第=page11页，共=sectionpages11页2022-2023学年福建省南平市高一（上）期末数学
试卷
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一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1.若全集U={1,2,3,4,5,6}，集合M={x|x2−7x+12=0}，N={2,3,5}，则图中阴影部分表示的集合是( )A.{1,3,4}B.{2,3,5}C.{2,6}D.{1,6}2.已知幂函数y=xa的图象过点(12,22)，则loga2的值为( )A.1B.−1C.2D.−23.“0
b，则a2>b2B.若a>b，c>d，则a+c>b+dC.若a>b>c>0，则ca>cbD.若a>1，则a+1a−1≥310.函数f(x)=2sin(ωx+φ)(ω>0,|φ|<π2)的部分图象如图所示，则下列结论正确的是( )A.φ=π3B.f(−11π24)=2C.函数f(x)关于(−π3,0)对称D.函数f(x)在[π,3π2]上是增函数11.若定义在R上的奇函数f(x)满足f(x)=f(2−x)，且当x∈(0,1]时，f(x)=x，则( )A.y=f(x+1)为偶函数B.f(x)在(3,5)上单调递增C.f(x)在(−3,−1)上单调递增D.f(x)的最小正周期T=412.已知函数f(x)=(sinx+cosx)(sinx−|cosx|)，说法正确的是( )A.f(x)在区间[−2π,−32π]上单调递增B.方程f(x)−32=0在x∈[−2π,2π]的解为x1，x2，⋯，xn，且x1+x2+⋯+xn=πC.f(x)的对称轴是x=π4+kπ(k∈Z)D.若f(x1)−f(x2)=3，则x1−x2=2kπ(k∈Z)三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.log312+(49)0.5−log34= ．14.若α是第二象限角，sin(α+π3)=−13，则cosα= ．15.中国的5G技术领先世界，5G技术极大地提高了数据传输速率，最大数据传输速率C取决于信道带宽W，经科学研究表明：C与W满足C=Wlog2(1+T)，其中T为信噪比.若不改变带宽W，而将信噪比T从499提升到1999，则C大约增加 %.(结果保留一位小数)参考数据：lg2≈0.3010．16.某市以市民需求为导向，对某公园进行升级改造，以提升市民的游园体验.已知公园的形状为如图所示的扇形AOB区域，其半径为2千米，圆心角为120°，道路的一个顶点C在弧AB上.现在规划三条商业街道DE，CD，CE，要求街道DC与OA平行，交OB于点D，街道CE与OA垂直(垂足E在OA上)，则街道DE长度最大值为 千米．四、解答题（本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17.(本小题10.0分)在平面直角坐标系xOy中，角α的终边与单位圆交于点(−35,45)，求下列各式的值．(1)cos(π2+2α)；(2)sin(π2−α)−cos(π+α)sin(−α)+cos(−α)．18.(本小题12.0分)已知集合A={x|2−x3+x>0},B={x|x2−2x−3<0}．(1)求集合A，B，A∪B；(2)若集合C={x|a20.问在引进机器人后，需要操作工人的人数m为何值时，机器人日平均生产量达最大值，并求这个最大值．21.(本小题12.0分)函数f(x)=2x+m2x+1定义在R上的奇函数．(1)求m的值；(2)判断f(x)的单调性，并用定义证明；(3)解关于x的不等式f(x2−x)+f(a−ax)<0．22.(本小题12.0分)已知函数f(x)=loga(ax+1)(a>0且a≠1)．(1)若函数h(x)=f(x)−x−a有零点，求a的取值范围；(2)设函数g(x)=ax(a>0且a≠1)，在(1)的条件下，若∀x1∈[0,+∞)，∃x2∈R，使得g(2x1)+mg(x1)−f(2x2)+x2>0，求实数m的取值范围．
答案
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和解析1.【答案】D 【解析】解：集合M={x|x2−7x+12=0}={3,4}，N={2,3,5}，则M∪N={2,3,4,5}，则图中阴影部分表示的集合是CU(M∪N)={1,6}．故选：D．根据韦恩图所表示的集合为CU(M∪N)，按照并集和补集的运算求解即可．本题主要考查并集和补集的运算，属于基础题．2.【答案】B 【解析】解：幂函数y=xa的图象过点(12,22)，∴(12)α=22∴α=12∴loga2=log122=−1．故选：B．根据幂函数y=xa的图象过点(12,22)，求出α的值，再计算loga2的值．本题考查了幂函数的定义与对数的计算问题，是基础题目．3.【答案】A 【解析】解：由00，因为f(4)f(3)<0，所以函数f(x)=log2x−5+x的零点所在的区间是(3,4)．故选：C．判断函数的连续性，利用零点判断定理推出结果即可．本题考查函数的零点判断定理的应用，是基础题．6.【答案】A 【解析】解：f(−x)=(2−x−2x)sin(−x)=(2x−2−x)sinx=f(x)，则f(x)是偶函数，图象关于y轴对称，排除B，当00，排除D，当0log48=34，所以b>34，所以ab，但a2=b2，故A错误，对于B，∵a>b，c>d，∴a+c>b+d，故B正确，对于C，令a=3，b=2，c=1，满足a>b>c>0，但ca0等价于(2−x)(3+x)>0，解得−320时，120台机器人日平均生产量为120×160=19200，∴120台机器人的日平均产量的最大值为19200个，∴当m大于等于20时，机器人日平均生产量达最大值，且最大值为19200个． 【解析】(1)利用基本不等式即可求成本的最小值；(2)根据分段函数讨论函数的最大值即可求解．本题考查函数建模，基本不等式的应用，分类讨论思想，属中档题．21.【答案】解：(1)解法1：因为f(x)=2x+m2x+1为定义在R上的奇函数，所以f(−x)=−f(x)，所以f(−x)=2−x+m2−x+1=1+m2x1+2x=−2x+m2x+1，得1+m⋅2x=−2x−m，即(m+1)(2x+1)=0．因为2x+1>0，所以m+1=0，即m=−1；解法2：因为f(x)=2x+m2x+1为定义在R上的奇函数，所以f(0)=20+m20+1=0,m=−1．当m=−1时，f(−x)=2−x−12−x+1=1−2x1+2x=−2x−12x+1=−f(x)，所以m=−1；(2)f(x)在R上单调递增．由(1)得f(x)=1−22x+1，任取x10,2x2+1>0，所以f(x1)−f(x2)<0，f(x1)1时，原不等式的解集为(1,a)；当a<1时，原不等式的解集为(a,1)；当a=1时，原不等式的解集为空集． 【解析】(1)法一：由 f(−x)=−f(x)即可得解；法二：由奇函数的性质f(0)=0，代入即可求解m；(2)由定义证明单调性即可；(3)根据函数的奇偶性和单调性求解即可．本题主要考查了函数奇偶性及单调性的判断，还考查了含参不等式的求解，属于中档题．22.【答案】解：(1)若函数h(x)=f(x)−x−a有零点，即loga(ax+1)−x=a，即方程loga(1+1ax)=a有解，令p(x)=loga(1+1ax)，则函数y=p(x)的图象与直线y=a有交点，当01,p(x)=loga(1+1ax)<0，故方程loga(1+1ax)=a无解，当a>1时，1+1ax>1,p(x)=loga(1+1ax)>0，由方程loga(1+1ax)=a有解可知a>0，所以a>1，综上，a的取值范围是(1,+∞)；(2)当x2∈R时，f(2x2)−x2=loga(a2x2+1)−x2=loga(a2x2+1ax2)=loga(ax2+1ax2)，由(1)知a>1,ax2+1ax2≥2，当且仅当ax2=1ax2，即x2=0时取等号，所以f(2x2)−x2的最小值是loga2，由题意，∀x1∈[0,+∞)，∃x2∈R，使得g(2x1)+mg(x1)−f(2x2)+x2>0成立，即∀x1∈[0,+∞),a2x1+max1>loga2成立，所以m>loga2ax1−ax1对∀x1∈[0,+∞)恒成立，设n=ax1，则m>loga2n−n对n≥1恒成立，设函数h(n)=loga2n−n(n≥1)，因为函数y=loga2n和函数y=−n在[1,+∞)上都是减函数，所以函数h(n)在[1,+∞)上是减函数，所以h(n)≤h(1)=loga2−1，所以m>loga2−1，即m的取值范围是(loga2−1,+∞)． 【解析】(1)函数h(x)=f(x)−x−a有零点，即方程loga(1+1ax)=a有解，则函数y=loga(1+1ax)的图象与直线y=a有交点，再分01两种情况讨论，即可得解；(2)∀x1∈[0,+∞)，∃x2∈R，使得g(2x1)+mg(x1)−f(2x2)+x2>0成立，即∀x1∈[0,+∞),a2x1+max1>(f(2x2)−x2)min成立，利用基本不等式求出f(2x2)−x2的最小值，分离参数，从而可得出答案．本题主要考查函数恒成立问题，考查分类讨论思想与运算求解能力，属于中档题．
浙公网安备 33021202002483