精品文档你我共享腹有诗书气自华18.设f(x,y)及连续，试证方程dy-f(九y)dx=0为线性方程的充要条件是它有仅依赖于x的积分因子.证:必要性若该方程为线性方程，则有半=P(x)y+Q(x),dx此方程有积分因子Mx)=e」P(x)dx,Mx)只与x有关.充分性若该方程有只与x有关的积分因子Mx).则四(x)dy-日(x)f(x,y)dx=0为恰当方程，从而--Mx)f(x,y))二d/(x)f__-'(x)8yydx3yR(x)f=-J^-(x)dy+Q(x)=-^Sx)y+Q(x)=P(x)y+Q(x).R(x)R(x)其中P(x)=-R(x).于是方程可化为dy-(P(x)y+Q(x))dx=0R(x)即方程为一阶线性方程.20.设函数f(u)，g(u)连续、可微且f(u)丰g(u),\，试证方程yf(xy)dx+xg(xy)dy=0有积分因子u=(xy[f(xy)-g(xy)])-i证：在方程yf(xy)dx+xg(xy)dy=0两边同乘以u得：uyf(xy)dx+uxg(xy)dy=0TOC\o"1-5"\h\z8f8f8gyyyryyyx(f-g)+xy+xy-Z-8uyf08f38uf8y8y8y则=uf+uy_L+yf-=——-L+一-yf乙8y8y8yxy(f-g)xy(f-g)x2y2(f-g)2f8g8f8g8.xy8f8.xyyf——一^y——f-g8y8y8xy8y8xy8yxy(f-g)2x(f-g)28gg_08ff—-g-8xy8xyy(f-g)+xyf-xy8gxg8x8xx2y2(f-g)2(f—g)2x空而等=ug+ux।+Xg8U=f)+f)-xf8g。xyd.xy8x一xg8f8xy8xy8x8fxy(f—g)2(f—g)2故等=等，所以u是方程得一个积分因子21.假设方程(2.43)中得函数M(X,y)N(x,y)满足关系詈盛二试证方程(2.43)Nf(x)-Mg(y),其中f(x),g(y)分别为x和y得连续函数,有积分因子u=exp(Jf(x)dx+Jg(y)dy)
证明
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：M(x,y)dx+N(x,y)dy=0TOC\o"1-5"\h\z8(uM)8(uN)8M8u8N8u即证_^——乙=___)一=u——+M一=u——+N一8y8x8y8y8x8x/8M8N8u8u/8M8NJJu(——)=N——-M——=u(——)=NeJf(x)dx+」g(y)dyf(x)8y8x8x8y8y8x-MeJf(x)d+Jg(y)dyg(y)=u(8M-矍)=eJf(x)d+Jg(y)dy(Nf(x)-Mg(y))8y8x由已知条件上式恒成立，故原命题得证。22、求出伯努利方程的积分因子.解：已知伯努利方程为：—=P(x)y+Q(x)yn,y丰o;dx两边同乘以广n，令Z=广n，d=(1-n)PQ)z+(1-nQQ)线性方程有积分因子:dx|H=e」G-n)PQ)dx=e(t)JPQ)/x，故原方程的积分因子为：证毕!R=e」。_n)PG)dx^_e(n-1)JPOx23、设rQ,y)是方程MQ,y)dx+N(x,y)dy=0的积分因子，从而求得可微函数U(x,y)，使得dU=R(Mdx+Ndy)试证「(x,y)也是方程M(x,y)dx+N(x,y)dy=0的积分因子的充要条件是~(x,y)=冲U)其中①Q)是t的可微函数。S(NM)S(N^(u)M)S(NM)证明：若n=n〒q)，则Sy、S(nM)①。)+NM①，0)SNSyS(pN)S(N^^u)N)S(NN)又S(NM)①Q)+NN^f(u)NM中Q)+NN^r(u)NM=S(NM)Sy即~为M(x,y)dx+N(x,y)dy=0的一个积分因子。24、设)Q,y)N2Q,y)是方程MQ,y)dx+NQ,y)dy=0的两个积分因子，且N/N2H常数，求证N/N2=c(任意常数)是方程MQ,y)dx+NQ,y)dy=0的通解。证明：因为N,N是方程MQ,y)dx+NQ,y)dy=0的积分因子12所以NMdx+NNdy=o(i=1,2)为恰当方程SnSn即Ni--M匚=NSxSy，i=1,2下面只需证出的全微分沿方程恒为零N2事实上:一N1(Sn,SnJ--2-dx+——2dyVSxSy)2VSxdx-N)N22(sn,msn，——2-dx2dx)dxSnN22sn“sn1——2-M--2-NN22dxNiNN22NN12-NN12巴=c是方程的解。证毕!N2出师表两汉：诸葛亮先帝创业未半而中道崩殂，今天下三分，益州疲弊，此诚危急存亡之秋也。然侍卫之臣不懈于内，忠志之士忘身于外者，盖追先帝之殊遇，欲报之于陛下也。诚宜开张圣听，以光先帝遗德，恢弘志士之气，不宜妄自菲薄，引喻失义，以塞忠谏之路也。宫中府中，俱为一体；陟罚臧否，不宜异同。若有作奸犯科及为忠善者，宜付有司论其刑赏，以昭陛下平明之理；不宜偏私，使内外异法也。侍中、侍郎郭攸之、费祎、董允等，此皆良实，志虑忠纯，是以先帝简拔以遗陛下：愚以为宫中之事，事无大小，悉以咨之，然后施行，必能裨补阙漏，有所广益。将军向宠，性行淑均，晓畅军事，试用于昔日，先帝称之曰“能”，是以众议举宠为督：愚以为营中之事，悉以咨之，必能使行阵和睦，优劣得所。亲贤臣，远小人，此先汉所以兴隆也；亲小人，远贤臣，此后汉所以倾颓也。先帝在时，每与臣论此事，未尝不叹息痛恨于桓、灵也。侍中、尚书、长史、参军，此悉贞良死节之臣，愿陛下亲之、信之，则汉室之隆，可计日而待也。臣本布衣，躬耕于南阳，苟全性命于乱世，不求闻达于诸侯。先帝不以臣卑鄙，猥自枉屈，三顾臣于草庐之中，咨臣以当世之事，由是感激，遂许先帝以驱驰。后值倾覆，受任于败军之际，奉命于危难之间，尔来二十有一年矣。先帝知臣谨慎，故临崩寄臣以大事也。受命以来，夙夜忧叹，恐托付不效，以伤先帝之明；故五月渡泸，深入不毛。今南方已定，兵甲已足，当奖率三军，北定中原，庶竭驽钝，攘除奸凶，兴复汉室，还于旧都。此臣所以报先帝而忠陛下之职分也。至于斟酌损益，进尽忠言，则攸之、祎、允之任也。愿陛下托臣以讨贼兴复之效，不效，则治臣之罪，以告先帝之灵。若无兴德之言，则责攸之、祎、允等之慢，以彰其咎；陛下亦宜自谋，以咨诹善道，察纳雅言，深追先帝遗诏。臣不胜受恩感激。今当远离，临表涕零，不知所言。
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