213939，得（）A．119B．1C．59D．192.如果ab，那么下列结论正确的是（）A．22acbcB．34abC．32abD．11ab3.已知等腰梯形的中位线长为12，一条对角线分中位线所成的两条线段之比是2:1，则梯形的两底长分别为（）A．8，16B．10，14C．6，18D．4，204.如果两圆的公切线只有两条，那么这两个圆的位置关系是（）A．相交B．外离C．内切D．外切5.设220042004fxxx，（fx表示关于x的函数，如2002004020042004f，220042004fmmm）若fmfn，则fmn（）A．0B．2004C．-2004D．206.若三角形的三个内角A、B、C的关系满足3AB，2CB，那么这个三角形是（）A．钝角三角形B．直角三角形C．等边三角形D．非等边的锐角三角形7.如果A是锐角，且3sin4A，那么（）A．030AB．3045AC．4560AD．6090A48.观察右图，根据规律，从2002到2004，箭头方向依次为（）A．↓→B．→↑C．↑→D．→↓9.已知一组数据6，8，10，x的中位数与平均数相等，这样的x有（）A．1个B．2个C．3个D．4个以上（含4个）10.点P是矩形ABCD内一点，如果3PA，4PB，5PC，则PD的长度是（）A．72B．52C．23D．32二、填空题：（本大题满分36分）本大题共有12个小题，各小题只要求在横线上方填写最终、最准确的结果，每题填写正确得3分，否则一律得0分．11.若实数x满足211xx，则52xx的值为_________．12.在ABC中，90C，如果3sin5A，那么B的余切cotB_________．13.若方程21xxk恰有三解（相等实根算一解），则k的值是__________．14.把抛物线232yx向上平移k个单位，所得抛物线与x轴交于点1,0Ax与2,0Bx，如果221210xx，那么k的值为________．15.某养鱼户为了估计鱼塘内鱼的条数和重量，先网出100条鱼，做上标记后全部放回鱼塘，过些时候捕捞出90条鱼，发现其中有4条鱼带有标记，估计该鱼塘内养鱼约有_________条．16.如图，四边形ABCD中，ADC和ABC都是直角，DE垂直于AB，AD边与CD边长度相等．已知四边形ABCD的面积为16，那么线段DE的长度是_________．17.在ABC中，D为BC的中点，E为AD的中点，如果延长BE交AC于F，那么:AFFC________．18.如图，ABC中，已知ABAC，DEF是ABC的内接正三角形，BDF，CED，AFE，则用、表示的关系式是________．DCABE第16题03→47→811→…↓↑↓↑↓↑…1→25→69→10…519.若扇形的圆心角是60，则该扇形面积与其内切圆面积的比值是_________．20.有红、白、绿、蓝4种颜色的袜子各100只，在黑暗中至少要摸出________只袜子，才能保证摸出的袜子至少有18双（每两只同色袜子叫做一双）．21.在数集上定义运算ab，规则是：当ab时，3abb；当ab时，2abb．根据这个规则，方程464x的解是__________．22.小于1000的自然数中，不能被5和7整除的数有________个．三、解答题：（本大题满分34分）本大题共3题，解答下列各题必须写出必要的步骤．23.（本题满分10分）本题共有3个小题，第1小题满分3分，第2小题满分3分，第3小题满分4分．如图，在RtABC中，90ABC，O是AB上一点，以O为圆心，OB为半径的圆与AB交于点E，与AC切于点D，且2AD，1AE．求：（1）O的直径的长；（2）求BC的长；（3）求DBA的正切tanDBA．CEAFBD第18题第23题CDAEOB624.（本题满分12分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分4分，第3小题满分4分．已知圆M与x轴交于A、B两点，与y轴交于C、D两点，若A、B、C三点的坐标分别是2,0A、12,0B、0,4C，（1）求点D的坐标；（2）求圆心M的坐标；（3）若一抛物线过A、B、C，另一抛物线过A、B、D，求两条抛物线顶点间的距离．CADOMB第24题25.（本题满分12分）求证：不存在这样的正整数，把它的首位数字移到末位之后，得到的数是原来数的两倍．72011年华师二附自主招生数学试题及答案一、填空题（每题4分）1.已知关于x的多项式75212axbxxx（a、b为常数），且当2x时，该多项式的值为8，则当2x时，该多项式的值为__________．2.已知关于x的方程2210xaxa的两实根1x、2x满足22124xx，则实数a__________．3.已知当船位于A时获悉，在其正东方向相距10海里的B处有一艘渔船遇险等待营救，甲船立即前往救援，同时把消息告知在甲船的南偏西30、相距10海里C处的乙船，试问乙船应该朝北偏东__________的方向沿直线前往B处救援．4.关于x、y的方程组1xyxyxyyx有________组解．5.已知a、b、c均大于零，且222420aabacbc，则abc的最小值是_______．6.已知二次函数225yxpx，当2x时，y的值随x的值增加而增加，那么xp对应的y值的取值范围是____________．7.如图所示，正方形ABCD的面积设为1，E和F分别是AB和BC的中点，则图中阴影部分的面积是__________．8.在直角梯形ABCD中，90ABCBAD，16AB，对角线AC与BD交于点E，过E作EFAB于点F，O为边AB的中点，且8FEEO，则ADBC的值为_________．9.以下是面点师一个工作环节的数学模型：如图，在数轴上截取从0到1对应的线段，对折后（坐标1所对应的点与原点重合）再均匀地拉成1个单位长度的线段，这一过程称为一次操作（例如在第一次操作完成后，原来的坐标13,44变成12，原来的12变成1，等等），那么原数轴从0到1对应的线段上（除两个端点外）的点，在第n次操作完成后（1n），恰好被拉到与1重合的点所对应的坐标为_________．ABCDEF0121810.定义min,,abc表示实数a、b、c中的最小值，若x、y是任意正实数，则11min,,Mxyyx的最大值是________．二、计算题（20分）11.四个不同的三位整数首位数字相同，并且它们的和能被它们中的三个数整除，求这些数．（10分）12.如图，已知PA切O于A，30APO，AHPO于H，任作割线PBC交O于点B、C，计算HCHBBC的值．（10分）APBCHO92011年上海中学自主招生数学试题及答案（部分）1.如图，已知锐角ABC中，45BAC，CE、AD分别是边AB、BC上的高，联结DE，求证：2ADCDDE．ABCDEEFCDBA2.如图，已知在ABC外作等腰直角三角形ABD和等腰直角三角形ACE，且90BADCAE，AM为ABC中BC边上的中线，连接DE．（1）求证：2DEAM；（2）若AGBC于点G，H为直线AG和DE的交点，求证：H为DE中点．ABCMGHED3.如图，在ABC中，ABAC，BD、CD平分ABC，点D在ABC内，过点D作EF∥BC．请问：EF与BE和CF有什么关系？ABCEFD104.已知：在ABC中，ABAC，72B．（1）如何才能将ABC划分成三个等腰三角形？请画出至少4种不同的图形；（2）如何才能将ABC划分成四个等腰三角形？请画出至少3种不同的图形．5.如图，在正三角形ABC中，其中AFBDCE，AD、BE、CF两两相交于P、Q、R．求证：PQR为正三角形ABCDEFPQR112012年复旦附中自主招生数学试题及答案1.若xab，22yab，则22xyxy______．2.x，y满足22yxpx，若xy最大值为2，则复实数_____p．3.kyx上一点C，以C为圆心，1为半径画圆，圆上有2点到O点距为2，则k取值范围______．4.直径为MN的半圆与MA，NB相切．P为MN上一点，PFAB，若AB与半圆相切，则ABPBPA最大值为______．5.6.已知BAC与内部一点M，因纸太小A点画不下，求做一直线经过M，A（尺规作图）．7.矩形ABCD中，BCAB3，将矩形折叠，B落在AD上点M处，C落在N处，求AMFBEC．MNAFBPBMCAMDNFCBE128.设21,xx为022ppxx的两根，P为实数．求证032221pxpx．当3221pxx时，求P的最大值．9.实数1a，2a，na满足：021naaa121naaa求证：k个数（k=1，2，3，n），2121kaaa．10.锐角ABC中，AD，BE，CF分别为BC，AC，AB边上的高，设aBC，bAC，cAB，xBD，yEC，zAF．用a，b，c表示x．当a，b，c满足什么关系时，有cbazyx2？132013年复旦附中自主招生数学试题及答案（部分）1.已知abc，bca，cab，求abc的值．2.已知221766xyxyxyxy，求432234xxyxyxyy的值．3.若a、b、c为正有理数， 证明 住所证明下载场所使用证明下载诊断证明下载住所证明下载爱问住所证明下载爱问 ：⑴若ab为有理数，则a、b为有理数，⑵若abc为有理数，则a、b、c为有理数．142013年华二附中自主招生数学试题与答案（部分）1.在RtABC中90AABaACb，，，在AC上有一点E，在BC上有一点F，BEEFAEx，，EFCSy，求y与x的函数关系．2.定义①111，②1111nn，求1n＿＿＿．3.221328()2114axaxafxaxaxa定义域为D，()0fx在定义域D内恒成立，求a的取值范围？4.已知：2222114abab，求20122013baab=＿＿＿．5.如图，有棋子摆成这样，求第n幅图有＿＿＿颗棋子．156.如图，在矩形ABCD中2AEBE，将ABEDEC、分别沿BEEC、翻折，''15DEA，求ECB______．7.1，2，2，3，3，3，4，4，4，4…，第2013个数是______．8.已知：xy、为有理数，且满足21334xy，求(,)xy＿＿＿．EDCD'A'ABA'162013年交大附中自主招生数学试题及答案（部分）1.有理化1351．2.等边ABC重心为O，1ABCS，以O为旋转中心旋转60得ABC，则ABC与ABC的重叠面积为______．3.2ba，7cb求acbcabcba242332222．4.用两条直线分割下图，使拼成正方形．5.如图，有半径为2的圆A，A0,1，直线kxy过A，与圆交于P11,yx，Q22,yx，01y，D3,0．求P，Q坐标以P为顶点的抛物线过A，求解析式在抛物线对称轴上有一点M，使DMQ的周长最大，求M．6.ACBBOACyxO1234512345﹣1﹣1﹣2﹣2﹣3﹣3﹣4﹣4﹣5AQPD172013年上海中学自主招生数学试题及答案一、填空题（本部分共10道题，每题8分，共80分）1.计算111122320122013_____________.2.设x，y，z为整数且满足201220131xyyz，则代数式333xyyzzx的值为________________.3.若有理数a，b满足21334ab，则ab________.4.如图，在ABC中，3AC，4BC，5AB，线段DEAB，且BDE的面积是ABC面积的三分之一，那么，线段BD长为___________.5.二次函数20yaxbxca的图像与x轴有两个交点MN、，顶点为R，若MNR恰好是等边三角形，则24bac____________.6.如图为25个小正方形组成的55棋盘，其中含有符号“”的各种正方形共有19个.187.平面上有n个点，其中任意三点都是直角三角形得顶点，则n的最大值为4.8.若方程2214xxk有四个非零实根，且它们在数轴上对应的四个点等距排列，则实数k74.9.一个老人有n匹马，他把马全部给两个儿子，大儿子得x匹，小儿子得y匹(1)xy，并且满足x是1n的约数，y也是1n的约数，则正整数n共有______种可能得取值？10.已知0a且不等式12ax恰有三个正整数解，则当不等式23ax含有最多的整数解时，正数a的取值范围为__________.二、解答题（本部分共四道题，其中前两题每题15分，后两题每题20分，共70分，要求写出必要的解题步骤）11.设方程210xx的两个根为ab、，求满足,,11fabfbaf的二次函数fx.12.已知11232nnn，这里n为任意正整数，请你利用恒等式3321331nnnn，推导出2222123n的计算公式.1913.解方程组：2222221()2()3()xyzyzxzxy14.已知ABC，5AC，6AB，7BC，111ABC中，1AA，1=BB，但111ABC的大小和位置不定，当1A到BC的距离为3，1B到AC的距离为1，（如图），问：1C到AB的距离是否为定值？若是，求出定值；若不是，说明理由.202014年交大附中自主招生数学试题及答案一、填空题1.在△ABC中，设CAa，CBb，P是中线AE与中线CF的交点，则BP．（用,ab表示）2.已知a是正实数，则2aa的最小值等于．3.正整数360共有个正因数．4.小明负责小组里4个同学的作业本的收发，但做事比较马虎。如果他随机的分发4个同学的本子，那么他把每个同学的本子都发错的概率是．5.计算：1322．6.计算：111122320132014．7.一卷直径为10厘米的圆柱形无芯卷筒纸是由长为L厘米的纸绕80圈而成，那么L_______.8.满足方程：421mn的正整数有序数对,mn的个数为．9.已知实数x满足2262412xxxx，则22xx的值为．2110.直线1xy与反比例函数kyx的图像如果恰有一个交点，则该交点必定在第象限．11.平面上边长为1的正方形ABCD绕着其中心旋转45得到正方形A'B'C'D'，那么这两个正方形重叠部分的面积为．12.请在下列表格的9个小方格中分别填入数字1、2、3、4、5、6、7、8、9，使得每行每列，以及两条对角线上的三个数之和相等（只需要填1种答案）．13.在前1000个整数1，2，3，…，1000中，数码1共出现了次．14.设0,2A，4,2B是平面直角坐标系中的两点，P是线段AB垂直平分线上的点，如果点P与点1,5C的距离等于22，则点P的坐标为．15.方程组21731423142172xyxy的解为．16.坐标原点0,0关于直线4yx翻折后的点的坐标为．二、解答题17.已知，在△ABC中，1ACBC，36C，求△ABC的面积S．2218.已知二次函数2yaxbxc的图像抛物线经过3,0A，1,0B两点，,4Mt是其顶点。（1）求实数,,abc的值；（2）设点4,6C，1,1D，点P在抛物线上且位于x轴上方，求当△CDP的面积达到最大时点P的坐标．19.证明2不是有理数．232014年进才中学自主招生数学试题及答案1.如图3，直线l上有三个正方形,,abc，若,ac的面积分别为5和11，则b的面积为___________．2.化简111121324320132012．3.如图4，弧BE是半径为6的D的14圆周，C点是弧BE上的任意一点，ABD是等边三角形，则四边形ABCD的周长的取值范围是___________．4.若223894613,MxxyyxyxyR，则M________0．5.如图5，所有的正方形的中心都在坐标原点，且各边与坐标轴平行．从内到外，他们的边长依次为2，4，6，8，…，顶点依次用1234,,,,AAAA表示，则顶点35A的坐标是什么？6.直角三角形的三个顶点均在抛物线2yx上，并且斜边平行于横轴．求斜边上的高的可能取值．7.如果,xy是非零实数，并且33,0xyxyx，那么xy=________．8.若2x，则26133xxyx的最大值是_______．acbl图3EDCBA图4图51A2A3A4A5A6A7A8Ayx249.若不等式组2xaxa的解集中仅有5个整数解，则a的取值范围是_________．10.如图6，等腰直角三角形ABC的一直角边AB在直线L上，将该三角形绕着顶点B顺时针方向旋转至边BC落在直线L上，再绕顶点C顺时针旋转至边CA落在直线L上．若1AB，则顶点A的运动轨迹与直线L围成的图形的面积是多少？11.某商场在节日期间举行促销活动，规定：（1）若所购商品标价不超过200元，则不给与优惠；（2）若所购商品标价超过200元但不超过500元，则超过200元的部分给与九折优惠；（3）若所购商品标价超过500元，其500元（含500元）的部分按第二条给与优惠，超过500元的部分给与八折优惠．某人在该商场购买了一件电器共节省了330元，则该家电商品在商场的标价为多少？12.如图7，锐角ABC中23,60ABBAC，BAC的平分线交BC于点D，,MN分别是,ADAB上的动点，则BMMN的最小值是几？13.我们把直角坐标系内横、纵坐标均为整数的点称为整点．设一次函数ykxb的图像为直线l，下列说法正确的是（）A．不存在只经过一个整点的直线lB．若系数都是有理数，则直线l一定经过无穷多个整点C．若系数都是无理数，则直线l不经过任何整点D．若直线经过两个整点，则直线l一定经过无穷多个整点14.定义[]x为不超过x的最大整数，则方程22310xx的解的范围是什么？ABC(A')C'B'A''图6ABCNMD图7252014年上海中学自主招生数学试题及答案一、填空题1.已知111abab，则baab_________．（错题）2.有________个实数x，可以使得120x为整数？3.如图，ABC中，ABAC，CDBF，BDCE，用含A的式子表示EDF．应为EDF__________．4.在直角坐标系中，抛物线220yxmxmm与x轴交于A、B两点，若A、B两点到原点的距离分别为OA、OB，且满足1123OBOA，则m_________．5.定圆A的半径为72，动圆B的半径为，72r，且r是一个整数．动圆B保持内切与圆A且沿着圆A的圆周滚动一圈．若动圆B开始滚动时的切点与结束时的切点是同一点．则r共有个可能的值．6.学生若干人租游船若干只，如果每船坐4人，就余下20人；如果每船坐8人，那么就有一船不空也不满，则学生共有________人？7.对于互不相等的正数数组123,,,,naaaa（n是不小于2的正整数），如果在ij时有ijaa，则称ia与ja是该数组的一个逆序．例如数组（2，4，3，1）中有逆序“2，1”，“4，3”，“4，1”，“3，1”，其逆序数为4．现若各数各不相同的正数数组123456,,,,,aaaaaa的逆序数为2，则654321,,,,,aaaaaa的逆序数是________．8.若n为正整数，则使得关于x的不等式11102119xxn有唯一的整数解的n的最大值为_________．二、选择题9.已知212xax能分解成两个整系数的一次因式的积，则符合条件的整数a的个数为（）A．3B．4C．6D．8EAFBDC2610.如图，D、E分另为△ABC的底边所在的直线上的两点，DBEC，过A作直线l，作DM∥BA交l于N，设△ABM面积为S1，△ACN面积为S2，则（）A．12SSB．12SSC．12SSD．无法确定11.设1p、2p、1q、2q为实数，则12122ppqq．若方程甲：2110xpxq；乙：2220xpxq．则（）A．甲必有实根，乙也必有实根B．甲没有实根，乙也没有实根C．甲、乙至少一个有实根D甲、乙是否总有一个有实根不能确定12.设222212310071352013a，222212310073572015b，以下四个选项中最接近ab的整数为（）A．252B．503C．1007D．2013三、解答题13.直角三角形ABC和直角三角形ADC有公共斜边AC（BD位于AC的两侧），M、N分别是AC、BD的中点，且M、N不重合．（1）线段MN与BD是否垂直？证明你的结论；（2）若30BAC，45CAD，4AC，求MN的长．14.是否存在m个不全相等的正数123,,,,maaaa7m，使得它们不能全部被摆放在一个圆周上，每个数都等于其相邻两数的乘积？若存在，求出所有这样的m值，若不存在，说明理由．MNADCB272014年复旦附中自主招生数学试题及答案一、填空题1.已知998a，997b，996c，则2aabacbc．2.已知：23a，32b，则1111ab．3.在△ABC中，10AB，16AC，BAC的角平分线为AN，BN和AN垂直，垂足为N，M为BC的中点，则MN．4.方程2354235xxxx的根为．5.已知一次函数ykxb经过点1,1，且2k，则该函数不经过第象限．6.已知,,,,,abcdef为实数，满足0ace，已知axbcxdexf对于任意x都成立，则adbc．7.已知：222212310011352001A，222212310013572003B，则与AB最接近的整数是．二、解答题8.已知,xy是正整数，且2014xy，11112014xyxy，试求xy的最大值．289.在△ABC中，BF和CE分别是ABC和ACB的平分线，O是内心（角平分线的交点），满足OEOF，求证：△ABC是等腰三角形或60A．10.从1、2、3、4、…、2014这2014个数中，抽取n个数，放入集合A中，从A中任意取3个数后，总有一个数能够整除另一个，试求n的最大值．292014年华师二附自主招生数学试题一、填空题1.已知14aa，则44aa________.2.在ABC外接圆，已知3R，边长之比为3:4:5，ABCS_________.3.222114babab，则20132014baab____________.4.四个互不相等的整数ABCD满足下式的关系，则D的可能有_______个取值.ABBCBBCADADBDDD5.有一个鱼缸它的底为10040cmcm，高50cm，现在鱼缸内装水40cm，将一个底为4020cmcm，高为10cm的砖块扔到鱼缸中。缸内水面上升了________cm.6.有一个正方形ABCD，边长为1，其中有两个全等矩形BECF，GHIJ，BE______.7.一个正方体的表面积是224cm，里边有个内切圆，这个内切圆中还内接一个小正方体，小正方体表面积为__________.8.已知，1393abc，求222abcabacbc___________.9.甲手上有15号牌，乙手上有611号牌，现在要甲乙手中各抽一张牌，使得它们的乘积为3的倍数，则这样的概率为__________.10.直角坐标系xOy内有一个OEF，4,2E，2,2F，原点O为位似中心，相似比为2，点E的对应点为1E，求1E的坐标__________.11.一辆计程车的速度为55/kmh，出发时，它的里程表上的里程为abc，行程结束时里程表上的速度为cba，其中1a，7abc，222abc__________.12.有一个多项式，除以223x，商式是74x，余式是52x，多项式为________.13.有11个整数，平均数是10，中位数是9，众数只有一个8，问最大的正整数为______.CBIJGAHDFE3014.有一个矩形ABCD，2DCBC，,EF在AB边上，,DEDF将ADC三等分，DEFABCDSS_________.二、选择题15.若干个正六边形拼成的图形中，下列三角形与ACD全等的有（）A.BCEB.ADFC.ADED.CDE16.抛物线20yaxbxca，抛物线上两点15,Ay，23,By，抛物线顶点在00,xy，当120yyy，求0x的取值范围.17.12,ll交于点O，平面内有任意点M，M到12,ll的距离分别为,ab，有序实数对,ab为距离坐标，若有序实数对为2,3，这样的数有几个？18.有一种长方形纸片，其长为a，其宽为bab，现将这种纸片按下右图的方式拼成矩形ABCD，其中两块阴影部分没有被纸片覆盖，这两个阴影部分的面积之差为S，当BC的长改变时，S不变，a和b满足（）三、解答题19.解关于x的方程1232xa.CDABabFABCDE3120.某商场需购进甲、乙两种不同型号的手机，每台手机的进价与售价如下图：单位（元）甲乙进价40002500售价43003000进货用了资金15.5万元，获得毛利2.1万元.1问该商场购进两种手机各多少台？2若现在进货资金不超过16万，且在1的基础上购进乙种手机，增加的数量是购进甲种手机减少数量的两倍，问该商场采用何种进货 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使得毛利最大？21.如图所示，C在圆O上，//ODBC,AD是切线，延长,DCAB交于点E.1求证：DE是切线；223CEDE，求cosABC的值.ABCDOF3222.1设n是给定的正整数，化简：2211111nn；2根据1的结果，计算2222221111111111223910的值.23.已知抛物线过点3,0A，0,3B，1,0C1求抛物线解析式；2P是直线AB上方抛物线上一点，不与,AB重合，PDAB，PFx轴①当PDEC最大时，求P的坐标；②如图所示，以AP为边作正方形APMN，M或N恰好在对称轴上，求P的坐标.332014年华中一附自主招生数学试题一、选择题23.已知1,2,3abbcacabbcac，则c的值等于（）A．12B．125C．512D．1224.如图，平行四边形ABCD中，24AB，点,EF三等分对角线AC，DE的延长线交AB于M，MF的延长线交DC于N，则DN等于（）A．14B．16C．17D．1825.已知abcabcabckcba，且2596mnn，则关于自变量x一次函数ykxmn的图象一定经过第（）象限．A．一，二B．三，四C．二，三D．一，四26.某家电公司销售某种型号的彩电，一月份销售每部彩电的利润是售价的25％，二月份每部彩电的售价调低10％而进价不变，销售件数比一月份增加80％，假设每个月所进彩电当月全部售完，那么该公司二月份销售彩电的利润总额比一月份利润总额增长（）A．2％B．8％C．40．5％D．62％27.如右图，已知等边ABC外有一点P，P落在BAC内，设点P到BCCAAB、、三边的距离分别为123hhh、、，且满足23118hhh，那么等边ABC的面积为()A．1023B．903C．1083D．104328.已知二次函数2yaxbxc的图象如图所示，并设22Mabcabcabab，则（）A．0MB．0MC．0MD．不能确定M为正为负或为0二、填空题（本大题共6小题，每小题7分，共42分）ABDEFMNABCP1h2h3hxy11O3429.若1ab且有272014170aa及217201470bb，则ab______．30.已知不论k取什么实数，关于x的方程2136kxaxbk（,ab是常数）的根总是1x，则ab——．31.如图所示，圆1O与圆2O外切于点A，两圆的一条外公切线与圆1O相切于点B，若AB与两圆的两条外公切线平行，则圆1O与圆2O的半径之比为_________．32.如图，正方形ABCD的对角线相交于O，正三角形OEF绕点O旋转一周，在旋转过程中，当AEBF时，15AOE的大小是________．33.小明按如图所示 设计 领导形象设计圆作业设计ao工艺污水处理厂设计附属工程施工组织设计清扫机器人结构设计 树形图，设计规则如下：第一层是一条与水平线垂直的线段，长度为1；第二层在第一层线段的前端作两条与该线段均成120的线段，长度为其一半；第三层按第二层的方法，在每一条线段的前端生成两条线段，重复前面的作法到第10层，则树形图第10层的最高点到水平线的距离为．34.如图，以RtABC的斜边BC为一边在ABC的同侧作正方形BCEF，设正方形的中心为O，连接AO，如果4AB，6AO，那么AC的长等于________．三、解答题(本大题共5小题，共72分，解答应写出文字说明、正面过程和演算步骤）BA1O2O水平线第一层第二层第三层第四层BACOEF3535.在平面直角坐标系中，有以1,1A、1,1B、1,1C、1,1D为顶点的正方形，设它在折线yxaa上方部分的面积为S1当12a时，求S的值；2当11a时，求S关于a的函数解析式．36.在直角坐标系中，一次函数0ykxbk的图象与x轴的正半轴、y轴的正半轴分别交于AB、两点，且使得的面积值等于3OAOB．1用b表示k及OAB的面积S；2当b变化时，求S的最小值．37.如图，在ABCD中，12341nPPPPP、、、、、是BD的n等分点，连接2AP并延长交CD于点F．1求证：//EFBD2设ABCD的面积是S，若38AEFSS，求n的值．ADCOBxyABEC2P1P2nPFD1nP3638.如图，抛物线20yaxbxa与双曲线kyx有公共点AB、．已知点A的坐标为14，，点B在第三象限内，且AOB的面积为3（O为坐标原点）．1求实数a，b，k的值；2过抛物线上点A作直线//ACx轴交抛物线于另一点C，求所有满足EOC与AOB相似的点E的坐标．39.如图，已知1,0A，20,2E，以点A为圆心，以AO为x的长为半径的圆交x轴于另一点B，过点B作//BFAE交圆A于点F，直线FE交轴于点C．1求证：直线FC是圆A的切线；2求点C的坐标及直线FC的解析式；3有一个半径与圆A的半径相等，且圆心在x轴上的运动的点P与直线FC相较于,MN两点，是否存在这样的点，P使PMN是直角三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．CyxAOBFEBxyACO372015年复旦附中自主招生数学试题一、填空题1.实数x、y、z满足222226214xyxyxzxz，则xyz_________．2.若10013的分子、分母同时加上正整数n时，该分数成为整数．这样的正整数n共有__________个．3.已知27aa，273bb，且ab，则22baab=___________．4.设p是奇数，则方程2xypxy满足xy的正整数解是___________．5.方程1212111xxxx的解为__________．6.如图，正方形ABCD的边长为100米，甲、乙两个动点分别从A点和B点同时出发按逆时针方向移动．甲的速度是7米/秒，乙的速度是10米/秒。经过_______秒，甲、乙两动点第一次位于正方形的同一条边上．7.已知ABC是等边三角形，动点P、Q、R分别同时从顶点A、B、C出发，沿AB，BC，CA按逆时针方向以各自的速度匀速移动，且P、Q、R经过ABC的一边所用时间分别为1秒、2秒、3秒．从运动开始起，在1秒内，经过__________秒PQR的面积取到最小值8.二次函数fx的图像开口向上，与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，以D为顶点，若三角形ABC的外接圆与y轴相切，且150DAC，则0x时，fxx的最小值是___________．甲乙DACB38二、解答题9.已知a是正常数，且关于x的方程2112132xxxxax仅有一个实数根，求实数a的取值范围．10.抛物线的顶点坐标是59,28，且经过点8,14A．（1）求该抛物线的解析式；（2）设该抛物线与y轴相交于点B，与x轴相交于C、D两点（点C在点D的左边），求点B、C、D的坐标．392015年华师一附自主招生数学试题及答案考试时间：80分钟卷面满分：150分一、选择题（6分×6=36分）1.1如果实数,,abc在数轴上的位置如图所示，那么代数式2222aabcaca可以化简为A．abcB．abcC．abcD．abc2.反比例函数4yx的图象与直线ykxb交于1,,,1AmBn两点，则OAB的面积为A．112B．4C．152D．1323.设12,xx是一元二次方程230xx的两根，则3212415xx等于A．-4B．8C．6D．04.已知a，b，c分别是的三边长，且满足444222222220abcacbc，则ABC是A．等腰三角形B．等腰直角三角形C．直角三角形D．等腰三角形或直角三角形5.在一节数学实践活动课上，老师拿出三个边长都为40mm的正方形硬纸板，他向同学们提出了这样一个问题：若将三个正方形纸板不重叠地放在桌面上，用一个圆形硬纸板将其盖住，这样的圆形硬纸板的最小直径为（单位：mm）A．802B．402C．2517D．100bca0xABOxy406.如图，ABC内接于圆O，BC=36，∠A=60°，点D为BC上一动点，BE⊥直线OD于E，当点D由B点沿BC运动到点C时，点E经过的路线长为A．123B．83C．273D．54二、填空题（7×7=49分）7.方程31641xxx的所有根的和为_______．8.在5瓶饮料中，有2瓶已过了保质期，随机地从这5瓶饮料中取2瓶，取到至少有1瓶过保质期饮料的概率为________．9.关于x的方程211aax无解，则a的值是_______．10.一辆快车从甲地开往乙地，一辆慢车从乙地开往甲地，两车同时出发，分别以各自的速度在甲乙两地间匀速行驶，1小时后，快车司机发现有重要文件遗忘在出发地，便立即返回拿上文件（取文件时间不计）后再从甲地开往乙地，结果快车先到达乙地．慢车继续行驶到甲地．设慢车行驶速度为x（h），两车之间的距离为y（km），y与x的函数图象如图所示，则a_______．11.已知24,13,234axyxax当时函数的最小值为-23，则a=______．CDOEBA10008001ab12.5kmxkmy4112.如图，在单位为1的正方形的网格纸上，123AAA，345AAA，567,,AAA都是斜边在x轴上，且斜边长分别为2，4，6，⋯的等腰直角三角形．若123AAA的顶点分别为1232,0,1,-1,0,0,AAA则依图中的规律，2015A的坐标为______．13.有一张矩形风景画，长为90cm，宽为60cm，现对该风景画进行装裱，得到一个新的矩形，要求其长，宽之比与原风景画的长，宽之比相同，且面积比原风景画的面积大44%．若装裱后的上，下边衬的宽都为acm，左，右边衬都为bcm，那么ab______．三、解答题14.（14分）已知m，n是方程2310xx的两根，求162102553mmmmm的值；求33mnnm的值．yx8A4A5A1A3A7A3A6Abaaa60b4215.（15分）如图，△ABC中，AC=BC，I为△ABC的内心，O为BC上一点，过B，I两点的圆O交BC于D点，1tan,63CBIAB，求线段BD的长；求线段BC的长．16.（18分）如图，四边形ABCD中，AD∥BC，∠BCD=90°，AD=6，BC=3，DE⊥AB于E，AC交DE于F，求AE·AB的值；若CD=4，求AFFC的值；若CD=6，过A点作AM∥CD，交CE的延长线于M，求MEEC的值．AOCIBDAEFDCBBAEFDCM4317.（18分）二次函数242yxmxn的图象与x轴交于1212,0,,0AxBxxx两点，与y轴交于C点．若2AB，且抛物线的顶点在直线y=-x-2上，试确定m，n的值；在（1）中，若点P为直线BC下方抛物线上一点，当△PBC的面积最大时，求P点坐标；是否存在整数M，N，使得1212,12,xx同时成立?请证明你的结论．BACP