勾股定理的应用考考你的记性：1、勾股定理的文字及符号语言2、在平面上如何求点与点、点与线的最短路径，依据什么？（1）两点之间线段最短（2）垂线段最短3、那么如何求某些几何体中的最短路径呢？勾股定理的应用之求解几何体的最短路线长BA蚂蚁怎么走最近?例1如图在一个底面周长为20cm,高AA′为4cm的圆柱石凳上，若小明在吃东西时留下了一点食物在B处，恰好一只在A处的蚂蚁捕捉到这一信息，于是它想从A处爬向B处，你们想一想，蚂蚁怎么走最近？问题情境A′蚂蚁A→B的路线BAA’dABA’ABBAOBAA’rO4怎样计算AB？在Rt△AA’B中，利用勾股定理可得，侧面展开图其中AA’是圆柱体的高,A’B是底面圆周长的一半(πr)圆柱(锥)中的最值问题有一圆形油罐底面圆的周长为24m，高为6m，一只老鼠从距底面1m的A处爬行到对角B处吃食物，它爬行的最短路线长为多少？AB分析：由于老鼠是沿着圆柱的表面爬行的，故需把圆柱展开成平面图形.根据两点之间线段最短，可以发现A、B分别在圆柱侧面展开图的宽1m处和长24m的中点处，即AB长为最短路线.(如图)解：AC=6–1=5，BC=24×=12，在Rt△ABC由勾股定理得AB2=AC2+BC2=169,∴AB=13(m).21BAC牛刀小试：如图，有一圆柱形油罐，现要从油罐底部的一点A环绕油罐建梯子，并且要正好建到A点正上方的油罐顶部的B点，已知油罐高AB=5米，油罐底部周长为12米，那么梯子最短要多少米？ABAB12米5米C∟正方体中的最值问题例2、如图，边长为1的正方体中，一只蚂蚁从顶点A出发沿着正方体的外表面爬到顶点B的最短距离是（）.（A）3（B）√5（C）2（D）1AB分析：由于蚂蚁是沿正方体的外表面爬行的，故需把正方体展开成平面图形（如图）.CABC21如图是一块长，宽，高分别是6cm，4cm和3cm的长方体木块一只蚂蚁要从长方体木块的一个顶点A处，沿着长方体的表面到长方体上和A相对的顶点B处吃食物，那么它需要爬行的最短路径的长是（ ）长方体中的最值问题第一种情况：把我们所看到的前面和上面组成一个平面，则这个长方形的长和宽分别是9和4，则所走的最短线段是=第二种情况：把我们看到的左面与上面组成一个长方形，则这个长方形的长和宽分别是7和6，所以走的最短线段是；=第三种情况：把我们所看到的前面和右面组成一个长方形，则这个长方形的长和宽分别是10和3，所以走的最短线段是=三种情况比较而言，第二种情况最短答案：台阶中的最值问题例1、如图是一个三级台阶，它的每一级的长宽和高分别为20dm、3dm、2dm，A和B是这个台阶两个相对的端点，A点有一只蚂蚁，想到B点去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬到B点最短路程是多少？2032AB２０２32323ＡＢＣAB=25例4、如图，长方体的长为15cm，宽为10cm，高为20cm，点B离点C5cm,一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A爬到点B，需要爬行的最短距离是多少？ 1020BAC155长方体中的最值问题（续）1020B5B51020ACEFE1020ACFAECB2015105找
方法
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、巧归纳分别画出立体图形和对应的平面展开图制作实体模型归纳出所在直角三角形的两直角边的一般性规律，并记录在平面图或模型上检测题一：如图，一只蚂蚁沿边长为a的正方体表面从顶点A爬到顶点B，则它走过的路程最短为（ ）答案：检测题二、如图是一个棱长为4cm的正方体盒子，一只蚂蚁在D1C1的中点M处，它到BB1的中点N的最短路线是（ ）检测题三、如图所示，一圆柱高8cm，底面半径2cm，一只蚂蚁从点A沿表面爬到点B处吃食，要爬行的最短路程（π取3）是（ ）如图，一只蚂蚁从实心长方体的顶点A出发，沿长方体的表面爬到对角顶点C1处（三条棱长如图所示），问怎样走路线最短？最短路线长为多少？ABA1B1DCD1C1214分析:根据题意分析蚂蚁爬行的路线有三种情况(如图①②③),由勾股定理可求得图1中AC1爬行的路线最短.ABDCD1C1①421AC1=√42+32=√25;②ABB1CA1C1412AC1=√62+12=√37;AB1D1DA1C1③412AC1=√52+22=√29.检测题四小结：把几何体适当展开成平面图形，再利用“两点之间线段最短”，或点到直线“垂线段最短”等性质来解决问题。一、台阶中的最值问题abcABabcbcbＡＢＣAB=c二、正方体中的最值问题ABCABC2aa三、长方体中的最值问题左面和上面前面和上面前面和右面四、圆柱(锥)中的最值问题ABBACh底面圆周长的一半结论：圆柱体中的最短路径为展开图中一半矩形的对角线长
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