.PAGE/NUMPAGES初三数学二次函数知识点总结一、二次函数概念：1．二次函数的概念：一般地,形如〔是常数,的函数,叫做二次函数。这里需要强调：和一元二次方程类似,二次项系数,而可以为零．二次函数的定义域是全体实数．2.二次函数的结构特征：⑴等号左边是函数,右边是关于自变量的二次式,的最高次数是2．⑵是常数,是二次项系数,是一次项系数,是常数项．二、二次函数的基本形式二次函数的基本形式的性质：a的绝对值越大,抛物线的开口越小。的符号开口方向顶点坐标对称轴性质向上X=h时,随的增大而增大；时,随的增大而减小；时,有最小值．向下X=h时,随的增大而减小；时,随的增大而增大；时,有最大值．三、二次函数图象的平移1.平移步骤：方法一：⑴将抛物线解析式转化成顶点式,确定其顶点坐标；⑵保持抛物线的形状不变,将其顶点平移到处,具体平移方法如下：2.平移规律在原有函数的基础上"值正右移,负左移；值正上移,负下移"．概括成八个字"左加右减,上加下减"．方法二：⑴沿轴平移:向上〔下平移个单位,变成〔或⑵沿轴平移：向左〔右平移个单位,变成〔或四、二次函数与的比较从解析式上看,与是两种不同的表达形式,后者通过配方可以得到前者,即,其中．五、二次函数图象的画法五点绘图法：利用配方法将二次函数化为顶点式,确定其开口方向、对称轴及顶点坐标,然后在对称轴两侧,左右对称地描点画图.一般我们选取的五点为：顶点、与轴的交点、以及关于对称轴对称的点、与轴的交点,〔若与轴没有交点,则取两组关于对称轴对称的点.画草图时应抓住以下几点：开口方向,对称轴,顶点,与轴的交点,与轴的交点.六、二次函数的性质1.当时,抛物线开口向上,对称轴为,顶点坐标为．当时,随的增大而减小；当时,随的增大而增大；当时,有最小值．2.当时,抛物线开口向下,对称轴为,顶点坐标为．当时,随的增大而增大；当时,随的增大而减小；当时,有最大值．七、二次函数解析式的表示方法1.一般式：〔,,为常数,；2.顶点式：〔,,为常数,；3.两根式：〔,,是抛物线与轴两交点的横坐标.注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式,但并非所有的二次函数都可以写成交点式,只有抛物线与轴有交点,即时,抛物线的解析式才可以用交点式表示．二次函数解析式的这三种形式可以互化.八、二次函数的图象与各项系数之间的关系1.二次项系数二次函数中,作为二次项系数,显然．决定了抛物线开口的大小和方向,的正负决定开口方向,的大小决定开口的大小．2.一次项系数在二次项系数确定的前提下,决定了抛物线的对称轴．的符号的判定：对称轴在轴左边则,在轴的右侧则,概括的说就是"左同右异"3.常数项决定了抛物线与轴交点的位置．总之,只要都确定,那么这条抛物线就是唯一确定的．二次函数解析式的确定：根据已知条件确定二次函数解析式,通常利用待定系数法．用待定系数法求二次函数的解析式必须根据题目的特点,选择适当的形式,才能使解题简便．一般来说,有如下几种情况：1.已知抛物线上三点的坐标,一般选用一般式；2.已知抛物线顶点或对称轴或最大〔小值,一般选用顶点式；3.已知抛物线与轴的两个交点的横坐标,一般选用两根式；4.已知抛物线上纵坐标相同的两点,常选用顶点式．九、二次函数与一元二次方程：1.二次函数与一元二次方程的关系〔二次函数与轴交点情况：一元二次方程是二次函数当函数值时的特殊情况.图象与轴的交点个数：①当时,图象与轴交于两点,其中的是一元二次方程的两根．这两点间的距离.②当时,图象与轴只有一个交点；③当时,图象与轴没有交点.当时,图象落在轴的上方,无论为任何实数,都有；当时,图象落在轴的下方,无论为任何实数,都有．2.抛物线的图象与轴一定相交,交点坐标为,；3.二次函数常用解题方法总结：⑴求二次函数的图象与轴的交点坐标,需转化为一元二次方程；⑵求二次函数的最大〔小值需要利用配方法将二次函数由一般式转化为顶点式；⑶根据图象的位置判断二次函数中,,的符号,或由二次函数中,,的符号判断图象的位置,要数形结合；⑷二次函数的图象关于对称轴对称,可利用这一性质,求和已知一点对称的点坐标,或已知与轴的一个交点坐标,可由对称性求出另一个交点坐标.二次函数考查重点与常见题型考查二次函数的定义、性质,有关试题常出现在选择题中,如：已知以为自变量的二次函数的图像经过原点,则的值是综合考查正比例、反比例、一次函数、二次函数的图像,习题的特点是在同一直角坐标系内考查两个函数的图像,试题类型为选择题,如：如图,如果函数的图像在第一、二、三象限内,那么函数的图像大致是〔yyyy110x-1ox0x01xABCD考查用待定系数法求二次函数的解析式,有关习题出现的频率很高,习题类型有中档解答题和选拔性的综合题,如：已知一条抛物线经过<0,3>,<4,6>两点,对称轴为,求这条抛物线的解析式。考查用配方法求抛物线的顶点坐标、对称轴、二次函数的极值,有关试题为解答题,如：已知抛物线〔a≠0与x轴的两个交点的横坐标是－1、3,与y轴交点的纵坐标是－eq\f<3,2>〔1确定抛物线的解析式；〔2用配方法确定抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标.5．考查代数与几何的综合能力,常见的作为专项压轴题。由抛物线的位置确定系数的符号例1〔1二次函数的图像如图1,则点在〔A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限〔2已知二次函数y=ax2+bx+c〔a≠0的图象如图2所示,则下列结论：①a、b同号；②当x=1和x=3时,函数值相等；③4a+b=0；④当y=-2时,x的值只能取0.其中正确的个数是〔A．1个B．2个C．3个D．4个<1><2>[点评]弄清抛物线的位置与系数a,b,c之间的关系,是解决问题的关键．例2.已知二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交于点<-2,O>、,且1的下方．下列结论：①aO；③4a+cO,其中正确结论的个数为<>A1个B.2个C.3个D．4个答案：D会用待定系数法求二次函数解析式例3.已知：关于x的一元二次方程ax2+bx+c=3的一个根为x=2,且二次函数y=ax2+bx+c的对称轴是直线x=2,则抛物线的顶点坐标为<>A<2,-3>B.<2,1>C<2,3>D．<3,2>答案：C例4、已知抛物线y=x2+x-．〔1用配方法求它的顶点坐标和对称轴．〔2若该抛物线与x轴的两个交点为A、B,求线段AB的长．[点评]本题〔1是对二次函数的"基本方法"的考查,第〔2问主要考查二次函数与一元二次方程的关系．函数主要关注：通过不同的途径〔图象、解析式等了解函数的具体特征；借助多种现实背景理解函数；将函数视为"变化过程中变量之间关系"的数学模型；渗透函数的思想；关注函数与相关知识的联系。二次函数对应练习试题一、选择题1.二次函数的顶点坐标是<>A.<2,－11>B.〔－2,7C.〔2,11D.〔2,－32.把抛物线向上平移1个单位,得到的抛物线是〔A.B.C.D.3.函数和在同一直角坐标系中图象可能是图中的<>4.已知二次函数的图象如图所示,则下列结论:①a,b同号;②当和时,函数值相等;③④当时,的值只能取0.其中正确的个数是<>A.1个B.2个C.3个D.4个5.已知二次函数的顶点坐标〔-1,-3.2及部分图象<如图>,由图象可知关于的一元二次方程的两个根分别是〔 Ａ．－１.３B.-2.3C.-0.3D.-3.3 6.已知二次函数的图象如图所示,则点在〔A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限7.方程的正根的个数为〔A.0个B.1个C.2个.3个8.已知抛物线过点A<2,0>,B<-1,0>,与轴交于点C,且OC=2.则这条抛物线的解析式为A.B.C.或D.或二、填空题9．二次函数的对称轴是,则_______。10．已知抛物线y=-2〔x+3²+5,如果y随x的增大而减小,那么x的取值范围是_______.11．一个函数具有下列性质：①图象过点〔－1,2,②当＜0时,函数值随自变量的增大而增大；满足上述两条性质的函数的解析式是〔只写一个即可。12．抛物线的顶点为C,已知直线过点C,则这条直线与两坐标轴所围成的三角形面积为。13.二次函数的图象是由的图象向左平移1个单位,再向下平移2个单位得到的,则b=,c=。14．如图,一桥拱呈抛物线状,桥的最大高度是16米,跨度是40米,在线段AB上离中心M处5米的地方,桥的高度是<π取3.14>. 三、解答题：第15题图15.已知二次函数图象的对称轴是,图象经过<1,-6>,且与轴的交点为<0,>.<1>求这个二次函数的解析式;<2>当x为何值时,这个函数的函数值为0?<3>当x在什么范围内变化时,这个函数的函数值随x的增大而增大?16.某种爆竹点燃后,其上升高度h〔米和时间t〔秒符合关系式〔0设抛物线的解析式为,由题意可得解得所以<2>或-5<2>16．〔1由已知得,,解得当时不合题意,舍去。所以当爆竹点燃后1秒离地15米．〔2由题意得,＝,可知顶点的横坐标,又抛物线开口向下,所以在爆竹点燃后的1.5秒至108秒这段时间内,爆竹在上升．17．〔1直线与坐标轴的交点A〔3,0,B〔0,－3．则解得所以此抛物线解析式为．〔2抛物线的顶点D〔1,－4,与轴的另一个交点C〔－1,0.设P,则.化简得当＞0时,得∴P〔4,5或P〔－2,5当＜0时,即,此方程无解．综上所述,满足条件的点的坐标为〔4,5或〔－2,5．18．〔1=60〔吨．〔2,化简得：．〔3．红星经销店要获得最大月利润,材料的售价应定为每吨210元．〔4我认为,小静说的不对．理由：方法一：当月利润最大时,x为210元,而对于月销售额来说,当x为160元时,月销售额W最大．∴当x为210元时,月销售额W不是最大．∴小静说的不对．方法二：当月利润最大时,x为210元,此时,月销售额为17325元；而当x为200元时,月销售额为18000元．∵17325＜18000,∴当月利润最大时,月销售额W不是最大．∴小静说的不对．1.若不给自己设限,则人生中就没有限制你发挥的藩篱。2.若不是心宽似海,哪有人生风平浪静。在纷杂的尘世里,为自己留下一片纯静的心灵空间,不管是潮起潮落,也不管是阴晴圆缺,你都可以免去浮躁,义无反顾,勇往直前,轻松自如地走好人生路上的每一步3.花一些时间,总会看清一些事。用一些事情,总会看清一些人。有时候觉得自己像个神经病。既纠结了自己,又打扰了别人。努力过后,才知道许多事情,坚持坚持,就过来了。4.岁月是无情的,假如你丢给它的是一片空白,它还给你的也是一片空白。岁月是有情的,假如你奉献给她的是一些色彩,它奉献给你的也是一些色彩。你必须努力,当有一天蓦然回首时,你的回忆里才会多一些色彩斑斓,少一些苍白无力。只有你自己才能把岁月描画成一幅难以忘怀的人生画卷。
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