9不等式-冲刺985优等生拔高系列讲义—专治各种学霸不服

PAGE\*MERGEFORMAT1《冲刺“985”优等生拔高讲义》——（教师版本）专治学霸各种不服不等式版快目录TOC\o"1-3"\h\z\uHYPERLINK\l"_Toc476644974"问题一：含参数的不等式的恒成立、恰成立、能成立问题PAGEREF_Toc476644974\h1HYPERLINK\l"_Toc476644975"问题二:线性规划中的参数问题PAGEREF_Toc476644975\h25HYPERLINK\l"_Toc476644976"问题三:利用基本不等式处理最值、证明不等式和实际问题PAGEREF_Toc476644976\h49问题一：含参数的不等式的恒成立、恰成立、能成立问题纵观近几年高考对于不等式综合问题的考查，主要有三类问题：恒成立问题、能成立问题以及恰成立问题，要求学生有较强的推理能力和准确的计算能力，才能顺利解答．从实际教学来看，这部分知识能力要求高、难度大，是学生掌握最为薄弱，看到就头疼的题目． 分析 定性数据统计分析pdf销售业绩分析模板建筑结构震害分析销售进度分析表京东商城竞争战略分析 原因，除了这类题目的入手确实不易之外，主要是学生没有形成解题的模式和套路，以至于遇到类似的题目便产生畏惧心理．本文就高中阶段出现这类问题加以类型的 总结 初级经济法重点总结下载党员个人总结TXt高中句型全总结.doc高中句型全总结.doc理论力学知识点总结pdf 和 方法 快递客服问题件处理详细方法山木方法pdf计算方法pdf华与华方法下载八字理论方法下载 的探讨．1不等式恒成立问题新课标下的高考越来越注重对学生的综合素质的考察，恒成立问题便是一个考察学生综合素质的很好途径，它常以函数、方程、不等式和数列等知识点为载体，渗透着换元、化归、分类讨论、数形结合、函数与方程等思想方法，在培养思维的灵活性、创造性等方面起到了积极的作用．近几年的数学高考中频频出现恒成立问题，其形式逐渐多样化，但都与函数、导数知识密不可分．解决高考数学中的恒成立问题常用以下几种方法：①函数性质法；②主参换位法；③分离参数法；④数形结合法；⑤消元转化法．下面我就以近几年高 考试题 教师业务能力考试题中学音乐幼儿园保育员考试题目免费下载工程测量项目竞赛理论考试题库院感知识考试题及答案公司二级安全考试题答案 为例加以剖析．1．1函数性质法一、一次函数——单调性法给定一次函数，若在内恒有，则根据函数的图像（线段）（如右下图）可得上述结论等价于（1）或（2）可合并定成同理，若在内恒有，则有图1（1）例1．若不等式对满足的所有都成立，求的范围．【分析】我们可以用改变主元的办法，将视为主变元，即将元不等式化为：来求解．【解析】我们可以用改变主元的办法，将视为主变元，即将元不等式化为：，令，则时，恒成立，∴只需，即，解这个不等式组得的范围是．【点评】有些问题，如果采取反客为主（即改变主元）的策略，可产生意想不到的效果．二、二次函数——利用判别式、韦达定理及根的分布求解有以下几种基本类型：类型1：设（1）上恒成立；（2）上恒成立．类型2：设（1）当时，上恒成立上恒成立[来源:Z§xx§k.Com]（2）当时，上恒成立上恒成立例2．已知不等式对任意实数恒成立．则取值范围是（　　）A．B．C．D．【分析】由不等式对任意实数恒成立，知或由此能求出的取值范围．【解析】∵不等式对任意实数，或解得．【点评】本题考查一元二次不等式的解法，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化．例3．已知函数，若对于任一实数，与的值至少有一个为正数，则实数的取值范围是（）A．B．C．D．[来源:Zxxk.Com]【分析】与的函数类型，直接受参数的影响，∴首先要对参数进行分类讨论，然后转换成不等式的恒成立的问题利用函数性质及图像解题．【解析】当时，在上恒成立，而在上恒成立，显然不满足题意（如图2）；当时，在上递减且只在上恒成立，而是一个开口向下且恒过定点的二次函数，显然不满足题意（如图3）；当时，在上递增且在上恒成立，而是一个开口向上且恒过定点的二次函数，要使对任一实数，与的值至少有一个为正数，则只需在上恒成立（如图4），则有或，解得或．综上可得即．故选B．图21xyO1xyO图3图41Oxy【点评】该题考查一次函数、二次函数的单调性，考查不等式的求解，考查分类讨论思想．三、其它函数：恒成立（注：若的最小值不存在，则恒成立的下界大于0）；恒成立（注：若的最大值不存在，则恒成立的上界小于0）．例4．（07年重庆卷理20)已知函数在处取得极值，其中，为常数．（1）试确定，的值；（2）讨论函数的单调区间；（3）若对任意，不等式恒成立，求的取值范围．【分析】恒成立，即，要解决此题关键是求，．【解析】（1）（2）略．（3）由（2）知，在处取得极小值，此极小值也是最小值．要使恒成立，只需．即，从而．解得或，的取值范围为．例5.（08天津文21）设函数，其中．（Ⅲ）若对于任意的，不等式在上恒成立，求的取值范围．（节选）【分析】，即，，，要解决此题关键是求．例6.（09年全国卷=2\*ROMANII文21）设函数，其中常数．（=2\*ROMANII）若当时，恒成立，求的取值范围．（节选）【分析】利用导数求函数的最值，由恒成立条件得出不等式条件从而求出的范围．【解析】（=2\*ROMANII）由（=1\*ROMANI）知，当时，在或处取得最小值．，，则由题意得即解得，．【点评】以上三题考查了利用导数研究函数的极值，利用导数研究函数的单调性，导数的正负对应着函数的增减，要注意极值点一定是导函数对应方程的根，但是导函数对应方程的根不一定是极值点．1．2分离参数法——极端化原则若所给的不等式能通过恒等变形使参数与主元分离于不等式两端，从而问题转化为求主元函数的最值，进而求出参数范围．利用分离参数法来确定不等式（，为实参数）恒成立中参数的取值范围的基本步骤：（1）将参数与变量分离，即化为（或）恒成立的形式；（2）求在上的最大（或最小）值；（3）解不等式(或)，得的取值范围．适用题型：（1）参数与变量能分离；（2）函数的最值易求出．例7.（2013新课标卷Ⅰ理11）已知函数，若||≥，则的取值范围是...[-2,1].[-2,0]【解析】∵∴由||≥得，且，由可得，则≥-2，排除Ａ，Ｂ，当=1时，易证对恒成立，故=1不适合，排除C，故选D.【点评】本题主要考查函数不等式恒成立求参数范围问题的解法，是难题．例8.（07年山东卷文15)当时，不等式恒成立，则的取值范围是．【解析】当时，由得．令，则易知在上是减函数，∴时，则∴．例9.（09年山东卷文21）已知函数，其中．（1）当满足什么条件时，取得极值?（2）已知，且在区间上单调递增，试用表示出的取值范围．[来源:学,科,网]【分析】此题虽有三个变量，，，而的范围已知，最终要用表示出的取值范围，∴可以将看成一个已知数，对和进行离参．例10．（2010天津高考理16）设函数，对任意，恒成立，则实数的取值范围是．【解析】依据题意得在上恒定成立，即在上恒成立．当时函数取得最小值，∴，即，解得或．1．3主参换位——反客为主法某些含参不等式恒成立问题，在分离参数会遇到讨论的麻烦或者即使能容易分离出参数与变量，但函数的最值却难以求出时，可考虑变换思维角度“反客为主”，即把习惯上的主元变与参数变量的“地位”交换一下，变个视角重新审查恒成立问题，往往可避免不必要的分类讨论或使问题降次、简化，起到“山穷水尽疑无路，柳暗花明又一村”的出奇制胜的效果．例11.（07辽宁卷文科22)已知函数，，且对任意的实数均有，．(Ⅰ)求函数的解析式；(Ⅱ)若对任意的，恒有，求的取值范围．【解析】(Ⅰ)，，而，恒成立．则由二次函数性质得，解得，，．（Ⅱ）．令，则即．由于，则有．解得．∴的取值范围为．例12．(08安徽文科20)已知函数，其中为实数．（Ⅱ）已知不等式对任意都成立，求实数的取值范围．（节选）【分析】已知参数的范围，要求自变量的范围，转换主参元和的位置，构造以为自变量作为参数的一次函数，转换成，恒成立再求解．【解析】由题设知“对都成立，即对都成立．设（），则是一个以为自变量的一次函数．恒成立，则对，为上的单调递增函数．∴对，恒成立的充分必要条件是，，，于是的取值范围是．1．4数形结合——直观求解法若所给不等式进行合理的变形化为（或）后，能非常容易地画出不等号两边函数的图像，则可以通过画图直接判断得出结果．尤其对于选择题、填空题这种方法更显方便、快捷．例13.(07安徽理科3)若对任意，不等式恒成立，则实数的取值范围是（）(A)(B)(C)（D）【解析】对，不等式恒成立，则由一次函数性质及图像知，即．例14.若不等式在内恒成立，求实数的取值范围．【解析】由题意知：在内恒成立，在同一坐标系内，分别作出函数和的图像，观察两函数图像，当时，若函数的图像显然在函数图像的下方，∴不成立；当时，由图可知，的图像必须过点或在这个点的上方，则，，．综上得：．例15．若不等式对于任意∈都成立，求的取值范围．【解析】作出函数的图像，由题意知在∈(0，］上，函数的图像总在函数的图像的上方，．作直线=，与和的图像分别交于A、B两点，为保证在区间（0，］上的图像在图像的上方，不难从图中得到其条件是点A在点B的上方，当=时，，又，得<<1．1．5消元转化法例16．已知f(x)是定义在[-1，1]上的奇函数，且f(1)=1，若，若对于所有的恒成立，求实数t的取值范围．【解析】本题不等式中有三个变量，因此可以通过消元转化的策略，先消去一个变量，容易证明f(x)是定义在[-1，1]上的增函数，故f(x)在[-1，1]上的最大值为f(1)=1，则对于所有的恒成立对于所有的恒成立，即对于所有的恒成立，令，只要，．【点评】对于含有两个以上变量的不等式恒成立问题，可以根据题意依次进行消元转化，从而转化为只含有两变量的不等式问题，使问题得到解决．上述例子剖析了近几年数学高考中恒成立问题的题型及解法，值得一提的是，各种类型各种方法并不是完全孤立的，虽然方法表现的不同，但其实质却都与求函数的最值是等价的，这也正体现了数学中的“统一美”．2不等式能成立问题的处理方法若在区间上存在实数使不等式成立，则等价于在区间上；若在区间上存在实数使不等式成立，则等价于在区间上的．注意不等式能成立问题（即不等式有解问题）与恒成立问题的区别．从集合观点看，含参不等式在区间上恒成立，而含参不等式在区间上能成立至少存在一个实数使不等式成立．例17．若关于的不等式的解集不是空集，则实数的取值范围是．【解析】设．则关于的不等式的解集不是空集在R上能成立，即解得或例18．已知函数存在单调递减区间，求的取值范围3不等式恰好成立问题的处理方法例19．已知当的值域是，试求实数的值．例20．已知，，⑴若存在，使得，求实数的取值范围；⑵若存在，使得，求实数的取值范围；⑶若对任意，恒有，求实数的取值范围；⑷若对任意，恒有，求实数的取值范围；⑸若对任意，存在，使得，求实数的取值范围；⑹若对任意，存在，使得，求实数的取值范围；⑺若存在，使得，求实数的取值范围；⑻若存在，使得，求实数的取值范围.高中数学教师解题研究QQ群545423319一题多问⑴解析：由可得，存在，使得,即方程在上有解.设，则方程在上有解的条件是为值域中的元素，所以的取值范围就是的值域.因为时=>0,所以在上是增函数，由此可求得的值域是[0，]，所以实数的取值范围是[0，].⑵解析：据题意：若存在，使得,即有解，故h(x)>，由⑴知h（x）=，于是得<⑶解析：对任意，恒有，即时恒成立，即，由⑵可知0.⑷解析：由题中条件可得的值域的值域，若对任意，恒有，即，即，所以.⑸解析：对任意，若存在，使得，即，由⑷可知即，所以.⑹解析：对任意，若存在，使得，则，所以即⑺解析：若存在，使得，则,即4，所以.⑻解析：若存在使得，则，∴，∴实数的取值围是高中数学教师解题研究QQ群545423319一题多问突破强化训练选择题1．【2016届山东省枣庄市三中高三12月月考】若存在正数使成立，则的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】由得，即，即存在正数使成立即可，，所以只要，，因为为增函数，所以当时，，所以，即的取值范围是，故选D．2．【2016届浙江省余姚中学高三上学期期中】设，在上恒成立，则的最大值为（）A．B．C．D．【答案】A3.设集合，集合.若中恰含有一个整数，则实数的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】B．【解析】，因为函数的对称轴为，，根据对称性可知要使中恰含有一个整数，则这个整数解为2，所以有且，即，选B.4.设函数，若对任意给定的，都存在唯一的，满足，则正实数的最小值是（）A．B．C．2D．4【答案】A．【解析】首先写出f(f(x))表达式，当时，；当时，；当时，，考虑到题目说的要求x的唯一性，即当取某个y值时，f(f(x))的值只能落在三段区间的一段，而不能落在其中的两段或者三段内．因此我们要先求出f(f(x))在每段区间的值域．当时，；当时，；当时,．从中可发现，上面两段区间的值包含在最后一段区间内，换一句话就是说假如f(f(x))取在小于等于1的范围内的任何一个值，则必有两个x与之对应．因此，考虑到x的唯一性，则只有使得f(f(x))>1,因此题目转化为当y>2时，恒有．因此令,题目转化为y>2时，恒有g(y)>0,又g(y)=(2ay-1)（ay+1），为了要使其大于0，则或，考虑到题目要求a的正实数，则ay<-1不考虑．因此，在y大于2的情况下恒成立．因此，所以a的最小正实数为(因为y本身取不到2，因此a可以取）．5.函数，当时，恒成立，则的最大值是（）A．3B．C．4D．【答案】B．6.集合，且、、恰有一个成立，若且,则下列选项正确的是()（A）,（B）,（C）,（D）,【解析】7．【湖南湘中名校2014届高三上学期第一次大联考数学8】已知，若对任意的，存在，使，则实数m的取值范围是()[来源:学科网]A．B．C．D．填空题8．【2016届湖南省常德市一中高三上第五次月考】已知，若恒成立，则实数的取值范围是________．【答案】【解析】因为，所以，（当且仅当，即时取“=”），所以，即，解得；故填．9．【2016届浙江省富阳市二中高三上学期第二次质量检测】若正实数满足，且不等式恒成立，则实数的取值范围是．【答案】【解析】由已知可得，即恒成立，即恒成立，又解得即，所以解得或10.若函数对任意的恒成立，则．【答案】．11.若函数，满足对任意实数、，当时，，则实数的取值范围为　.【答案】．【解析】由对任意实数，当时，，得到在上是增函数，而在上是增函数，所以有：12若对满足条件的正实数都有恒成立，则实数a的取值范围为.【答案】．【解析】设，则，∴，∴或（舍），不等式化为：（），∴.13对于在区间[a，b]上有意义的两个函数，如果对于区间[a，b]中的任意x均有，则称在[a，b]上是“密切函数”，[a，b]称为“密切区间”，若函数与在区间[a，b]上是“密切函数”，则的最大值为．【答案】1．【解析】由得，，这个不等式的解集为，由题意得，所以的最大值为解答题14已知函数f(x)=xlnx,g(x)=-x2+ax-3.(1)求函数f(x)在[t,t+2](t>0)上的最小值.(2)对一切x∈(0,+∞),2f(x)≥g(x)恒成立,求实数a的取值范围.(3)求证:对一切x∈(0,+∞),都有xlnx>.【解析】(1)f'(x)=lnx+1,当x∈(0,)时,f'(x)<0,f(x)单调递减,当x∈(,+∞)时,f'(x)>0,f(x)单调递增.①01【答案】D【解析】本题考查线性规划问题．作出不等式对应的平面区域BCD，由得，要使目标函数仅在点处取最大值，则只需直线在点处的截距最大，，由图象可知，∵，∴，即a的取值范围为，选D．19.已知，满足不等式组当时，目标函数的最大值的变化范围是()（A）（B）（C）（D）【答案】D．20．已知△ABC的顶点A（3，0），B（0，1），C（1，1），P（x，y）在△ABC内部（包括边界），若目标函数z=（a≠0）取得最大值时的最优解有无穷多组，则点（a，b）的轨迹可能是（　　）【答案】A[来源:学科网ZXXK]【解析】由线性规划问题的求解可知这三个值中有两个相等且为最大值，∵a≠0，∴，若，则（a≠0）；若，则（a≠0），∴答案为A．21．若关于，的不等式组（是常数）所表示的平面区域的边界是一个直角三角形，则．[来源:学.科.网]【答案】或．【解析】作出不等式组表示的区域如下图所示，由图可知，要使平面区域的边界是一个直角三角形，则0或1．22．若不等式组表示的平面区域是一个锐角三角形，则实数的取值范是．【答案】【解析】不等式组所表示的区域是由直线和过定点的直线所围成的平面区域，如下图:由图可知，要使阴影部分成锐角三角形，动直线与直线的交点必须位于点和点之间，此时．23.设实数x，y满足约束条件，若目标函数（）的最大值为8，则的最小值为．【答案】4【解析】约束条件所表示的区域如图所示：目标函数在处取得最大值，∴，即，∴，当且仅当时取等号．24．【北京市西城区2014届高三一模（理）】若不等式组表示的平面区域是一个四边形，则实数的取值范围是_______．【答案】．25．【2014年浙江省嘉兴市2014届高三3月教学测试（一）】如图，已知可行域为及其内部，若目标函数当且仅当在点处取得最大值，则的取值范围是______．【答案】【解析】根据线性规划的知识，可知目标函数的最优解都是在可行域的端点，∴根据题意，故填．问题三利用基本不等式处理最值、证明不等式和实际问题不等式问题始终是高考数学的热点题型之一，而基本不等式法是最为常见、应用十分广泛的方法之一．下面笔者以近几年高考 试题 中考模拟试题doc幼小衔接 数学试题 下载云南高中历年会考数学试题下载N4真题下载党史题库下载 及模拟题为例，对高考中考查利用基本不等式解题的基本特征和基本类型作一些分类解析，供参考．I基础知识1．（1）若，则；（2）若，则（当且仅当时取“=”）．2．（1）若，则；（2）若，则（当且仅当时取“=”）；（3）若，则（当且仅当时取“=”）．3．若，则（当且仅当时取“=”）；若，则（当且仅当时取“=”）；若，则，即或（当且仅当时取“=”）．4．若，则（当且仅当时取“=”）；若，则，即或（当且仅当时取“=”）．5．若，则（当且仅当时取“=”）．II拓展1．一个重要的不等式链：．2.3．函数图象及性质（1）函数图象如右图所示：（2）函数性质：①值域：；②单调递增区间：；单调递减区间：．注：（1）当两个正数的积为定植时，可以求它们的和的最小值，当两个正数的和为定植时，可以求它们的积的最小值，正所谓“积定和最小，和定积最大”；（2）求最值的条件“一正，二定，三相等”；（3）均值定理在求最值、比较大小、求变量的取值范围、证明不等式、解决实际问题方面有广泛的应用．III基本不等式的应用一、利用基本不等式求最值利用基本不等式求函数最值时，应注意三个条件：“一正，二定，三相等”，这三个条件中，以定值为本．因为在一定限制条件下，某些代数式需经过一定的变式处理，才可利用基本不等式求得最值，而怎样变式，完全取决于定值的作用．主要有两种类型：一类是中条件给出定值式，一类是条件中无定值式．类型一给出定值【例1】【2016届重庆市南开中学高三12月月考】已知，且，则的最小值为（）A．B．6C．D．12【答案】B【解析】，当且仅当a=2,b=1时，等号成立．故选B．【牛刀小试】设是正实数，且，则的最小值是__________．【答案】．【分析一】考虑通法，消元化为单元函数，而后可用导数法和判别式法求解函数的最小值；【解析一】【分析二】考虑整体替换的方法，分母的和为常数．【解析二】设，，则，类型二未知定值【例2】已知二次不等式的解集为，且，则的最小值为A．B．C．D．【分析】根据已知条件求出的关系，再将变为两个正数的和（或积）为常数，用基本不等式求最值．【评析】配凑法是解决这类问题的常用方法，其目的是将代数式或函数式变形为基本不等式适用的条件，对于这种没有明确定值式的求最大值（最小值）问题，要灵活依据条件或待求式合理构造定值式．【牛刀小试】【2010江苏高考第14题】将边长为1的正三角形薄片，沿一条平行于底边的直线剪成两块，其中一块是梯形，记，则S的最小值是_________．技巧一：凑项【例3】已知，求函数的最大值．【分析】，∴首先要“调整”符号，又不是常数，∴对要进行拆、凑项．【解析】，当且仅当，即时，上式等号成立，故当时，．【评注】本题需要调整项的符号，又要配凑项的系数，使其积为定值．【牛刀小试】【2016届安徽省马鞍山二中等高三第三次联考】已知，则的最小值是（）A．4B．5C．6D．7【答案】B【解析】因为，则．所以且仅当，即时等号成立，故选B．技巧二：凑系数【例4】当时，求的最大值．【分析】由知，利用基本不等式求最值，必须和为定值或积为定值，此题为两个式子积的形式，但其和不是定值．注意到为定值，故只需将凑上一个系数即可．【解析】，当，即时取等号，∴当时，的最大值为8．【评注】本题无法直接运用基本不等式求解，但凑系数后可得到和为定值，从而可利用基本不等式求最大值．【牛刀小试】设，求函数的最大值．【解析】∵，∴，∴，当且仅当，即时等号成立．【评注】总的来说，要提高拼凑的技巧，设法拼凑出乘积或和为定值的形式．技巧三：分离【例5】求的值域．【分析一】本题看似无法运用基本不等式，不妨将分子配方凑出含有的项，再将其分离．【牛刀小试】【2016届江西省南昌市二中高三上第四次考试】已知a，b都是负实数，则的最小值是（）A．B．2（﹣1）C．D．2（+1）【答案】B【解析】，故选B．技巧四：换元上述例5也可以用换元法求解．【分析二】本题看似无法运用基本不等式，可先换元，令，化简原式再分离求最值．【解析二】令，则．当，即时，（当即时取“＝”号）．【评注】分式函数求最值，通常直接将分子配凑后将式子分开或将分母换元后将式子分开再利用不等式求最值．即化为恒正或恒负的形式，然后运用基本不等式来求最值．【牛刀小试】已知a，b为正实数，2b＋ab＋a＝30，求y＝eq\f(1,ab)的最小值．【分析】这是一个二元函数的最值问题，通常有两个途径，一是通过消元，转化为一元函数问题，再用单调性或基本不等式求解，对本题来说，这种途径是可行的；二是直接用基本不等式，对本题来说，因已知条件中既有和的形式，又有积的形式，不能一步到位求出最值，考虑用基本不等式放缩后，再通过解不等式的途径进行．点评：①本题考查不等式的应用、不等式的解法及运算能力；②如何由已知不等式出发求得的范围，关键是寻找到之间的关系，由此想到不等式，这样将已知条件转换为含的不等式，进而解得的范围．技巧五：整体代换多次连用最值定理求最值时，要注意取等号的条件的一致性，否则就会出错．【例6】已知，且，求的最小值．【错解】，且，，故．【错因】解法中两次连用基本不等式，在等号成立条件是，在等号成立条件是，即，取等号的条件的不一致，产生错误．因此，在利用基本不等式处理问题时，列出等号成立条件是解题的必要步骤，而且是检验转换是否有误的一种方法．【正解】，，当且仅当时，上式等号成立，又，可得时，．【牛刀小试】【2016届安徽省六安一中高三上第五次月考】若圆上存在两点关于直线对称，则的最小值为（）A．5B．7C．D．9【答案】D【解析】圆的圆心为，由已知得直线必经过圆心，即；所以，当且仅当时等号成立，故D为正确答案．技巧六：取平方【例7】已知x，y为正实数，3x＋2y＝10，求函数W＝eq\r(3x)＋eq\r(2y)的最值．【分析一】可以利用算术平均与平方平均之间的不等关系．【解法一】eq\r(3x)＋eq\r(2y)≤eq\r(2)eq\r(（eq\r(3x)）2＋（eq\r(2y)）2)＝eq\r(2)eq\r(3x＋2y)＝2eq\r(5)．【分析二】条件与结论均为和的形式，设法直接用基本不等式，应通过平方化函数式为积的形式，再向“和为定值”条件靠拢．【解法二】W＞0，W2＝3x＋2y＋2eq\r(3x)·eq\r(2y)＝10＋2eq\r(3x)·eq\r(2y)≤10＋(eq\r(3x))2·(eq\r(2y))2＝10＋(3x＋2y)＝20，∴W≤eq\r(20)＝2eq\r(5)．【牛刀小试】求函数的最大值．【解析】注意到与的和为定值．，又，，当且仅当=，即时取等号，故．【评注】本题将解析式两边平方构造出“和为定值”，为利用基本不等式创造了条件．技巧七：构造要求一个目标函数的最值，我们利用基本不等式构造一个以为主元的不等式（一般为二次不等式），解之即可得的最值．【例8】【2010重庆理】已知，，则的最小值为（）A．3B．4C．D．【答案】B．【例9】【2011浙江高考题理16】设为实数，若，则的最大值是．【分析】利用基本不等式将已知定值式中的均转化成含的不等式，再求的最大值．【答案】．【解析】，可解得的最大值为．【评注】本题的解法过程体现了“消元”的思想，所求目标函数是和的形式，那我们就设法消去条件等式中的乘积，方法就是利用基本不等式，这里它的作用，一个是消元，还有就是把条件的等式变为了不等式．【牛刀小试】【2011浙江高考题文16】若实数满足，则的最大值是．【分析】利用基本不等式将已知定值式中的均转化成含的不等式，再求的最大值．【答案】．【解析】即【评析】本题的已知定值式和待求式中，都是由两正数的和、积、平方和构成，这正是基本不等式可以解决的问题．事实上，当问题中出现诸如两正数的和、积、平方和、倒数和等式子或者是能转化为这些表达式时，都可以考虑利用求最值．[来源:学科网][来源:学#科#网Z#X#X#K][来源:学科网]【牛刀小试】若正数满足，则的最小值为．【解法1】由得，得，即，所求最小值为24；【解法2】．【解法3】变形得，表示直线经过点（3，2）与两坐标轴正半轴交点为A，B，当M是AB的中点时，△ABC的面积最小，这个可以用图形来解释．技巧八：添加参数【例10】若已知，则的最小值为．【解析】时可取得函数的最小值，此时，此时，最小值为．【牛刀小试】设是不全为零的实数，求的最大值．【解析】显然我们只需考虑的情形，但直接使用基本不等式是不行的，我们假设可以找到相应的正参数满足：故依据取等号的条件得，，参数就是我们要求的最大值．消去我们得到一个方程，此方程的最大根为我们所求的最大值，得到．【评注】从这个例子我们可以看出，这种配凑是有规律的，关键是我们建立了一个等式，这个等式建立的依据是等号成立的条件，目的就是为了取得最值．【牛刀小试】设是正实数，求的最小值．【解析】引进参数，使之满足，依据取等号的条件，有：，故的最小值4．综上所述，应用均值不等式求最值要注意：一要“正”：各项或各因式必须为正数；二可“定”：必须满足“和为定值”或“积为定值”，要凑出“和为定值”或“积为定值”的式子结构，如果找不出“定值”的条件用这个定理，求最值就会出错；三能“等”：要保证等号确能成立，如果等号不能成立，那么求出的仍不是最值．应用二：利用基本不等式证明不等式基本不等式具有将“和式”转化为“积式”或将“积式”转化为“和式”的放缩功能，并且有很多不同的变形，如：等，所以利用基本不等式及其变式证明不等式既方便又具有很大的技巧．类型一轮换对称型【例11】设求证：．【分析】所证不等式是关于的轮换不等式，易知，然后轮换相加即可．【证明】又三式相加，得当且仅当即时取等号．【评注】欲证明的不等式如属轮换对称型，通常分拆证明，用基本不等式，再用同向不等式相加或相乘的性质证明．但要注意多次用基本不等式时，必须保证每次用时等号都成立，最终等号才成立．类型二用“1”代换型【例12】已知，且，求证：．【分析】把待证式的左边分子中的“1”用“”代换．【证明】当且仅当时，等号成立．【评注】要完成“1”的代换，首先要认真观察已知式和待证不等式；其次是如何代，直接代入，还是用式子乘1等；再次代入后要变式，使得能用基本不等式进行论证．【牛刀小试】已知且．求证：．【分析】不等式右边数字8，使我们联想到左边因式分别使用基本不等式可得三个“2”连乘，又，可由此变形入手．【例13】若且，求证：．【解析】设．考虑到取等号的条件，有，∴应用三：基本不等式与恒成立问题【例14】已知且，求使不等式恒成立的实数的取值范围．【解析】令，．，【牛刀小试】若对任意的正实数恒成立，求的最小值．应用四：均值定理在比较大小中的应用【例15】若，则的大小关系是．【分析】∵∴，（，，∴R>Q>P．应用五：利用基本不等式处理实际问题【例16】有一边长为（）的长方形纸板，在四个角各裁出一个大小相同的正方形，把四边折起做成一个无盖的盒子，要使盒子的容积最大，问裁去的正方形的边长应为多少？【分析】这是一个高考题，很古老了．可以利用函数和导数来解决．但我们也可以用基本不等式来处理它．【解析】设裁去的正方形的边长为，则做成的无盖长方体容积为．引入参数，则由取等号的条件得，当时，右边为常数，故当二者同时成立时，函数有最大值．消去参数得到：，解得，故，．【迁移运用】1．【2016届浙江省慈溪中学高三上学期期中】已知正实数，满足，则的最小值是（）A．B．C．D．6【答案】B．【解析】，因此，当且仅当时，等号成立，故选B．2【2016届河南省郑州市一中高三上学期联考】已知,则的最小值是（）A．4B．3C．2D．1【答案】A【解析】因为，所以，即，所以，所以，故应选．3．【2016届河南省郑州市一中高三上学期联考】已知实数m，n，若，，且，则的最小值为（）A．B．C．D．【答案】A4．【2016届河北省正定中学高三上学期期中】设均为正实数，且，则的最小值为A．4B．C．9D．16【答案】D【解析】因为，所以，即，所以，所以，应用基本不等式可得：，故应选．5．【2016届辽宁省抚顺市一中高三12月月考】若正数，满足，则的最小值是（）A．2B．3C．4D．5【答案】D【解析】因为，所以，所以，当且仅当即等号成立．故应选．6.已知函数，，，则的最小值等于（）．A．B．C．D．【答案】A【解析】∵，∴ab=1，又∵，∴a－b>0，=，故选A．7．【湖北省武汉市2015届高三9月调研测试8】小王从甲地到乙地往返的时速分别为和，其全程的平均时速为，则（）[来源:学.科.网]A．B．C．D．【答案】B．【解析】设甲乙两地相距，则平均速度，又∵，∴，[来源:学+科+网]∵，∴，∴．8．下列命题中正确的是A．当B．当，C．当，的最小值为D．当无最大值【答案】B．【解析】基本不等式使用时注意“一正、二定、三相等”，选项的符号不确定，可正可负；选项当且仅当时取到等号，而的最大值为1；，当且仅当取到等号．．9．实数满足，则的取值范围是．【答案】．【解析】由得，∴x的范围．10．【2016届湖南省常德市一中高三上第五次月考】已知，若恒成立，则实数的取值范围是________．【答案】【解析】因为，所以，（当且仅当，即时取“=”），所以，即，解得；故填．11．【2016届河北省武邑中学高三上学期测试】已知，，满足，则的最小值为．【答案】【解析】因为，即，当且仅当时等号成立，所以的最小值为4．12．【2016届河北省邯郸市一中高三一轮收官考试】已知，均为正实数，且，则的最小值为．【答案】【解析】因为均为正实数，所以有，当且仅当即时等号成立，所以的最小值为．13．【2016届浙江省嘉兴一中等高三第一次五校联考】己知，，且，则的最小值为_______，的最小值为．【答案】，．14．【2016届浙江省嘉兴一中等高三第一次五校联考】己知，，，且，则的最小值为．【答案】．【解析】由题意得，，当且仅当时等号成立，∴，当且仅当时，等号成立，综上，即所求最小值为．15．【2016届浙江省慈溪中学高三上学期期中】已知，，，则取到最小值为．【答案】．【解析】令，∴，∴，当且仅当时，等号成立，即的最小值是．16．【2016届浙江省嘉兴市一中高三上学期能力测试】若实数满足，则_______．【答案】【解析】由题意，得，，则．17．（本小题满分12分）(原创)已知函数（、为常数）．（1）若，解不等式；（2）若，当时，恒成立，求的取值范围．【解析】（1）∵，，∴，∴．∵，∴，等价于，①当，即时，不等式的解集为：；②当，即时，不等式的解集为：；③当，即时，不等式的解集为：．（2）∵，，∴（※）显然，易知当时，不等式（※）显然成立；由时不等式恒成立，可知；当时，．∵，∴，故．综上所述，．18．已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，acosC+﹣b=0．（Ⅰ）求A；（Ⅱ）若△ABC的面积为，求bsinB+csinC的最小值．19．某人准备租一辆车从孝感出发去武汉，已知从出发点到目的地的距离为，按交通法规定：这段公路车速限制在（单位：）之间．假设目前油价为（单位：元），汽车的耗油率为（单位：），其中（单位：）为汽车的行驶速度，耗油率指汽车每小时的耗油量．租车需付给司机每小时的工资为元，不考虑其它费用，这次租车的总费用最少是多少？此时的车速是多少？（注：租车总费用=耗油费+司机的工资）【解析】依题意，设总费用为，则有，即（），而，当且仅当，即时取等号，故当车速为时，租车总费用最少为元．