2022-2023学年江苏省苏州市昆山市、太仓市、常熟市、张家港市九年级（上）期中数学试题及答案解析

第=page11页，共=sectionpages11页2022-2023学年江苏省苏州市昆山市、太仓市、常熟市、张家港市九年级（上）期中数学试卷一、选择题（本大题共8小题，共24.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1.下列方程中，一元二次方程的是(    )A.x2−3=x(x+4)B.x2−3x=0C.xy−x+1=0D.2x2−3x−1=02.用配方法解一元二次方程x2−2x−1=0的过程中，配方正确的是(    )A.(x+1)2=1B.(x−1)2=2C.(x+1)2=2D.(x−1)2=43.关于x的方程ax2−2ax+c=0的一个解为x1=−1，则该方程的另一个解是(    )A.x2=3B.x2=1C.x2=−2D.x2=−34.“杂交水稻之父”袁隆平培育的超级杂交稻在全世界推广种植．某种植户为了考察所种植的杂交水稻苗的长势，从稻田中随机抽取7株水稻苗，测得苗高(单位：cm)分别是：23，24，23，25，26，23，25.则这组数据的众数和中位数分别是(    )A.24，25B.23，23C.23，24D.24，245.已知⊙O的直径为5cm，线段AO=3cm，那么点A与⊙O的位置关系是(    )A.点A在⊙O外B.点A在⊙O上C.点A在⊙O内D.不能确定6.如图，AB是⊙O的直径，C，D是⊙O上位于AB两侧的点，若∠ACD=35°，则∠BAD度数为(    )A.45°B.55°C.60°D.70°7.如图，AB是⊙O的直径，半径OC⊥AB于点O，AD平分∠BAC，交OC于点E，交BC于点D，连接CD，OD，给出以下四个结论：①S△ACE=2S△DOE；②CE=32OE；③AC=2CD；④2CD2=CE⋅AB．其中结论正确的序号是(    )A.①②③B.①②④C.②③④D.①③④8.如图，半圆O的直径AB=10，弦AC=6，AD平分∠BAC，则AD的长为(    )A.35B.53C.45D.12二、填空题（本大题共8小题，共24.0分）9.一元二次方程x2−2x=0的解是______．10.若关于x的方程x2+ax−1=0有一个根是3，则a=______．11.若x1，x2是方程x2−x−2022=0的两个实数根，则代数式x12+x2的值等于______．12.如图，在4×4的正方形网格纸中，每个小正方形的边长均为1，点O，A，B为格点，即是小正方形的顶点，若将扇形OAB围成一个圆锥，则这个圆锥的底面圆半径为______．13.已知∠APE，有一量角器如图摆放，中心O在PA边上，OA为0°刻度线，OB为180°刻度线，角的另一边PE与量角器半圆交于C，D两点，点C，D对应的刻度分别为160°，68°，则∠APE=______°.14.如图，等边△ABC内接于⊙O，若AB=6，则图中阴影部分的面积为______.(结果保留π)15.平面直角坐标系中，以点P(3,4)为圆心的⊙P，若该圆上有且仅有两个点到x轴的距离等于2，则⊙P的半径r的取值范围是______．16.如图，在平面直角坐标系xOy中，半径为4的⊙O与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，D，连接BC，已知x轴上一点P(8,0)，点Q是⊙O上一动点，连接PQ，点M为PQ的中点，连接BM，CM，则△BCM面积的最小值为______．三、解答题（本大题共11小题，共82.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17.(本小题8.0分)解方程：(1)3x(x−1)=2(x−1)；(2)2x2−4x+1=0．18.(本小题4.0分)已知6x2−9x−1=0，求(2x−32)(2x+32)−x(x+92)的值．19.(本小题6.0分)已知关于x的方程x2−2x+12m−1=0．(1)若方程有两个不相等的实数根，求m的取值范围；(2)如果方程的两个实数根为x1，x2，且x12+x22=9，求m的值．20.(本小题5.0分)如图，有一块破碎的圆形玻璃边缘残片，现需要配制一块同样大小的圆形玻璃．请用圆规和无刻度的直尺确定该玻璃残片所在圆的圆心O，并补全该残缺的圆．(保留作图痕迹，不写作法)21.(本小题7.0分)某射箭俱乐部准备从甲，乙两位射箭运动员中选出一人参加俱乐部联赛．现两人在选拔赛中各射了10箭，甲，乙两人的比赛成绩如下(单位：环)：甲：9，10，10，8，10，7，9，8，9，10；乙：10，9，9，10，8，8，9，8，10，9．教练组根据两人的比赛成绩绘制了如下不完整的数据 分析 定性数据统计分析pdf销售业绩分析模板建筑结构震害分析销售进度分析表京东商城竞争战略分析 表 关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf ：平均数众数中位数方差甲a10bI乙999s乙2根据以上数据解答下列问题：(1)由上表填空：a=______，b=______，s乙2=______；(2)根据本次选拔赛结果，请你从平均数和方差的角度分析，应选择其中哪一位参加俱乐部联赛更好些？22.(本小题8.0分)为丰富学生课外活动，各校积极开展各类社团活动．某校开设了“健美操”社团项目，某班级4名有舞蹈基础的学生准备报名参加“健美操”社团，其中2名男生，2名女生，由于该社团名额有限，只能从中随机选取部分学生进入“健美操”社团．(1)若只能从这4名学生中随机选取1人进入“健美操”社团，则选中的学生是男生的概率为______；(2)若从这4名学生中随机选取2人进入“健美操”社团，请用画树状图或列表格的方法，求选中的2名学生中恰好是1男1女的概率．23.(本小题7.0分)阅读理解以下内容，解决问题：例：解方程：x2+|x|−2=0．解：∵x2=|x|2，∴方程即为：|x|2+|x|−2=0，设|x|=t，原方程转化为：t2+t−2=0解得，t1=1，t2=−2，当t1=1时，即|x|=1，∴x1=1，x2=−1；当t2=−2时，即|x|=−2，不成立．∴综上所述，原方程的解是x1=1，x2=−1．以上解方程的过程中，将其中|x|作为一个整体设成一个新未知数t，从而将原方程化为关于t的一元二次方程，像这样解决问题的方法叫做“换元法”(“元”即未知数)．(1)已知方程：x2+1x2−2x−2x−1=0，若设x+1x=m，则利用“换元法”可将原方程化为关于m的方程是______；(2)仿照上述方法，解方程：1x−1x+1−5=0．24.(本小题7.0分)某社区在开展“美化社区，幸福家园”活动中， 计划 项目进度计划表范例计划下载计划下载计划下载课程教学计划下载 利用如图所示的直角墙角(阴影部分，两边足够长)，用40米长的篱笆围成一个矩形花园ABCD(篱笆只围AB，AD两边)，设AB=x米．(1)若花园的面积为300米 2，求x的值；(2)若在直角墙角内点P处有一棵桂花树，且与墙BC，CD的距离分别是10米，24米，要将这棵树围在矩形花园内(含边界，不考虑树的粗细)，则花园的面积能否为400米 2？若能，求出x的值；若不能，请说明理由．25.(本小题8.0分)如图，△ABC中，AB=AC，以AB为直径作⊙O，分别交AC，BC于点D，E，过点E作EF⊥AB，交⊙O于点F，垂足为G，连接BF．(1)若∠C=58°，求∠BFE的度数；(2)若AC=26，BG=8，求弦EF的长．26.(本小题10.0分)如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC，交BC于点D，以AB上一点O为圆心的⊙O经过点A，D，分别交AC，AB于点E，F．(1)求证：BC是⊙O的切线；(2)若CD=6，AC=10，求⊙O的半径r；(3)试探究线段AF，AE，CE三者之间满足的数量关系，并证明你的结论．27.(本小题12.0分)已知矩形ABCD中，AB=23，BC=6，点O是BC上一动点，⊙O的半径为r(r为定值)，当⊙O经过点C时，此时⊙O恰与对角线BD相切于点P，如图1所示．(1)求⊙O的半径r；(2)若⊙O从点B出发(圆心O与点B重合)，沿BC方向向点C平移，速度为每秒1个单位长度，同时，动点E，F分别从点A，点C出发，其中点E沿着AD方向向点D运动，速度为每秒1个单位长度，点F沿着射线CB方向运动，速度为每秒2个单位长度，连接EF，如图2所示．当⊙O平移至点C(圆心O与点C重合)时停止运动，点E，F也随之停止运动．设运动时间为t(秒)．①在整个运动过程中，是否存在某一时刻，EF与⊙O相切？若存在，请求出此时t的值；若不存在，请说明理由；②在运动过程中，当直线EF与⊙O相交时，直线EF被⊙O截得的线段长度记为d，且d满足2≤d≤4，则运动时间t的取值范围是______．答案和解析1.【答案】D 【解析】解：A.x2−3=x(x+4)整理可得4x+3=0，是一元一次方程，故本选项不合题意；B.该选项的方程是分式方程，故本选项不符合题意；C.xy−x+1=0是二元二次方程，故本选项不符合题意；D.2x2−3x−1=0是一元二次方程，故本选项符合题意．故选：D．根据一元二次方程的定义逐个判断即可．本题考查了一元二次方程的定义，能熟记一元二次方程的定义是解此题的关键，注意：只含有一次未知数，并且所含未知数的项的最高次数是2的整式方程，叫一元二次方程．2.【答案】B 【解析】解：x2−2x−1=0，x2−2x=1，x2−2x+1=1+1，(x−1)2=2，故选：B．利用解一元二次方程−配方法，进行计算即可解答．本题考查了解一元二次方程−配方法，熟练掌握解一元二次方程−配方法是解题的关键．3.【答案】A 【解析】解：利用根与系数的关系，可得：x1+x2=−ba=−−2aa=2，∵x的方程ax2−2ax+c=0的一个解为x1=−1，∴x2=2−x1=2−(−1)=3，故选：A．利用根与系数的关系即可求解．本题主要考查根与系数的关系，解题的关键是熟练掌握根与系数的关系．4.【答案】C 【解析】解：这组数据中，出现次数最多的是23，共出现3次，因此众数是23，将这组数据从小到大排列，处在中间位置的一个数是24，因此中位数是24，即：众数是23，中位数是24，故选：C．根据众数、中位数的定义进行解答即可．本题考查众数、中位数，掌握众数、中位数的定义是正确解答的前提．5.【答案】A 【解析】解：∵⊙O的直径为5cm，∴⊙O的半径为2.5cm，而圆心O的距离为3cm，∴点A在⊙O外．故选：A．根据题意得⊙O的半径为2.5cm，则点A到圆心O的距离大于圆的半径，则根据点与圆的位置关系可判断点A在⊙O外．本题考查了点与圆的位置关系：设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离OP=d，则有点P在圆外⇔d>r；点P在圆上⇔d=r；点P在圆内⇔d0，解得：m<4，∴m的取值范围为m<4．(2)∵x1，x2为关于x的方程x2−2x+12m−1=0的两个实数根，∴x1+x2=2，x1x2=12m−1，又∵x12+x22=9，即(x1+x2)2−2x1x2=9，∴22−2(12m−1)=9，解得：m=−3，∴m的值为−3． 【解析】(1)根据方程的系数结合根的判别式Δ>0，即可得出关于m的一元一次不等式，解之即可求出m的取值范围；(2)利用根与系数的关系，可得出x1+x2=2，x1x2=12m−1，结合x12+x22=9，即可得出关于m的一元一次方程，解之即可求出m的值．本题考查了根的判别式以及根与系数的关系，解题的关键是：(1)牢记“当Δ>0时，方程有两个不相等的实数根”；(2)牢记“两根之和等于−ba，两根之积等于ca”.20.【答案】解：如图，⊙O即为所求． 【解析】在圆上任意取A，B，C三点，连接AB，BC，作线段AB，BC的垂直平分线交于点O，以O为圆心，OA为半径作⊙O即可．本题考查作图−应用与 设计 领导形象设计圆作业设计ao工艺污水处理厂设计附属工程施工组织设计清扫机器人结构设计 作图，垂径定理，线段的垂直平分线的性质等知识，解题的关键是掌握确定圆心的方法吗，属于中考常考题型．21.【答案】9 9 0.6 【解析】解：(1)a=110×(9×3+10×4+8×2+7)=9，甲的成绩从小到大排列为7，8，8，9，9，9，10，10，10，10，∴中位数b=9+92=9，∵s乙2=110×[3×(8−9)2+4×(9−9)2+3×(10−9)2]=0.6；故答案为：9，9，0.6；(2)因为两人成绩的平均水平(平均数)相同，根据方差得出乙的成绩比甲稳定，所以应选择乙参加俱乐部联赛更好些．(1)根据求平均数、中位数和方差的方法求即可；(2)利用方差以及平均数的意义分析得出即可．此题主要考查了方差、中位数以及算术平均数求法等知识，正确记忆方差公式是解题关键．22.【答案】12 【解析】解：(1)从这4名学生中随机选取1人进入“健美操”社团，则选中的学生是男生的概率为24=12，故答案为：12；(2)画树状图如下：由图可知，共有12种可能的结果，其中恰为1男1女的结果出现8次，则选取的2名学生恰为1男1女的概率为812=23．(1)直接根据概率公式用男生人数除以总人数即可；(2)画树状图，共有12种等可能的结果，其中被选中的2人恰好是1男1女的结果有8种，再由概率公式求解即可．本题考查的是用树状图法求概率．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．23.【答案】m2−2m−3=0 【解析】解：(1)设x+1x=m，则x2+1x2=(x+1x)2−2=m2−2，∴x2+1x2−2x−2x−1=0可化为：m2−2−2m−1=0，即m2−2m−3=0，故答案为：m2−2m−3=0；(2)设1x+1=m，则1x=m2−1，原方程可化为：m2−1−m−5=0，整理得m2−m−6=0，(m−3)(m+2)=0，m−3=0或m+2=0，∴m=3或−2，当m=3时，1x+1=3，解得x=18，当m=−2时，1x+1=−2(无解)，检验，当x=18时，左边=8−3−5=0=右边，∴x=18是原方程的解，故原方程的解为：x=18．(1)根据完全平方公式由x+1x=m，得x2+1x2=m2−2，再变形原方程便可；(2)设1x+1=m，则1x=m2−1，得m2−m−6=0，再解一元二次方程，最后代入所设代数式解方程便可．本题主要考查了换元法，无理方程，关键掌握换元法的思想方法．24.【答案】解：(1)∵AB=x米，∴BC=(40−x)米，由题意得：x(40−x)=300，解得：x1=10，x2=30，即x的值为10或30；(2)花园的面积不能为400米 2，理由如下：由题意得：x(40−x)=400，解得：x1=x2=20，当x=20时，26−x=26−6=20，即当AB=20米，BC=20米<24米，这棵树没有被围在花园内，∴将这棵树围在矩形花园内(含边界，不考虑树的粗细)，则花园的面积不能为400米 2． 【解析】(1)由矩形面积公式得出方程，解方程即可；(2)根据题意可得方程x(40−x)=400，求出x的值，然后再根据P处这棵树是否被围在花园内进行分析即可．本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．25.【答案】解：(1)∵EF⊥AB，∴∠EGB=90°，BE=BF，∴BE=BF，∴∠BEF=∠BFE，∵AB=AC，∴∠C=∠ABC，∵∠C=58°，∴∠ABC=58°，∴∠BEF=32°，∴∠BFE=∠BEF=32°；(2)连接OE，∵AB=AC，AC=26，∴AB=26，∴OE=OB=13，∵BG=8，∴OG=5，∵EF⊥AB，∴EG=FG，∠OGE=90°，在Rt△OEG中，EG=OE2−OG2=132−52=12，∴EF=2EG=24，即弦EF的长为24． 【解析】(1)根据等腰三角形的性质可得∠ABC=58°，进而求出∠BEF=32°，根据垂径定理可得BE=BF，从而求出∠BFE的度数；(2)连接OE，已知AB=AC，则AB=26，则OB=OE=13，已知BG=8，则OG=5，在Rt△OEG中利用勾股定理求出EG，即可求出EF．本题考查了垂径定理，掌握定理并灵活运用是解题的关键，垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．26.【答案】(1)证明：连接OD，如图：∵AD平分∠BAC，∴∠OAD=∠CAD，∵OA=OD，∴∠ODA=∠OAD，∴∠CAD=∠ODA，∴OD//AC，∴∠ODB=∠C=90°，∴BC⊥OD，∵OD是⊙O的半径，∴BC是⊙O的切线；(2)解：连接DF，如图：∵CD=6，AC=10，∠C=90°，∴AD=62+102=234，∵AF是⊙O直径，∴∠ADF=90°，∴∠ADF=∠ACD，又∵∠CAD=∠FAD，∴△ACD∽△ADF，∴ADAF=ACAD，∴234AF=10234，解得：AF=685，∴⊙O的半径为r=12AF=345；(3)AE+2CE=AF，证明：如图：连接FD并延长交AC的延长线于点M，连接DE，在△ADF和△ADM中∠FAD=∠MADAD=AD∠ADF=∠ADM=90°，∴△ADF≌ADM(ASA)，∴AM=AF，DF=DM，∵∠FAD=∠MAD，∴DF=DE，∴DF=DE=DM，∴△DEM为等腰三角形，又∵∠ACD=90°，∴DC⊥AM，∴CE=CM，∵AE+CE+CM=AE+2CE=AM，∴AE+2CE=AF． 【解析】(1)连接OD，根据角平分线分得的角相等和半径相等、等边对等角可以证明∠CAD=∠ODA，所以OD//AC，即证出OD⊥BC，进而证明结论；(2)连接DF，先根据勾股定理计算AD的长，再根据直径所对的圆周角为90°证明△ACD∽△ADF，最后根据相似三角形的性质计算出直径AF的长即可解答；(3)连接FD并延长交AC的延长线于点M，连接DE，先根据ASA证明△ADF≌△ADM，得到AF=AM，DF=DM，再根据圆周角相等可得所对弧相等和DE=DF=DM，由三线合一可得CE=CM，即可证明结论．本题是圆的综合题，考查了切线的判定与性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理、等腰三角形三线合一等知识，熟记相关的定理及证明直线BC与⊙O相切是解题的关键．27.【答案】43≤t≤83 【解析】解：(1)如图1，连接OP，则OP=OC=r，∵四边形ABCD是矩形，∴∠BCD=90°，CD=AB=23，∴tan∠CBD=CDBC=236=33，∴∠CBD=30°，∵BD是⊙O的切线，∴OP⊥BD，∴OB=2OP，∴6−r=2r，∴r=2；(2)①如图2，当点F在点O右侧时，连接OE，连接OT，∵四边形ABCD是矩形，∴AE//OB，∠A=90°，∵AE=OB，∴四边形ABOE是平行四边形，∴▱ABOE是矩形，∴∠EOF=∠BOE=90°，OE=AB=23，∵AF是⊙O的切线，∴OT⊥EF，∴∠OTE=90°，∴ET=OE2−OT2=(23)2−22=22，∵tan∠OEF=OTET =OFOE，OF=BC−OB−CF=6−3t，∴222=6−3t23，∴t=6−63，如图3，当点F在O点的左侧时，同理可得，222=3t−623，∴t=6+63；综上所述：t=6−63或6+63；②如图4，当点F在O点右侧，GH=2时，作OR⊥GH于R，连接OG，∴GR=12GH=1，∴OR=OG2−GR2=22−12=3，∴ER=OE2−OR2=(23)2−(3)2=3，由(2)知，OFOE=ORER，∴6−3t23=33，∴t=43，当点F在O点左侧时，同理可得，3t−623=33，∴t=83，∴当43≤t≤83时，2≤d≤4．故答案为：43≤t≤83．(1)连接OP，先求得∠CBD=30°，在Rt△BOP中列出方程求得结果；(2)①分为点F在点O的左右两侧两种情形：当点点F在点O右侧时，四边形ABCD是矩形，可求得ET=22，根据tan∠OEF=OTET =OFOE，列出方程，进而求得结果，同样方法求得点F在点O左侧的结果；②求出当d=2的t的值，从而求得范围，和②的方法相同：作OR⊥GH于R，连接OG，依次GR=1，OR=3，ER=3，根据(2)列出OFOE=ORER，求得t的值，进一步得出结果．本题考查了圆的切线的性质，解直角三角形，矩形判定和性质等知识，解决问题的关键是画出图形，分类讨论．