(完整word版)热传导方程傅里叶解

热传导在三维的等方向均匀介质里的传播可用以下方程表达:dua+div(Uu)=k一A(乜工工+Uyy+%j其中:u=u（t,x,y,z）表温度，它是时间变量t与空间变量（x,y,z）的函数。是空间中一点的温度对时间的变化率。联班，葭卯与u心温度对三个空间座标轴的二次导数。k决定于材料的热传导率、密度与热容。热方程是傅里叶冷却律的一个推论（详见条目热传导）O如果考虑的介质不是整个空间，则为了得到方程的唯一解，必须指定U的边界条件。如果介质是整个空间，为了得到唯一性，必须假定解的增长速度有个指数型的上界，此假定吻合实验结果。热方程的解具有将初始温度平滑化的特质，这代表热从高温处向低温处传播。一般而言，许多不同的初始状态会趋向同一个稳态（热平衡）。因此我们很难从现存的热分布反解初始状态，即使对极短的时间间隔也一样。热方程也是抛物线偏微分方程最简单的例子。利用拉普拉斯算子，热方程可推广为下述形式其中的△是对空间变量的拉普拉斯算子。热方程支配热传导及其它扩散过程，诸如粒子扩散或神经细胞的动X电仕。热方程也可以作为某些金融现象的模型，诸如布莱克-斯科尔斯模型与"Ornstein-Uhlenbeck过程。热方程及其非线性的推广型式也被应用于影像分析。量子力学中的薛定影方程虽然有类似热方程的数学式(但时间参数为纯虚数)，本质却不是扩散问题，解的定性行为也完全不同。就技术上来说，热方程违背狭义相对论,因为它的解表达了一个扰动可以在瞬间传播至空间各处。扰动在前方T锥外的影响通常可忽略不计，但是若要为热传导推出一个合理的速度，则须转而考虑一个双曲线型偏微分方程。以傅里叶级数解热方程[编辑]以下解法首先由约瑟夫・傅里叶在他于1822年出版的著作Theorieanalytiquedelachaleur(中译：解析热学)给出。先考虑只有一个空间变量的热方程，这可以当作棍子的热传导之模型。方程如下：tz,—kuxx其中U=u(t,X)是t和X的双变量函数。x是空间变量，所以X£[O,L],其中L表示棍子长度。.t是时间变量，所以t2Oo假设下述初始条件.(0产)=f⑸V®€[0,1]其中函数f是给定的。再配合下述边界条件0)=0=L)Vt>0让我们试着找一个非恒等于零的解，使之满足边界条件(3)并具备以下形式：ti(t㈤=X(t)T⑻.这套技术称作分离变量法。现在将u代回方程(1),『⑴_XH(x)kT(t)=X[x}'由于等式右边只依赖x,而左边只依赖t,两边都等于某个常数-入，于是：r(i)=-XkT(t)X"⑸=-XX㈤.以下将证明(6)没有入W0的解:假设X<0,则存在实数B、C使得从（3）得到X(0)=0=x(£).于是有B=0=C,这蕴含u恒等于零。假设入=0,则存在实数B、C使得x(%)=+a仿上述办法可从等式（3）推出u恒等于零。因此必然有X>o,此时存在实数A、B、C使得X(x)=Bsm(y/Xx)+Ccos(\/Xx).从等式（3）可知C=0，因此存在正整数n使得由此得到热方程形如（4）的解。一般而言，满足（1）与（3）的解相加后仍是满足（1）与（3）的解。事实上可以证明满足（1）、（2）、（3）的解由下述公式给出：其中Dn=v//wsui——dTLitJoL推广求解技巧［编辑］上面采用的方法可以推广到许多不同方程。想法是：在适当的函数空间上，算子奇浦智的特征矢量族示T就自然地导向线性自伴算子的谱理论。考虑线性算子,以下函数序列2.mrxZsm7T的特征矢量。诚然:此外，任何满足边界条件f(。)=f(L)=0的的特征矢量都是某个n2eo令L(0,L)表［0,L］上全体平方可积函数的矢量空间。这些函数en构成L2。L)的一组正交归一基。更明白地说：最后，序列{en}n£N张出L2(0,L)的一个稠密的线性子空间。这就表明我们实际上已将算子对角化。非均匀不等向介质中的热传导一般而言，热传导的研究奠基于以下几个原理。首先注意到热流是6L量流的一种形式，因此可以谈论单位时间内流进空间中一块区域的热量。单位时间内流入区域V的热量由一个依赖于时间的量qt(v)•给出。假设q有个密度Q(t,x),于是Qt(V)-J、热流是个依赖于时间的矢量函数H(x),其刻划如下：单位时间内流经一个面积为dS而单位法矢量为n的无穷小曲面元素的热量是H(z)•dS因此单位时间内进入V的热流量也由以下的面积分给出Qt(V)=-H(t)•n(r)dSJdv其中n(x)是在x点的向外单位法矢量。•热传导定律说明温度对时间的梯度满足以下线性关系H(z)=—A(a?)-▽u(a?)其中A(x)是个3X3实对称正定矩阵。利用格林定理可将之前的面积分转成一个体积分qt(y)=一/H(①)-n(i)dSJdv—IA㈤•Vu(x)-n(x)dSJdv=j,E为巴式吟%加，工)dxV温度在X点对时间的改变率与流进X点所在的无穷小区域的热量成正比，此比例常数与时间无关，而可能与空间有关，写作K(X)o—力㈤=K(X)Q(ttX)将以上所有等式合并，便获得支配热流的一般公式。(&x)=O£%%(比)。工产(九注记:系数K（X）是该材料在X点的密度和比热的积的倒数。*在等方向性介质的情况，矩阵A只是个标量，等于材料的导热率。.在非等向的情况，A不一定是标量，我们鲜少能明确写出热方程的解。然而通常可考虑相应的抽象柯西问题，证明它是适定的，并（或）导出若干定性结果（诸如初始值保持正性、无穷传播速度、收敛至平衡态或一些平滑化性质）。这些论证通常有赖于单参数半群理论:举例来说，如果A是个对称矩阵，那么由Au㈤:=£01cg（父）也护㈤♦♦定义的明算齐是自伴而且耗散的，因此由谱定理导出它生成一个单参数半群。粒子扩散［编辑］粒子扩散方程编辑］在粒子扩散的模性中，我们考虑的方程涉及•在大量粒子集体扩散的情况：粒子的体积。度，记作Co或者•在单一粒子的情况：单一粒子对位置的概率密度函数，记作Po不同情况下的方程:Cf.=D&G或者Pt=DAP.c与P都是位置与时间的函数。D是扩散系数，它控制扩散速度，通常以米/秒为单位。如果扩散系数D依赖于浓度c(或第二种情况下的概率密度P),则我们得到非线性扩散方程。单一粒子在粒子扩散方程下的随机轨迹是个布朗运动o如果一个粒子在时间力二0时置于H=则相应的概率密度函数具有以下形式：产伊㈤=5其±)=画嬴。一品它与概率密度函数的各分量乙、/和五工的关系是：-1廨+段+碎P值㈤=(4打0评‘一皿*=P(R3)P(/J)P(R")随机变量耳，取，凡服从平均数为0、变异数为21H的丁太公斤的1L态分布在三维的情形，随机矢量月服从平均数为正、变异数为60f的正态分布。在仁o时，上述P（R5）的表示式带有奇点。对应于粒子处在原点之初始条件，其概率密度函数是在原点的狄拉克6函数,记为3（国（三维的推广是6（团=.扩散方程对此初始值的解也称作格林函数。扩散方程的历史源流［编辑］粒子扩散方程首先由AdolfFick于1855年导得。以格林函数解扩散方程编辑］格林函数是扩散方程在粒子位置已知时的解（数学家称之为扩散方程的基本解）。当粒子初始位置在原点正时，相应的格林函数记作"但尚（t>0）；根据扩散方程对平移的对称性，对一般的已知初位置点0始，相应的格林函数是G（左—岸，士）对于一般的初始条件，扩散方程的解可以透过积分分解为一族格林函数的叠加。举例来说，设仁o时有一大群粒子，根据浓度分布的初始值6瓦°）分布于空间中。扩散方程的解将告诉我们浓度分布如何随时间演化。跟任何（广义）函数一样，浓度分布的初始值可以透过积分表为狄拉克5函数的叠加：Wf=kuxxu(瑞0)=g(x)ut=kgu(X]0)=g(x)u(0,t)=0C（左5=0）=/心（用工=0）6（五一用）£/@4段d型扩散方程是线性的，因此在之后的任一时刻t,浓度分布变为:c（＜t）=f4#,t=0）G宙-乔㈤此时d瑕在粒子扩散的情形，我们可以将狄拉克S函数对应的初始条件理解为粒子落在一个已知位置。一般而言，任何扩散过程的解都有这种表法，包括热传导或动量的扩散；后者关系到流体的粘性现象。一维格林函数解列表［编辑］以下以简写BC代表边界条件，IC代表初始条件。—OO